2020届东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学（文）试题一、单选题1已知（其中为虚数单位），则的虚部为( )ABCD【答案】B【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.【详解】因为,所以，故的虚部为，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2若A=，则（ ）AA=BBACADB【答案】C【解析】先化简集合A,B,再判断集合之间的关系.【详解】的定义域为-2,2，易知u=的值域为0,4故的值域为0,2即A=0,2 ，B=-2,2 ，易得A，故选C.【点睛】本题考查了用描述法表示集合，考查了集合的化简与集合间的关系；集合常用的表示方法有列举法，描述法，图示法. 集合表示函数的定义域，集合表示函数的值域.3已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为 , 则这个扇形的面积是( )A BCD【答案】C【解析】根据弧长公式|可得：圆的半径R2，然后结合扇形的面积公式S可得答案【详解】因为扇形的圆心角2弧度，它所对的弧长l4cm，所以根据弧长公式|可得：圆的半径R2，所以扇形的面积为：S4cm2；故选：C【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，此题属于基础题型，只要认真计算并且熟练的记忆公式即可解答正确4已知且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，由，可得，代入即可求值得解.【详解】，.故选：【点睛】本题考查同角三角函数关系式，常用公式，属于基础题.5条件或，条件，p是q（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【答案】B【解析】通过举反例，判断出成立推不出成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论【详解】若成立，例如当，时，不成立，即不成立，反之，若且，则是真命题，所以若，则或是真命题，即成立，所以是的必要而不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立，属于中档题6若角， ，是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用三角形的内角和公式、诱导公式逐一判断各个选项中的式子是否成立,从而得出结论.【详解】因为角是的三个内角,故排除;又,故排除;,故正确;由于有可能为钝角,故可能小于零,而,故选项不一定正确;故选.【点睛】本题考查三角形内角和定理和诱导公式，属于基础题.7设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题8设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题设条件知：时，时，当或时，；当时，.由此观察四个选项能够得到正确结果.【详解】函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，当时，；当时，；当时，.时，时，当或时，；当时，.故选：【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.9如图是偶函数的部分图像，为等腰直角三角形，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由为等腰直角三角形可得，；再由，求出；函数为偶函数求出，求出解析式代入即可求解.【详解】根据已知的等腰直角三角形可知，所以，即.所以，又因为该函数为偶函数，所以，所以. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查利用函数性质求解析，熟记性质是解题的关键，是中档题10已知，是边上的点，且，为的外心，的值为（ ）A8B10C18D9【答案】D【解析】先由得到，取，中点分别为，求出，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此；取，中点分别为，则，；因此，所以.故选D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积运算法则以及数量积的几何意义，即可求解，属于常考题型.11已知函数的定义域为，若存在实数，使得，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】根据题意得到的解析式，然后利用换元法求出函数的最大值和最小值然后由“存在实数，使得”可得，由此可得所求范围【详解】由题意得，由，得，函数的定义域为令，且，函数在上单调递增，由题意得“存在实数，使得”等价于“”，解得.故选A【点睛】本题考查换元法的应用及二次函数值域的取法，解题的关键是正确理解题意，将“存在实数，使得”转化为函数的最值的问题处理，考查理解、分析和解决问题的能力12已知实数，满足，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，得，变形为，令，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可【详解】设，则，令，(m)=m0,m1,(m)0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，,故x+y=2故选A【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题二、填空题13已知，与的夹角为，则在上的投影为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以在上的投影为.所以答案应填：【考点】向量的数量积的几何意义14为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为_米【答案】【解析】根据余弦定理构造出，利用换元法可将右侧式子凑成符合基本不等式的形式，根据基本不等式求得最小值.【详解】设，则由余弦定理得 令，则当且仅当，即时，即时，取得最小值本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，关键是能够通过余弦定理将所求长度化为关于变量的和的形式，根据基本不等式求解出和的最小值.15已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 【答案】.【解析】试题分析：因为，所以当且仅当时等式的解集为空集，因此实数a的取值范围是【考点】解不等式16已知对任意的实数，满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】由题意，分段函数在上是增函数，则必使函数在每段上均是增函数，并且由分段函数定义知，而在第一段上所给的函数是一个对数型复合函数，需依据复合函数的单调性得出满足的不等式组，求出的取值范围.【详解】由题意，函数在上是增函数，为增函数，并且当时，由于内层函数的图象开口向上，对称轴是，则内层函数在是减函数，在是增函数.要使在上是增函数， 故有，解得当时，由于为增函数，则，即由于，综上可知，故故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性问题，每一段都具有单调性，端点值也符合递增关系，本题属于难题.三、解答题17已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简.由求得，由此求得数列是等差数列，求得首项和公差，进而求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】解：（1） ，由及得，数列是首项，公差的等差数列，所以 （2）由（1）得 ，则【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查正切函数的性质，考查等差数列的识别，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.18已知向量, 且函数的两个对称中心之间的最小距离为（I）求的解析式及的值；（）若函数在上恰有两个零点,求实数的取值范围【答案】() ； () 【解析】（I）利用数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式，求得的表达式，根据两个对称中心的距离得到周期，进而求得的值.由此求得的解析式，并求得的值.（II）令，转化为，根据，结合正弦函数的图像与性质，求得的取值范围.【详解】解：() 函数的两个对称中心之间的最小距离为,得即,得即 则 ()令得：,当时,当且时,才有两个相同的函数值,此时则.即即：即实数的取值范围是【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查三角函数的图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查三角函数值域的求法，属于中档题.19如图，三棱柱中，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据面面垂直性质可证得平面，从而可得，利用平行关系可得；根据四边形是菱形，可得；根据线面垂直判定定理可得平面，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知，可利用三棱锥体积公式求得，代入可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，平面平面 四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 平面又平面 平面平面（2）四边形是菱形，平面，即四棱锥的体积为【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型.20如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为-1.（1）求和的值；（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）将点代入抛物线：，得，联立直线与抛物线方程，消去，得，则，由，求出；（2）求出直线DM的方程为，联立直线DM的方程和抛物线的方程，求出，利用导数的几何意义，求出切线n的斜率为，得到切线n的方程，联立直线DM、n的方程，求出Q点的纵坐标，且，采用导数的方法得出单调性，由单调性求出最小值试题解析：（1）将点代入抛物线：，得，得，设，则，解法一： ，由已知得，所以，.解法二： ，由已知得.（2）在直线的方程中，令得，直线的方程为：，即，由，得，解得：，或，所以，由，得，切线的斜率，切线的方程为：，即，由，得直线、交点，纵坐标，在直线，中分别令，得到与轴的交点，所以 ，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，最小值为.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，涉及的知识点有直线方程的求法，由导数求切线的斜率，由导数求单调性等，属于中档题 21设函数求函数的单调区间；记函数的最小值为，证明：【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.【解析】（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.【详解】（）显然的定义域为 ，若，此时，在上单调递减；若，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增 （）由（）知：， 即： 要证，即证明，即证明，令，则只需证明，且，当，此时，在上单调递减；当，此时，在上单调递增， 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）【解析】（1）根据，求出直线和曲线的直角坐标方程；（2）求出， ，根据，求出直线的斜率即可【详解】（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故其极坐标方程为，又，故；（2）由题意，直线l的极坐标为，设、对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得：，故，故，则，即 ，所以 故直线的斜率是【点睛】本题