高等数学考题及答案C.doc

密 封 线 年级： 专业： 班级： 姓名： 学号： 装 订 线 高等数学（下） （B） 考试题题号一二三四五六七总分分数评阅人一. 简单计算题(本题共有5个小题，每小题5分，共25分)1.设，求 2. 求椭球面在点处的切平面方程3. 求微分方程的通解4求，其中为平面在第一卦限中的部分5. 已知常数，判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？二求偏导数及方向导数(本题共有2个小题，每小题7分，共14分)1设,其中 ,，求及2.函数在点处沿从点到点方向的方向导数三计算积分(本题共有3个小题，每小题7分，共21分)1. 求，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。2求曲线积分，其中L为三顶点分别为（0,0）、（3,0）、（3,2）的三交形正向边界，3计算曲面积分，其中为有向曲面（），取下侧四计算题(本题共有3个小题，每小题8分，共24分)1 求幂级数的收敛域及和函数。2. 将函数展开成的幂级数。3. 已知一条曲线在其上任一点处的切线的斜率为，且曲线 通过坐标原点，求此曲线方程。七应用题(本题共有2个小题，每小题8分，共16分)1. 求空间曲面上离原点最近的点，并求此最短距离。2设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。高等数学（下）(B) 考试参考解答一. 简单计算题(本题共有5个小题，每小题5分，共25分)1 解：， （2分）,， （5分）2. 解：设， （1分） 椭球面在点处的切平面的法向量为， （3分）所求切平面方程为： 即： （5分）3. 解：方程的特征方程为：， （2分）解得：，的通解为 （5分）4解：的方程为：，所以在上， （1分）， （2分）在平面上的投影为= （5分）5.解：=，为正项级数，（2分），由正项级数比值法知，收敛，（4分）级数是绝对收敛。 （5分）二求偏导数及方向导数(本题共有2个小题，每小题7分，共14分)1解： 、,，（3分） （4分）= （5分） （6分）= （7分）2解：， （3分）从点到点的方向的单位向量为： （5分） += （7分）三计算积分(本题共有3个小题，每小题7分，共21分)1. 解： （4分） （7分） 2解：由格林公式：=3（7分）3解：设是平面（）的上侧，设与所围立体为，由高斯公式得：- （2分），其中， （4分） 在平面的投影为零，在平面的投影为 （6分） （7分）四计算题(本题共有3个小题，每小题8分，共24分)1幂级数， ，当时，收敛，当时，发散(2分)当，级数为，发散；当，级数为，发散； (3分)故的收敛域为， (4分)设 （）,= (6分) （8分）2.解：， (2分)， (4分)， (6分)， (8分)3. 已知一条曲线在其上任一点处的切线的斜率为，且曲线 通过坐标原点，求此曲线方程。解：由导数的几何意义，得.(1), 对应的齐次方程为.(2) （2分），（2）的通解： （4分）设为（1）的解，则， （5分）代入（1）可得， （7分）方程（1）的通解： （8分）七应用题(本题共有2个小题，每小题8分，共16分)1. 解：曲面点离原点距离的平方为： 下面求在满足条件下的极值 （2分） （3分） （7分）所求点为 （8分）2设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。解： ，曲线积分与路径无关， （2分