静力学-第6章 摩擦

1,静力学篇,摩 擦 专 题,2,摩 擦, 动画, 例题,3,摩 擦, 动 画,4, 动画,摩 擦,利用摩擦角测定摩擦因数,5,摩擦角与摩擦锥, 动画,摩 擦,6, 动画,螺旋千斤顶,摩 擦,7, 动画,摩擦自锁条件,摩 擦,8,摩 擦, 例 题,9,小物体A重G=10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4 N的力， =30，试求作用在物体上的摩擦力。,2.列平衡方程。,1.取物块A为研究对象，受力分析如图。,解:,10,3.联立求解。,最大静摩擦力,因为,所以作用在物体上的摩擦力为,11,在倾角大于摩擦角f 的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值的范围。,取物块为研究对象。,1.设 F 值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，受力分析如图。,列平衡方程,解:,12,2.设F 值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax，受力分析如图。,联立求解,13,3.综合条件（a）和（b），得,联立求解,列平衡方程,14,物块重G，放于倾角为的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs，如图所示。当物块处于平衡时，试求水平力F1的大小。（用几何法求解）,15,解：,由图a可见，物块在有向上滑动趋势的临界状态时，可将法向约束力和最大静摩擦力用全约束力FR来代替，这时物块在G， FR ，F1max三个力作用下平衡，受力如图。,根据汇交力系平衡的几何条件，可画得如图b所示的封闭的力三角形。,求得水平推力的最大值为,16,FR,F1min,G,法线,同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图 c 。,(c),作封闭的力三角形如图 d 所示。,得水平推力的最小值为,17,综合上述两个结果，可得力F1的平衡范围，即,18,物块重G=1 500 N，放于倾角30o为的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs = 0.2，动摩擦因数为f = 0.18。物块受水平力F=400 N，如图所示。问物块是否静止，并求此时摩擦力的大小与方向。,O,G,F,19,取物块为研究对象，假设摩擦力沿斜面向下，受力分析如图。,列平衡方程,解得,摩擦力为负，说明平衡时摩擦力的方向与假设的方向相反，即沿斜面向上。,因为 , 所以物块下滑。,最大摩擦力为：,解:,20,一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力F 的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。,h,d,B,A,F,x,21,2.列平衡方程。,3.联立求解。,1.取支架为研究对象,受力分析如图。,解析法,解:,补充方程,22,支架受力分析如图所示。,由几何关系得,解得,几何法,23,宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重G，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是 fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求平衡时地面的约束反力，并求能使柜翻倒或滑动所需推力F 的最小值。,h,C,a,b,F,G,24,1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。,解:,取矩形柜为研究对象,受力分析如图。,联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力,补充方程,列平衡方程,25,2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。,柜不绕 B 翻倒条件： FNA0,使柜翻倒的最小推力为,列平衡方程,26,图示匀质木箱重G= 5 kN，它与地面间的静摩擦因数 fs = 0.4。图中h = 2a = 2 m， =30。（1）问当D处的拉力F = 1 kN时，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。,h,a,A,D,27,解:,因为 Ff 0 ，所以木箱不会翻倒。,解方程得,1. 取木箱为研究对象，受力分析如图。,欲保持木箱平衡，必须,（1）不发生滑动，即FfFmax= fsFN 。,（2）不绕点A翻倒，即d 0 。,木箱与地面之间的最大摩擦力为,列平衡方程,28,2. 求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界中的最小力F。,列平衡方程,解得,木箱发生滑动的条件为 Ff=Fmax= fsFN,木箱绕 A 点翻倒的条件为d= 0，则,F = F翻=1 443 N,由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为,29,图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。,30,解方程可得,d,A,x,y,a,O,B,b,FB,FA,取推杆为研究对象，受力分析如图。,解:,列平衡方程,补充方程,代入式 (c) 解得,31,解：,取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩擦力和法向反力分别合成为全约束反力FRA和FRB。这样一来，推杆受F，FRA和FRB三个力作用。,图解法,用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并自A，B两点各作与水平线成夹角f （摩擦角）的直线，两线交于C点，如图所示。C点至推杆中心线的距离即为所求的临界值alim，可用比例尺从图上量出。,或按下式计算，得,A,x,y,a,O,B,C,b,a极限,F,f,f,FRA,FRB,32,制动器的构造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F1。,O,A,B,C,a,b,c,R,O1,r,33,1. 取鼓轮为研究对象，受力分析如图。,解:,列平衡方程,解方程得,34,2. 取杠杆为研究对象，受力分析如图。,35,列平衡方程,由于,36,长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为G的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角。,l,a,A,B,G,37, 例题,以梯子AB为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。,解：,由式（b）和（c）得,38,因 0al， 当 a=l 时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时而梯子不下滑，只需以a = l 代入式（e），得,A,B,f,E,C,FNB,G,FRA,式中f 为梯子与地板间的摩擦角。,或,（e）,39,在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置楔联结。坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs（或摩擦角f ）。求楔块不致滑出所需顶角的大小。,40,1. 取楔块为研究对象，受力分析如图。,解：,列平衡方程,补充方程,解方程可得,由此得,41,将 fs = tanf 代入上式得,即,所以,42,匀质轮子的重量G = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成=30的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数= 0.05 cm，试求力FH的大小。,FH,A,r,O,1.取轮子为研究对象,受力分析如图。,解:,43,2.列平衡方程。,3.联立求解。,补充方程,44,重为G =100 N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小为FB=50 N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为fs1=0.4。轮半径为r，杆长为l，当 =60 时，AC=CB=0.5l ，如图所示。如要维持系统平衡，（1） 若D处静摩擦因数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F的最小值又为多少？,45,解：,此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。,先假设C处的摩擦达到最大值，当力F为最小时，轮有沿水平向右滚动的趋势。,46,受力分析如图，其中D 处摩擦力未达到最大值，假设其方向向左。,47,1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。,解得,列平衡方程,补充方程,48,2.以轮为研究对象，列平衡方程。,由式(c)可得,代入式(e)得 FND=184.6 N,当 fs2= 0.3时，D处最大摩擦力为,49,解方程得,最小水平推力为,受力图不变，补充方程(b)改为,此时C处最大摩擦力为,说明前面求得 不合理，D处应先达到临界状态。,3. 当 fs2= 0.15时,。,50,半径为R，轮上绕的滑轮上作用有力偶有细绳拉住半径为R，重量为G的圆柱，如图所示。斜面倾角为，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最小值；并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦因数的最小值。,R,B,A,MB,R,O,G,51,解：,1. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最小时，圆柱有向下滚动的趋势。,最小拉力为,补充方程,列平衡方程,G,x,y,A,O,FN,Ff,Mf , max,52,2. 取圆柱为研究对象，当绳拉力最大时，圆柱有向上滚动的趋势。,所以最大拉力为,补充方程,列平衡方程,x,y,A,O,G,FN,Ff,Mf , max,53,3. 以滑轮B为研究对象，受力分析如图。,列平衡方程,当绳拉力分别为 或 时，力偶矩的最大与最小值为,54,4. 求圆柱只滚不滑时的最小动摩擦因数fmin。,取圆柱为研究对象，列平衡方程。,补充方程,联立解得,满足只滚不滑的条件为,比较上述结果，可得,例 题 14, 摩 擦, 例题,55,如图所示，总重为G的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角为的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。,a,C,x,y,b,H,h,F,G,A,O,56,拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的滚动摩阻力偶的力偶矩 M1f , max 和 M2f , max 都达到最大值。,解：,列平衡方程,1. 取整个拖车为研究对象， 受力分析如图。,57,2. 再取前轮为研究对象，受力分析如图。,同样由后轮得,轮子滚动临界时的补充方程,解方程可得,列平衡方程,FN1,Fx,Fy,F1,M1f ,max,O,y,x,58,系船的绳索紧绕在码头的立柱上，码头工人以200 N的力拉绳索的一端，绳索的另一端拉船的力为7 kN，如图所示。已知绳索与立柱之间的静滑动摩擦因数为0.3，问钢索应在立柱绕多少圈才能维持平衡，防止打滑？,码头工人,船,59,F1,F2,解：,由,得,所以所需圈数,60,胶带传动机