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1 5 1曲边梯形的面积 如何求曲线下方图形阴影部分的面积 直线 有一边是几条线段连成的折线 问题思考 阴影部分类似于梯形 但有一边是曲线y f x 的一段 定义 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A 得精确么 y f x 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 和用一个矩形近似表示面积相比 哪个精确 A A1 A2 A3 A4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 和前两种情况相比 哪个精确 如何才能更精确 A A1 A2 An 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积A近似为 以直代曲 无限逼近 感悟 分割越细 面积的近似值就越精确 当分割无限变细时 这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S 也即 用转化为计算矩形面积与逼近的方法求出曲边梯形的面积 例1 求抛物线y x2 直线x 0 直线x 1和y 0所围成的曲边梯形的面积 典型例题 一般地 如果函数y f x 在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线 那么我们就把它称为区间I上的连续函数 分割 例1 求抛物线y x2 直线x 0 直线x 1和y 0所围成的曲边梯形的面积 典型例题 把底边区间 0 1 等间隔地插入n 1个点 将其等分成n个小区间 然后在每个分点作底边的垂线 这样曲边梯形被分成n个窄小的曲边梯形 它们的面积记作 区间长度 x 近似代替 小矩形面积 第i个小区间 例1 求抛物线y x2 直线x 0 直线x 1和y 0所围成的曲边梯形的面积 典型例题 把每个窄小的曲边梯形近似成小矩形 并以小矩形面积近似地代替 即在局部小范围内 以直代曲 把第i个小区间左端点处的函数值近似成小矩形的高 得 求和 取极限 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的 四步曲 2 近似代替 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 宽为Dx的小矩形面积f xi Dx近似之 4 取极限 所求曲边梯形的面积S为 3 求和 求n个小矩形面积的和Sn 为曲边梯形面积的近似值 xi xi 1 xi 1 分割 在区间 a b 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的 四步曲 2 近似代替 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 宽为Dx的小矩形面积f xi Dx近似之 4 取极限 所求曲边梯形的面积S为 3 求和 求n个小矩形面积的和Sn 为曲边梯形面积的近似值 xi xi 1 xi 1 分割 在区间 a b 上等间隔地插入n 1个
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