数学教学要注重培养学生的创造性思维能力.doc

数学教学要注重培养学生的创造性思维能力广东省电白县教师进修学校 廖坤望创造性思维是一种具有新颖性和创造性的思维，而求异思维是培养创造性思维的一种重要手段，其主要特点有：独创性、多向性、灵活性和批判性。数学课程标准指出：“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。”下面谈谈在教学解题过程中，如何通过求异思维培养学生的创造性思维。一、 培养学生的独创性。求异思维的独创性特征表现在：思维不落俗套，善于独辟蹊径，教学中经常注意引导学生突破固有的解题模式，寻找更优解法是培养独创性的重要手段。 例1 有十七个兵兵球运动员参加个人冠军赛，比赛采取每输一场即予淘汰的淘汰制，问决出冠军一人共比赛几场？学生常见的解题思路主要有二：认为这是排列组合问题，故试采用排列组合的方法去解。联系比赛常用安排方法，排出比赛图（略）上述的解法，答案都是16场，但这两种方法或者不易求解，或者不易推广至一般情况。分析上述思路都是基于“每两个人比赛一场”这一出发点。如果抓住“每输一场即予淘汰，”可知为决出冠军共有171=16个人被淘汰，故共比赛16场，容易将该解法推广至一般情况。例2 已知三角形的最小内角为30，它的对边为2，另外两个内角的差为60，求最大边的长（要精确值）。学生的思路多倾向于解三角形，如由 及 =60解出最大边，这是常见的解题模式，若启发学生抓住已知条件中两个特殊角（30、60），并利用几何图形，采用下法就有独到之处了。ABDC图1解 如图1，令C=30，AB,作DAB=B,AD交BC于D，则 CAD=60,ADC=90,则BD=AD=,CD=,所以最大边a=CDBD= ()。数学中的某些常见方法与结论，若能突破限制，从原有的范围延伸至相邻的有关内容，也就显得标新立异了。这种手法，其独创性常常在于发现两个或两个以上研究对象之间的联系或相似之点。这里以齐次线性方程组有非零解为例说明之。例3 设a、b、c都大于零，其中至少有一个不等于1，且axbycz=aybzcx=azbxcy=1,(1)证明：x=y=z或x+y+z=0 略证：由（1）得xlga+ylgb+zlgc=0 ylga+zlgb+xlgc=0 (2) zlga+xlgb+ylgc=0把（2）看作关于lga、lgb、lgc的齐次线性方程组，则其必有非零解，故有x y z= 0y z xz x y即（x+y+z）(x-y)2+ (y-z)2+ (z-x)2=0 x+y+z=0或x=y=z二、 培养学生解题的多向性。求异思维的多向性特征表现在思路宽广，善于多方探求，思维成发散式，因而也就不拘一格。教学中注意引导学生探求本质不同的多种解法，注意各分科之间的相互沟通和运用，引导学生对习题的结论或方法进行发散式思维，常能强化学生的求异思维的多向性特征。M0ABy图2x例 长度为(1)的线段AB两端在抛物线y=x2上移动，M是AB的中点，求M离x轴最近时的坐标。解法一:令A、B、M的坐标分别为（x1,y1）、(x2,y2)、(x0,y0),kAB=tg则 x1-x2= y1-y2= y0=(21)（当且仅当sec2=cos2,即cos=时取等号） M离x轴最近时的坐标为(,)或（-，）解法二（略解）（x1-x2）2+(y1-y2)2= 4(x1x2)2+2(x1x2)+ -(y1+y2)2-(y1+y2)=0而x1、x2R x1x20即4-16-(y1+y2)2-(y1+y2)0y1+y2-(舍去)或y1+y2据此可导出结论。解法三 设F为焦点，直线m为准线(图3)A、B、M分别为A、B、M在m上的射影，则yMM=(AABB)=(FAFB)ABMFx（当且仅当AB过F时取等号）A根据AB=不难求得结论（略）B教学中在比较解法优劣后0可引导学生BmMA继续思考:图3（1） 这一方法对本题是否会有某种潜伏的限制？若1时能否用？（2） 将抛物线推广至x2=2py（P0）, 又不加限制后又该怎样解？（3） 有关焦点半径的问题的解法能否从上面的解法中受到启发。下面的一些问题与焦半径有关，能否利用焦半径来找到合理解法：1 P为椭圆b2x2+a2y2=a2b2（ab0）上一点，F1、F2为焦点，求PF1PF2的最大值和最小值，及取得最值时的P点坐标。2 证明从等轴双曲线上一点到双曲线中心的距离是其到两焦点距离的比例中项。3 由椭圆外一点 P(x1,y1)向椭圆引切线PQ、PR，Q、R为切点，设F为一个焦点，则 改上题P为椭圆内一点，结论仍成立吗？三、 加强学生解题的灵活性。求异思维的灵活性特征表现在思维活泼多变，善于联想推导，富有想象力，能随机应变，在教学中经常注意克服“就题论题”式的解题教学方法，引导学生灵活沟通代数、几何、三角等分科之间的联系，采用多种手段，发展学生的联想能力等等，能有效地提高学生的思维灵活性。0BQxACPyS图4例1：已知SA、SB、PQ分别切抛物线y2=2PX(p0)于A、B、C（图4），求证：AQ、SC、PB三线共点。学生的思维受解析几何的限制，极易想到先分别写出直线AQ、BP、CS的方程，再用判定三线共点的通常方法去证。我们在教学中先引导学生作如下一些联想： 欲证AQ、BP、CS三线共点，可否对SPQ用西瓦定理证成立。 题设中S、P、Q均为抛物线两切线之交点，则S的坐标可用A、B的纵坐标表达之： , 等等，能否由此而找到有关的比例式，从而沟通的联想。 事实上，由题设易证简证：过S任作直线，分别过A、P、C、Q、B作抛物线对称轴的平行线交于A、P、C、Q、B（图5）则 (令为a，下同) CQ0CPBxAyAPSQB图5 2a=2b2c, 则： 再证例1：证 由知 AQ、SC、PB三线共点。例2 求证：132525！本例所给条件均为具体数字，学生首先想到的是下法：分析 欲证原式，即证131313131232525个即证 13131313（1312）（1311）（131）13（131）（1312），再分别证1313（13）（13+）（ =1，2,12），即可。但此法的缺点：不能找到一般的结论，却是明显的。为此，在教学中引导学生从分析数字特点入手寻找一般结论。这里，左式的指数25在右式阶乘中再次出现，底数13可用25表示：，故可将不等式改写为25！，进而做出猜测：n！(nN)，至此问题就迎刃而解了。 则 n！ 显然，给n以特例，即可得相应的数字不等式，如令n=38时，有38！象这先证一般结论再证特例或先探求特例再导致一般结论的思维是求异思维灵活性的一种表现。四去伪存真，提高学生的解题判别能力求异思维的批判性特征表现在思维疑而不惑，不满足于成法，善于透彻理解他人思路，辨析其优劣，从批判其错误出发，寻找更合理更正确的科学表达形式。教学中经常注意引导学生提出问题，进行争辩，是培养学生判别能力的重要方法。此即所谓“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进，疑者，觉悟之机也，一番觉悟，一番长进。”对题解的判别常以下列几方面入手：题解的方法；解题的依据；解题的过程；题解的结论；乃至习题本身。判别中力求维护数学的严谨性。例1 为何值时，方程有实数解？学生误解：令 由为实数，得0，即0为一切实数值。这里的错误在于忽略了的取值范围1，1，实质上应将原方程等价于在1，1上至少有一实根才对。略解：化原方程为 （1）若 1 3若 以代入（1）得0=-2 矛盾、无解。作者简介廖坤望，男，1965年2月生