电磁场与电磁波 静态场边值问题

第四章静态场边值问题的解法 主要内容 4 1边值问题的分类 第一类边值问题 已知位函数在全部边界面上的分布值 边值问题是指存在边界面的电磁问题 根据给定边界条件对边值问题分类 狄里赫利问题 Dirichlet 第二类边值问题 已知位函数在全部边界面上的法向导数值 第三类边值问题 已知一部分边界面上的位函数值 和另一部分边界面上位函数的法向导数值 诺埃曼问题 Neumann 混合边值问题 边值问题框图 边值问题研究方法框图 唯一性定理 在场域V的边界面S上给定位函数或的值 则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一 唯一性定理的意义 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 为静态场边值问题求解方法提供了理论根据 为结果正确性提供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程 泊松方程 的理论根据 4 2唯一性定理 UniqunessTheorem 4 3直角坐标系中的分离变量法 分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法 它适用于求解具有理想边界条件的典型边值问题 分离变量法是通过偏微分方程求解边值问题 其基本思想是 首先要求给定边界面与坐标面相合 或分段相合 其次要求待求偏微分方程的解可表示为若干个函数的乘积 其中的每个函数分别仅是一个坐标变量的函数 这样 通过分离变量可将一个偏微分方程转化为多个常微分方程来求解 分离变量法解题的一般步骤 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系 写出对应的边值问题 微分方程和边界条件 分离变量 将一个偏微分方程 分离成几个常微分方程 解常微分方程 并叠加各特解得到通解 利用给定的边界条件确定积分常数 最终得函数的解 在直角坐标系中 拉普拉斯方程为 直角坐标系中的分离变量法 设可以表示为三个函数的乘积 即 当时 代入上式 得 其中为分离常数 且 分析与讨论 上式中每项都只是一个变量的函数 其成立的唯一条件是三项中每项都是一个常数 故有 当时 通解 当时 令其中为实数 通解 或者 同理可以求得和 利用给定的边界条件确定积分常数 最终得函数的解 双曲函数 例4 3 1横截面如图所示的导体长槽 上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板 截面尺寸为a b 槽体的电位为零 盖板的电位为U x 求此区域内的电位 在区域0 x a 0 y b内 边界条件为 x 0 0 y 0 x a a y 0 y 0 x 0 0 y b x b U x 解 选择直角坐标系 通解 其中 确定常数 当时 所以 由于在X方向上有重复零点 x 0和a点 因此函数应为三角函数 即 且 令 分离变量 当时 故 分离变量法 当时 因为 所以 故 当时 讨论两种情况和 分离变量法 当 左右两边同乘以 并在区间 0 a 积分 又有 因此 m 1 3 5 分离变量法 对应系数相等 当 因此 分离变量法 分离变量法的求解步骤 选择适当的坐标系 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立待定系数的方程并解方程 求出待定系数 4 4圆柱坐标系中的分离变量法 圆柱坐标中的拉普拉斯方程 为 仅讨论二维平面场 即与坐标变量无关的情况 化简得 分析与讨论 1讨论 分离变量法 由于是周期性函数 即 所以 且为正整数 即 2讨论 欧拉方程 令代入上式 整理得 通解 例4 4 1一根半径为a 介电常数为的无限长介质圆柱体置于均匀外电场中 且与相垂直 设外电场方向为x轴方向 圆柱轴与z轴重合 如图所示 求圆柱内 外的电位函数 解 选择圆柱坐标系 设园柱内 外的电位分别为 并假设零电位点在坐标原点 显然 均是与z无关的二维场 都满足拉氏方程 分离变量法 则 圆柱坐标系中二维场的通解为 令 由题意知 场分布对称于x轴 即 故通解中只能包含余弦项即 当时 其中 当时 应为有限值 即中不能有项 当时 由介质分界面条件知 切向 法向 联立方程 1 2 解得 介质圆柱体内 外的电场强度为 边界条件 1 例4 4 1将半径为的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场中 柱轴与垂直 求任意点的电位 2 解 1 2 分离变量法 分离变量法 4 5球坐标系中的分离变量法 球坐标中的拉普拉斯方程 为 仅讨论场问题与坐标无关时的情形 令 代入上式并整理得 令两项分别等于常数和 引入一个新的自变量 则有 勒让德方程 勒让德多项式 1讨论 下面是前几个勒让德多项式 勒让德多项式 勒让德多项式图形 勒让德多项式具有正交性 2讨论 欧拉方程 通解 综上 球坐标中的通解为 令 例4 5 1在均匀电场中 放置一个半径为a的导体球 球心在原点 求球外的电位及电场强度分布 解 边界条件 通解 选择球坐标系 并设导体球为零电位 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 非均匀感应电荷 等效电荷 4 6镜像法 接地导体球附近有一个点电荷产生的电位 等效电荷 非均匀感应电荷产生的电位很难求解 可以用等效电荷的电位替代 镜像法的目的 把具有典型边界的静态场的计算问题 转化为无限大均匀媒质空间中的问题求解 以达到简化计算的目的 镜像法基本思路 在待求解场域外的适当位置 以虚拟电荷替代分界面上导体的感应电荷或媒质的极化电荷 镜像法 镜像法的理论依据 由唯一性定理知 满足同一方程和同样边界条件的位函数的解是相同的 所以引入镜像电荷后 应该 保持原方程和原边界条件不变 镜像电荷位置选择原则 1镜像电荷必须位于待求解场域以外 2镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 1 平面边界的镜像法 例4 6 1求置于无限大接地平面导体上方 距导体面为处的点电荷的电位 并求出场的分布 一 静电场中的镜像法 除q所在点外的区域 边界条件 解 当时 当时 当时 确定镜像电荷 位置 数量和大小 平面导体上的感应电荷密度为 验证边界条件 当Z 0时 所以 对应的场分布图 镜像法 例4 6 2为无限大接地的导电 平面 电壁 在出处有一无限长均匀带电的细直导线 导线与轴平行且经过直角坐标 点 求上半空间 的电位函数 设细直导线的电荷密度为 则镜像线电荷密度为 带电体系在空间的电位为 式中不能选为无穷远点 同样 式中 所以 例4 6 3设介电常数分别为和的两种介质 各均匀充满半无限大空间 两者的分界面为平面 在介质1中有一点电荷 距分界面的距离为 如图所示 试求整个空间中任一点的电位函数 设两个区域的电位函数为 和 解 除q点外的上半空间 下半空间 当时 在介质分界面处 电位函数满足边界条件 解得 空间的电位分布为 点电荷位于不同介质平面上方的场图 2 角形区域的镜像法 所有相互成角的两块半无限大接地导体平面间的场四都可用镜像法来求解 其像电荷个数为 例4 6 4设在点电荷附近有一接地导体球 求导体球外空间的电位及电场分布 边值问题 点电荷对接地导体球面的镜像 3 球面边界的镜像法 设镜像电荷位于球内 球面上任一点电位为 除q点外的导体球外空间 镜像法 解得 由叠加原理 接地导体球外任一点P的电位与电场分别为 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的场域内 导体上总的感应电荷等于镜像电荷 接地导体球外的电场计算 在接地球的基础上判断镜像电荷的个数 大小与位置 边值问题 例4 6 5计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布 点电荷对不接地金属球的镜像 感应电荷分布及球对称性 在球内有两啊个等效电荷 正负镜像电荷绝对值相等 正镜像电荷只能位于球心 除q点外的导体球外空间 放置镜像电荷 q 和 q 点电荷位于不接地导体球附近的场图 任一点电位及电场强度为 4 柱面边界的镜像法 例4 6 6线电荷密度为的无限长带电直线与半径为a的接地无限长导体圆柱的轴线平行 直线到圆柱轴线的距离为 如图所示 求圆柱外空间的电位函数 解 两端对求导可得 圆柱面上电位为零 因为 所以 圆柱面上的感应电荷密度为 圆柱面上单位长度的感应面电荷为 例4 6 7设分界面为平面的两个半无限大空间中 分别充满磁导率为和的两种均匀介质 在介质1中存在一平行于分界面的长直线电流I 与分界面的距离为 试求空间的磁场 二 静磁场中的镜像法 下半空间 用镜像电流来代替分界面上的磁化电流 在分界面上 从而得到 相应的磁场为 镜像法小结 镜像法的理论基础是静态场的唯一性定理 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布 使计算场域变为无限大均匀介质空间 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数 大小及位置 应用镜像法解题时 注意 镜像电荷只能放在待求场域以外的区域 叠加时 要注意场的适用区域 4 7有限差分法 1 二维泊松方程的差分格式 通常将场域分成足够小的正方形网格 网格线之间的距离为h 节点0 1 2 3 4上的电位分别用和和表示 二维静电场边值问题 有限差分的网格分割 将和分别代入式 3 得 设函数在处可微 则沿方向在处的泰勒公式展开为 3 有限差分法 9 将式 7 和 9 代入式 1 得到泊松方程的五点差分格式 即 当场域中 得到拉普拉斯方程的五点差分格式 有限差分法 若场域离散为矩形网格 差分格式为 2 边界条件的离散化处理 第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式 第一类边界条件给边界离散节点直接赋已知电位值 介质分界面衔接条件的差分格式 边界条件的离散化处理 其中 3 差分方程组的求解方法 高斯赛德尔迭代法 式中 迭代顺序可按先行后列 或先列后行进行 迭代过程遇到边界节点时 代入边界值或边界差分格式 的直到所有节点电位满足为止 高斯 赛德尔迭代法 有限差分法 松弛迭代法 最佳收敛因子的经验公式 正方形场域 正方形网格 矩形场域 正方形网格 欠松弛迭代 超松弛迭代 迭代发散 高斯赛德尔迭代法 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关 迭代收敛的速度与工程精度要求有 程序框图如下 N N 1 启动 迭代解程序框图 编程题1横截面如图所示的导体长槽 上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板 截面尺寸为a b 槽体的电位为零 盖板的电位为100V 用高斯赛德尔迭代法编程求解 要求 步长h 1 x y方向的网格数为m 16 n 10 迭代精度为 计算 迭代次数N与分布 有限差分法 编程题2横截面如图所示的导体长槽 上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板 截面尺寸为a a 槽体的电位为零 盖板的电位为100V 用超松弛迭代法编程求解 要求 步长h 1 x y方向的网格数为m 10 n 10 迭代精度为 计算 迭代次数N与分布 有限差分法 作业 P1274 4 4 8 4 13 4 22 4 29 双曲正弦 双曲余弦 a 其定义域为 b 是奇函数 c 在定义域内是单调增 a 其定义域为 b 是偶函数 c 其图像过点 0 1 反双曲正弦函数其定义域为 反双曲余弦函数其定义域为 1 双曲函数 差分原理设有一函数f x 当独立变量x有一微小增量 x h 相应f x 的增量为 f x f x h f x 称为函数f x 的差分 不同于增量为无限小的微分 差分被称为有限差分 当h很小时 f x df x 中心差分 f x f x h 2 f x h 2 一阶差商 二阶差商 偏导数也可用差商近似表示 因而偏微分方程可表示为差分方程 代数方程 算法简单迭代法 以解拉普拉斯方程为例 1 设定内点初值 用计算机解题时 可都取零值 2 按一固定顺序 从左到右 从下到上 依次利用 高斯赛德尔迭代法 计算内点o点的新值 即o点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值 如 j k 点在第n 1次迭代时按下式计算 3 当所有的内点都计算完后 用它们的新值代替旧值 完成一