抛物线定义及标准方程

抛物线及标准方程 一 抛物线是怎样形成的呢 平面内与一个定点F和一条定直线L F不在L上 的距离相等的点的轨迹是什么 思考 请看动画演示 1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线L F不在L上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线L叫做抛物线的准线 二 标准方程 如何建立直角坐标系 二 标准方程 K 设 KF p 设动点M的坐标为 x y 由定义可知 如图 建立直角坐标系 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 y2 2px p 0 表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上 3 四种抛物线的标准方程对比 怎样把抛物线位置特征 标准位置 和方程的特点 标准方程 统一起来 抛物线的标准方程 已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时 应先 定位 后 定量 如何确定抛物线对称轴及开口方向 一次项变量对称轴 开口方向看正负 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 2 2x2 5y 0 3 x ay2 a 0 解 1 因为2p 6 p 3 则焦点坐标是F 0 准线方程是y 3 抛物线方程化为 y2 x 则抛物线x ay2的焦点坐标为 0 准线方程为x 再次强调解题技巧 已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时 应先 定位 后 定量 例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点坐标是F 0 2 2 焦点在直线3x 4y 12 0上 3 抛物线过点A 3 2 1 因为焦点在y轴的负半轴上 并且p 2 2 p 4 所以抛物线的方程是x2 8y 解 2 由题意 焦点应是直线3x 4y 12 0与x轴或y轴的交点 即A 4 0 或B 0 3 当焦点为A点时 抛物线的方程是y2 16x 当焦点为B点时 抛物线的方程是x2 12y 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把A 3 2 代入x2 2py 当焦点在x轴的负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 3 变式训练 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 1 4 3 焦点到准线的距离是2 4 焦点在直线3x 4y 12 0上 2 求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 1 y2 28x 2 4x2 3y 3 2y2 5x 0 4 y 4ax2 y2 12x y2 x y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y y2 16x或x2 12y 焦点 7 0 准线x 7 焦点 0 1 16a 准线y 1 16a 焦点 0 3 16 准线y 3 16 焦点 5 8 0 准线x 5 8 例4 在抛物线y2 4x上求点M 使它到定点P 2 2 和焦点F的距离之和为最小 例3 点P与点F 2 0 的距离比它到直线x 4 0的距离小2 求点P的轨迹方程 例5 M是抛物线y2 2px P 0 上一点 若点M的横坐标为X0 则点M到焦点的距离是 例6 过抛物线y2 4x的焦点 斜率为2的直线L与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 求过定点M 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线方程 例7 例 过抛物线y2 2px的焦点F任作一条直线m 交这抛物线于A B两点 求证 以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切 分析 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 证明 如图 所以EH是以AB为直径的圆E的半径 且EH l 因而圆E和准线l相