走向高考数学2011第9篇3-1

第一讲不等式的性质与基本证明方法 重点难点重点 不等式的性质 基本不等式的应用 含绝对值不等式的解法和不等式的基本证明方法 难点 应用基本不等式解决一些实际问题 含绝对值的三角不等式 不等式的基本证明方法 知识归纳1 不等式的性质前面已复习过不再赘述2 几个重要的不等式 1 定理1a2 b2 2ab a b R 当且仅当a b时取等号 2 定理2 基本不等式 a b R 仅当a b时取等号 3 定理3 平均数定理 a b c R 当且仅当a b c时 取等号 ai R i 1 2 n 仅当a1 a2 an时取等号 4 绝对值三角不等式 定理1 a b a b a b R 仅当ab 0时等号成立 定理2如果a b c R 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 a b a b 5 分式不等式 3 不等式的解法 1 含绝对值不等式解法 ax b c c 0 c ax b c ax b c c 0 ax b c或ax b c x a x b c x a x b c型不等式解法 解法1 S1令每个绝对值符号里的一次式为0 求出相应的根 S2把这些根由小到大排序 它们把实数轴分成若干个小区间 S3在所分区间上 根据绝对值的定义去掉绝对值符号 讨论所得的不等式在这个区间上的解集 S4这些解集的并集就是原不等式的解集 解法2 构造函数f x x a x b c 写出f x 的分段解析式作出图象 找出使f x 0 或f x 0 的x的取值范围即可 解法3 利用绝对值的几何意义求解 x a x b 表示数轴上点P x 到点A a B b 距离的和 关键找出到A B两点距离之和为c的点 取中间 取两边 注意这里c a b 若c a b 则 x a x b c的解集为 x a x b c解集为R 4 不等式的证明方法 1 比较法 依据a b a b 0 a b a b 0来证明不等式的方法称作比较法 其基本步骤 作差 配方或因式分解 判断符号 得出结论 2 综合法 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理论证得出命题成立的方法 它是由因导果法 3 分析法 从要证明结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明过的定理 性质等 从而得出要证明的命题成立的方法 它是执果索因的方法 分析法与综合法常常结合起来运用 看由已知条件能产生什么结果 待定命题需要什么条件 两边凑一凑找出证明途径 常常是分析找思路 综合写过程 4 反证法 证明不等式时 首先假设要证明的命题的不成立 把它作为条件和其它条件结合在一起 利用已知定义 定理 公理 性质等基本原理进行正确推理 逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理 性质 或公认的简单事实相矛盾的结论 以此说明原假设不正确 从而肯定原命题成立的方法称为反证法 5 放缩法 证明不等式 有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小 使其化繁为简 化难为易 达到证明目的 这种方法称为放缩法 误区警示1 使用均值不等式求最值时 必须满足 一正 二定 三相等 的条件 且注意变形配凑技巧 2 不等式定理中的条件要准确把握 如a2 b2 2ab a b R a b a b R 等 3 含绝对值三角不等式 a b a b a b a b 中等号成立的条件应注意 a b a b 中a b 0 而 a b a b 中a b 0等 4 用比商法证明不等式应注意 因此 用比商法必须先判定符号 5 分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件 6 换元法证明不等式时 要注意换元后 新元的取值范围会发生变化 而有时忽视这种变化会导致错误结论或无法进行下去 7 应用放缩法证明不等式时 放缩要适当 既不能放的过小 也不能放过了头 例1 已知a 0 b 1 则下列不等式成立的是 分析 本题中的四个选项实际是要求比较三个数a 与的大小 又 a 0 实质是比较1 的大小 而b 1 从而得出结论 点评 应用不等式的性质时 一定要注意条件 例2 在 ABC中 已知角A B C所对的三边a b c成等比数列 求证 0 B 分析 本题是 已知三边求角 马上想到余弦定理 而余弦定理中有平方关系 本题的结论又是不等式 所以想到用均值定理将 相等 转化为 不等 证明 因为a b c成等比数列 所以b2 ac 由余弦定理得cosB 点评 均值定理能将 相等 转化为 不等 这是其特点 遇到 条件是相等关系 结论是不等关系 可考虑用均值定理 例3 已知 是实数 给出下列四个论断 2 2 5 以其中的两个论断为条件 其余两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 解析 思考每一个论断成立的充分条件是什么 即这个论断成立 需知 什么 与 同号 故 成立 再由 得 4 5 故 成立 点评 不等式 a b a b 中 等号 成立的条件是ab 0号 而不等式 a b a b 中等式成立的条件是ab 0 关于x的不等式 x logax 1 的解集为 解析 a b a b 当且仅当ab 0时成立 若 a b 0 logax1 0 x 1 所求不等式的解集为 x 0 x 1 答案 x 0 x 1 例4 若A x x 7 10 B x x 5 3 B x 5 k x 5 k A B B B A 5 k 3或5 k 17 k 2或k 22 k 2 故k的取值范围是 2 点评 若 x 5 k改为 x 5 k时 要注意k的取值范围端点的情况 例5 已知x y R 求证 sinx siny 1 sinxsiny 分析 将sinx siny看作一个整体 则不等式变成了在 a 1 b 1时 a b 1 ab的形式 可用作差比较法证明 证明 sinx siny 1 sinxsiny sinx 1 siny 1 siny 1 siny sinx 1 1 sinx 1 1 siny 1 1 siny 0 sinx 1 0 1 siny sinx 1 0 即sinx siny 1 sinxsiny 例6 已知互不相等的正数a b c满足abc 1 解析 证法1 互不相等的正数a b c满足abc 1 例7 已知a b c d R x y 0 x2 a2 b2 y2 c2 d2 求证xy ac bd 证明 当ac bd 0时 原不等式显然成立 当ac bd 0时 要证原不等式成立 只须证明x2y2 a2c2 b2d2 2abcd即证a2d2 b2c2 2abcd 即证 ad bc 2 0 上式显然成立 故原不等式成立 例8 已知a b c d R 分析 a b c d R 把4个分母都放大到a b c d后 和式的值变小可证 1 成立 由a b 0 c 0时 可将四项的分子 分母同加上分母少的项 使分母都为a b c d可证 2 成立 例9 若 a 1 b 1 求证 分析 本题的条件与结论之间联系不明显 一时无从着手证明 故考虑使用反证法 a2 b2 2ab 1 2ab a2b2 a2 b2 a2b2 1 0 a2 1 b2 a2 1 0 a2 1 1 b2 0 一 选择题1 若a b x y R 则 1 是 2 成立的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由 x a y b 0知x a与y b同号 又由x y a b知 x a y b 0 即 2 1 1 是 2 的充要条件 选C 2 已知a 0 b 0 m n p 则m n p的大小顺序是 A m n pB m n pC n m pD n m p 答案 A 解析 a b 1 则m n 2 p 取a 1 b 4 则m p 选A 3 对任意实数x 若不等式 x 1 x 2 k恒成立 则k的取值范围是 A k 3B k 3C k 3D k 3 答案 B 分析 此题可用分类讨论的思想用零点分段去掉绝对值符号 或用绝对值的几何意义求解 由 1 得k 3 由 2 得 1 x 2时 k 2x 1 而2x 1 3 3 由 3 得k 3 依题意 要对任意x都使该不等式成立 k 3 故选B 解法2 如图 数轴上点A 1 B 2 当点P x 在A点左侧时 PA PB x 1 x 2 3 当P点在B点右侧时 PA PB x 1 x 2 3 当P点在线段AB上时 PA PB x 1 x 2 3 3 综上可知 PA PB 3 3 k 3 4 设a b 0 x 则x与y的大小关系是 A x yB x yC x yD x y 答案 B 解析 a b 0 5 若a b 1 P Q lga lgb R lg 则 A R P QB P Q RC Q P RD P R Q 答案 B 解析 a b 1 二 解答题6 已知a b c d R且a b c d 1 ac