波动和波动光学

第三篇 振动波动和波动光学 第七章机械振动 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 广义振动 任一物理量 如位移 电流等 在某一数值附近反复变化 7 1简谐振动 简谐振动 谐振动 物体振动时 如果离开平衡位置的位移x 或角位移 随时间t变化可表示为余弦函数或正弦函数 一 弹簧振子的振动 弹簧振子 弹簧 物体系统 平衡位置 振动物体所受合外力为零的位置 物体在平衡位置的两侧 在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下 不断重复相同的运动过程 由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度 谐振动运动方程 谐振动微分方程 其通解为 1 2 两式均为物体作谐振动的特征表述 二 弹簧振子的振动方程 微分方程形式 一个运动物体 它的加速度a与它离开平衡位置的距离恒成正比而反向那么此物体一定作简谐振动 物体离开平衡位置后 总是受到一个方向指向平衡位置 大小与物体离开平衡位置的距离成正比的力的作用 则此物体一定在作简谐振动 线性回复力 上述谐振动的特征表述均等价 简谐振动特点 简谐振动定义 判据 描述运动的物理量遵从微分方程 或运动方程为 运动学特征 为维持运动物体所受合外力 动力学特征 例 判断下列运动是否为简谐振动 1 乒乓球在地面上的上下跳动 2 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 O 切向运动 谐振动 3 竖直方向悬挂的谐振子 4 光滑斜面上的谐振子 k 速度 加速度 也是简谐振动 三 描述简谐振动的特征量 周期 振幅 相位 1 周期T 物体完成一次全振动所需时间 对弹簧振子 角频率 2 振幅A 3 相位 t 决定振动物体的运动状态 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 相位 t 0 x Av 0a 2A 相位 t 2 x 0v A a 0 a t 是t时刻的相位 b 是t 0时刻的相位 初相 1 如图m 2 10 2kg 弹簧的静止形变为 l 9 8cmt 0时x0 9 8cm v0 0 取开始振动时为计时零点 写出振动方程 2 若取x0 0 v 0为计时零点 写出振动方程 并计算振动频率 解 确定平衡位置mg k l取为原点k mg l令向下有位移x 则f mg k l x kx 作谐振动设振动方程为 例题 由初条件得 由x0 Acos 0 098 0 cos 0 取 振动方程为 x 9 8 10 2cos 10t m 2 按题意 t 0时x0 0 v 0 x0 Acos 0 cos 0 2 3 2 v0 A sin 0 sin 0 取 3 2 x 9 8 10 2cos 10t 3 2 m 对同一谐振动取不同的计时起点 不同 但 A不变 固有频率 2 如图所示 振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧 一半径为R 转动惯量为J的定滑轮和一质量为m的物体所组成 使物体略偏离平衡位置后放手 任其振动 试证物体作简谐振动 并求其周期T 解 取位移轴ox m在平衡位置时 设弹簧伸长量为 l 则 当m有位移x时 联立得 单摆 在角位移很小的时候 单摆的振动是简谐振动 角频率 振动的周期分别为 结论 四 摆动 当时 为m绕O点转动的转动惯量 复摆 物理摆 总结 复摆的角谐振动方程 当时 振动的角频率 周期完全由振动系统本身来决定 复摆的角谐振动方程 单摆的角谐振动方程 总结 7 2谐振动的旋转矢量法 一 旋转矢量表示法 二 位相差 a 比较两个同频率谐振动的振动步调 t 2 t 1 2 1 振动 1 超前振动 2 6或振动 2 超前振动 1 11 6 1 2 3 2 2 当 2k k 0 1 2 两振动步调相同 称同相 当 2k 1 k 0 1 2 两振动步调相反 称反相 若 2 1 0 则x2比x1较早达到正最大 称x2比x1超前 或x1比x2落后 领先 落后以 的相位角来判断 即x1比x2超前 超前时间 t T 2 b 比较同一振动不同时刻的位相关系 t2 t1 t2 t1 振动状态 1 超前振动状态 2 3 两振动状态间的时间间隔 t 2 T T 6 谐振动的位移 速度 加速度之间的位相关系 由图可见 1 解析法 2 曲线法 2 由 例题 已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示 试求其振动方程 解 方法1 用解析法求解 设振动方程为 故振动方程为 方法2 用旋转矢量法辅助求解 v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位 由图知 7 3谐振动的能量 以弹簧振子为例 谐振动系统的能量 系统的动能Ek 系统的势能Ep 某一时刻 谐振子速度为v 位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 简谐振动系统的能量特点 1 动能 2 势能 分析 3 机械能 简谐振动系统机械能守恒 由起始能量求振幅 7 4同一直线上谐振动的合成 振动迭加原理 合振动的位移等于各个分振动位移的矢量和 一 同一直线上两个同频率谐振动的合成 合振动是简谐振动 其频率仍为 两种特殊情况 如A1 A2 则A 0 两分振动相互加强 两分振动相互减弱 分析 合振动不是简谐振动 合振动可看作振幅缓变的简谐振动 二 同一直线上两个不同频率谐振动的合成 分振动 合振动 当 2 1时 拍 合振幅随时间作周期性变化 振动时而加强 时而减弱的现象 拍频 单位时间内加强 或减弱 的次数 7 7阻尼振动受迫振动共振 一 阻尼振动 阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动 摩擦阻尼 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用 系统的动能转化为热能 辐射阻尼 振动以波的形式向外传波 使振动能量向周围辅射出去 阻尼振动的振动方程 以摩擦阻尼为例 运动方程 振子受粘性阻力 固有角频率 阻尼因子 每一周期内损失的能量越小 振幅衰减越慢 周期越接近于谐振动 阻尼过大 在未完成一次振动以前 能量就以消耗掉 振动系统将通过非周期运动回到平衡位置 使系统能以最短时间返回平衡位置 而恰好不作往复运动的阻尼 应用于天平调衡 二 受迫振动 振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动 振动周期与周期性外力的周期相同 受迫振动振幅的大小 不决定于系统的初始条件 而与振动系统的性质 固有角频率 质量 阻尼的大小和强迫力的特征有关 强迫力角