八(下)三角形的证明--教案.doc

1.2直角三角形（一）【预习探究】预习：1.直角三角形的性质定理与判定:（1）直角三角形的两锐角_；（2）有两个角互余的三角形是_.2勾股定理及其逆定理：（1）直角三角形的两直角边的_等于_；（2）如果三角形两边的_等于第三边的平方，那么这个三角形是_.探究：阅读课本“想一想”，回答下列问题：（1）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_和_,那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的_.（2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为_,其中一个定理称为另一个定理的_.一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？ 是否任何定理都有逆定理？ 思考我们学过哪些互逆定理？1判断A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ）B：命题正确时其逆命题也正确。（ ）C：直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（ ）2下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）8、15、17 4、5、6、 7.5、4、8.5 24、25、7 5、8、10 A： B： C： D：3矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 4ABC中，C=90，AB=7，BC=5，则边AC的长为_5已知：如图1-2-4，ABC中，CDAB于D，AC=4，BC=3，DB=.（1）求DC的长； （2）求AD的长； （3）求AB的长；（4）求证：ABC是直角三角形.图1-2-4图1-2-8例1：如图1-2-8，CDAD，CBAB，AB=AD，求证：CD=CB.例2：如图1-2-9，已知ABC=ADC=90，E是AC上一点，AB=AD，图1-2-9求证：EB=ED.例3：如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，ABE=EBC，CEBD的延长线于点E.图1-2-10求证：BD=2CE.图1-2-11例4：如图所示，在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于F，若EF=5cm.求AF的长.当堂检测：图1-2-121如图1-2-12，RtABC和RtDEF，C=F=90（1）若A=D，BC=EF，则RtABCRtDEF的依据是_.（2）若A=D，AC=DF，则RtABCRtDEF的依据是_.（3）若A=D，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（4）若AC=DF，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（5）若AC=DF，CB=FE，则RtABCRtDEF的依据是_.图1-2-132如图1-2-13，在RtABC和RtDCB中，AB=DC，A=D=90，AC与BD交于点O，则有_，其判定依据是_，还有_，其判定依据是_.3在RtABC和RtABC中，C=C=90，如图1-2-14，那么下列各条件中，不能使图1-2-14RtABCRtABC的是( )A. AB=AB=5，BC=BC=3B. AB=BC=5，A=B=40C. AC=AC=5，BC=BC=3D. AC=AC=5，A=A=404下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等5已知：如图1-2-15，CD、CD分别是RtABC，RtABC斜边上的高，且CB=CB，图1-2-15CD=CD.求证：ABCABC. 【预习探究】预习：1.什么是线段的垂直平分线？探究：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？已知：求证：CDEABO图1-3-1【典例精析】例1：如图，ADBC于点D，D为BC的中点，连接AB，ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若AOC125，求：ABC的度数例2：如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校.（1）当汽车行驶到哪个位置时，与M、N两学校的距离相等？图1-3-2（2）当汽车行驶到哪个位置时，与M、N两学校的距离和最短？图1-3-3例3：如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF.图1-3-4当堂检测：1已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 _上.2已知：如图，BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则ADC= .3ABC中，A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则DBC的度数 .4如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形图1-3-55如图1-3-5，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，BCD的周长等于50，求BC的长.6有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.图1-3-6 【预习探究】预习：1等腰三角形的顶点一定在 上2在ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是 3在ABC中,AB=AC, B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则NBC= .探究：（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线观察这三条垂直平分线,你发现了什么?（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?（3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在 内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 ；已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？【典例精析】图1-3-13例1：知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.A BC图1-3-14例：如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）.例3：如图所示，ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD.图1-3-15(1)用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）;(2)求证：BM=EM.图1-3-16当堂检测：1判断题：三角形的任意两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.( )线段的垂直平分线上的点和这条线段的距离相等. ( )三角形三条边的垂直平分线必交于一点（ ）平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等（ ）2若点P为ABC三边中垂线交点，则PA_PB_PC.3如图1-3-16，CD与BE互相垂直平分，ADDB，BDE=70，则CAD= 4.如图，在ABC中，AD是BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E图1-3-17求证：（1）EAD=EDA ;（2）DFAC（3）EAC=B图1-3-18如图1-3-18，在等腰ABC中，AB=AC，将ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，求ABC的度数1.4角平分线（一）【预习探究】预习：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？探究：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它图1-4-1【典例精析】例：在图1-4-1，用尺规作角的平分线已知：AOB求作：射线OC，使AOC=BOC.例2：如图1-4-2，已知AD为ABC的角平分线，B=90，DFAC，垂足为F，DE=DC.图1-4-2求证BE=CF图1-4-3例3：已知：如图1-4-3,设ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在BAC的平分线上引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 图1-4-5当堂检测：1如图1-4-5，在ABC中AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则三个结论：AS=AR，QPAR，BRPQSP中（ ）A全部正确 B仅和正确 C仅正确 D仅和正确2到三角形三边距离相等的点是（ ）A三条中线的交点；B三条高的交点；C三条角平分线的交点；D不能确定3在RTABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_.4ABC中，C=900, A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为 .5如图1-4-6，在RtABC中，AB=AC,BD平分ABC，DEBC于E，AB=8cm，求DE+DC.图1-4-6BAECFD图1-4-7已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB ，DFAC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC1.4角平分线（二）【预习探究】预习：三角形的角平分线的性质和判定定理的内容是什么？作用呢？图1-4-14探究：已知：如图，设ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在BAC的角平分线上定理：三角形的三条角平分线_，并且这一点到三条边的距离_ 【典例精析】图1-4-15例1：如图，在ABC中，AC = BC，C = 90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E（1）已知CD = 4cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD.图1-4-16例2：如图，AB = AC，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E.求证：BE + EC = AB.图1-4-17例3：如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E,，点F在AC上，且DF=DB.求证：（1）CF=EB； （2）AB=AF+2EB.当堂检测：1如图1-4-18，ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分ABC交AD于E, EFAB , 则AB = ，BF = ；图1-4-18图1-4-192已知：如图1-4-19，在RtABC中，C = 90, AC = BC, BD平分ABC交AC于D, DEAB于E，若BC = 5, 则DEC的周长为 .3如图1-4-20，ABC中，B = 42, ADBC于D，E是BD上一点，EFAB于F，若ED = EF, 则AEC的度数为（ ）；图1-4-20A. 60 B. 62 C. 64 D. 664给出下列命题： 垂直于同一条直线的两直线平行； 角平分线上的点到角两边的距离相等； 三角形的三条角平分线相交于一点； 全等三角形的面积相等；其中原命题和逆命题都是真命题的共有（ ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个图1-4-215如图1-4-21，已知：ABC中，BAC = 90, ADBC于D，AE平分DAC，EFBC交AC于F，连接BF. 求证：BF是ABC的平分线. 三角形的证明回顾与思考【预习探究】自查：1已知，等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（ ）AB C D或2命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_.它是一个_命题。3等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE,若ABC的周长为12，则DCE的周长为_.4如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，则BC长为_图1图25如图2，在ABC中，C=90，的平分线交BC于E，DEAB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则BDE的周长为_。 梳理：1全等三角形的性质：全等三角形的 .三角形全等的判定方法有 .2等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角 ，简写为“ ”.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简写为“ ”.等腰三角形的判定：定义： 。有 相等的三角形是等腰三角形，简写为“ ”. 等腰三角形两腰上的高、中线，两底角的平分线 。（你会证明吗?）3等边三角形的性质：等边三角形的 相等， 相等且都等于 等边三角形的判定：定义： 的三角形是等边三角形； 的三角形是等边三角形；有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.4直角三角形的性质：直角三角形的两锐角 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的 等于斜边的 ；（其逆定理是：如果三角形中有两边的 等于第三边的 ，那么这个三角形是 三角形.）直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的 ；（其逆定理是：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 ，那么这条直角边所对的锐角等于 .）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ；（其逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的 ，那么这个三角形是 三角形.）5线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离 . 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的 上。三角形三边的垂直平分线交于一点，且这个点到 的距离相等，交点为三角形的外心.6角平分线上的点到角两边的距离 .角平分线的逆定理：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的 上.三角形三条角平分线交于一点，并且这个点到 的距离相等，交点为三角形的内心。7反证法：在证明时，先假设命题的 不成立，然后推出与定义、定理、公理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的证明方法叫 .8互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ，那么这两个命题称为 ；其中一个命题是另一个命题的 .9互逆定理：两个互逆命题经过证明都是真命题时，称它们为 .【典例精析】例1：在ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，BD与CE交于点O,给出下列四个条件：EBO=DCO BEO=CDO BE=CD OB=OC1上述四个条件中，哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形（用序号写出）2选择第1小题中的一种情形，证明ABC是等腰三角OCAB