史上最全的基本、典型应用题分类复习.doc

小学数学基本应用题数量关系的种类把应用题的数量关系讲明白，把类型分清楚，清晰理解和掌握各种类型中的数量关系，是关键的一环。也为今后解答复合应用题打好基础的重要一步。在小学教学基本类型应用题的数量关系中，可分为十一种：加法2种；减法3种；乘法2种；除法4种。现分述如下：一、加法的种类：（2种）1已知一部分数和另一部分数，求总数。（求和用加法）例：小明家养灰兔8只，养白兔4只。一共养兔多少只？想：已知一部分数（灰兔8只）和另一部分数（白兔4只）。求总数。也就是求8与4的和。列式：8+4=12（只）答：（略）2已知小数和相差数，求大数。（求比一个数多几的数用加法）例：小利家养白兔4只，灰兔比白兔多3只。灰兔有多少只？想：已知小数（白兔4只）和相差数（灰兔比白兔多3只），求大数（灰兔的只数）。也就是求比4多3的数。列式：4+3=7（只） 答：（略）二、减法有3种：1已知总数和其中一部分数，求另一部分数。（求剩余用减法）例：小丽家养兔12只，其中有白兔8只，其余的是灰兔，灰兔有多少只？想：已知总数（12只），和其中一部分数（白兔8只），求另一部分数（灰兔有多少只？）也就是求剩余部分。列式：128=4（只）2已知大数和相差数，求小数。（即求比一个数少几的数）例：小强家养白兔8只，养的白兔比灰兔多3只（或养的灰兔比白兔少3只）。养灰兔多少只？想：已知大数（白兔8只）和相差数（白兔比灰兔多3只），求小数（灰兔有多少只？）（即求比8少的数）列式：83=5（只）3已知大数和小数，求相差数。(求一个数比另一个数多多少或少多少)例：小勇家养白兔8只，灰兔5只。白兔比灰兔多多少只？（灰兔比白兔少多少只？）想：已知大数（白兔8只）和小数（灰兔5只），求相差数。（白兔比灰兔多多少只？或灰兔比白兔少多少只？）列式：85=3（只）三、乘法有2种：1已知每份数和份数。求总数。（即求几个相同加数的和）例：小利家养了6笼兔子，每笼4只。一共养兔多少只？想：已知每份数（4只）和份数（6笼），求总数（一共养兔多少只？）也就是求6个4是多少 。用乘法计算。列式：46=24（只）2求一个数的几倍是多少？例：白兔有8只，灰兔的只数是白兔的2倍。灰兔有多少只？想：白兔有8只，灰兔的只数是白兔的2倍，也就是说：灰兔有白兔只数两个那么多，就是求2个8只是多少？列式：82=16（只）四、除法有4种：1已知总数和份数，求每份数。（把一个数平均分成几份求一份是多少）例：小强有15个苹果，平均放在3个盘子里，平均每盘放几个苹果？想：已知总数（15个），份数（放3盘）。求每份数（每盘放几个？）也就是把15平均分成3份，求每份是多少。列式：153=5（个）2已知总数和每份数，求份数。（求一个数里面包含有几个另一数）例：小强有15个苹果，每5个放一盘，可以放几盘？想：因为已知总数（15个苹果）和每份数（5个放一盘）求可以放几盘？也就是看25里面有几个5，就可以放几盘？列式：155=3（盘）3求一个数是另一个数的几倍。例：小勇有15个苹果，有5个梨，苹果的个数是梨的几倍？想：看苹果的个数里面有几个梨的个数，就是梨的几倍。即求一个数是另一个数的几倍。列式：155=34已知一个数的几倍是多少，求这个数。例：小勇有15个苹果，是梨个数的3倍，有梨多少个？想：苹果的个数是梨的3倍也就是苹果里面有3个梨的个数，求梨的个数，也就是把15平均分成3份，求一份是多少。列式：153=5（个）解题时注意：“比多”不一定用加法来计算；遇到“比少”也不一定用减法来计算；或有“倍”字的题也不一定用乘法来计算。先分清应用题的数量关系的类型，如果出现上述问题时，要用加法来计算，想一想你算的这道（或这步）应用题是属于哪一类加法应用题的数量关系？（因为加法只有2类），如果你对不上类型，你一定是算错了。在两步或两步以上复合应用题时，也要时刻强调：解答复合应用题的每一步都离不开上述十一类的数量关系。虽然世间的事物千变万化，但是在“+、”这四种运算中，数量之间的关系都不会离开上述某一个类型。只有清晰地掌握这十一种关系，才掌握了解题的规律。例如：同学们植了350棵树，其中200棵是松树，其余全是杨树。松树比杨树多植多少棵？分析：这是一道有两个已知条件的两步计算。三年级学生刚接触很容易与一步应用题的解法相混。那么只有学生清晰地掌握了基本类型中的“已知大数和小数，求相差数。”这一类数量关系。教者可以从问题入手，应用“分析法”来引导：（1）求“栽的松树比杨树多多少棵？：要求是什么数？（是相差数）。（2）要求相差数，必须已知哪两个数？大数（松树的棵数）与小数（杨树的棵数）（3）大数与小数的数量题中告诉我们了吗？告诉了，是多少？没告诉怎么办？大数（松树200棵）已知。小数（杨树的棵数）不知道。必须先求出杨树有多少棵？这样就顺理成章地找出解答本题的关键一环中间问题：杨树有多少棵？解题：（1）杨树有多少棵？想（说算理）：已知总数（350棵）和一部分数（200棵），求另一部分数（杨树的棵数）用减法来计算350200=150（棵）（2）松树比杨树多多少棵？想（说算理）：已知数（200棵）和小数（150棵）求相差数，（用减法来计算）200150=50（棵）从上面明显看出：正确理解和掌握解答应用题的方法，首先必须清晰地掌握以上十一种数量关系。在解答复合应用题时，每一步都离不开这种关系。虽然应用题的内容千变万化，但是在“+、”四种运算的过程中，每一步的数量关系都不会离开上述十一种关系中的某一种。只有清晰地掌握了这十一种数量关系，才能掌握了解答应用题的规律。才能达到高屋建瓴，纲举目张的作用。同时，学应用题的解法时，尽量运用线段分析图示之，有了第一感知印象，达到数形统一。并要学会用“综合分析法”等思考方法。典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：（是等分除法的发展。） 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 数量关系式：总数量总份数平均数 例1：求34、4、82三个数的平均数。 先找：总数量34+4+82 总份数3 再算： （34+4+82） 3=40例2：一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为1/100，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是1/60，汽车共行的时间为1/100+1/60 = 2/75, 汽车的平均速度为 2 2/75 =75（千米） （2） 归一问题：解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。解题关键：求出单位量的数值，再根据题 中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。也可以先求同类数量之间的倍数，再乘上不同类数量。数量关系式：单一量份数=总数量总数量单一量=份数例1 一个织布工人，5天织布1500 米 ， 照这样计算，20天织布多少米 ？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。归一法：（ 1500 5）206000 （米） 倍比法：2051500例2 一个织布工人，5天织布1500 米 ， 照这样计算，织布 6000米 ，需要多少天？ 归一法：6000 （ 1500 5） =20 （天）倍比法：600015005（3）归总问题：解题时需先根据已知条件，求出总量，如总产量、工作总量、总价、总路程等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归总问题。特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式：单位数量单位个数另一个单位数量 = 另一个单位数量例1 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 800 6 4=1200 （米） 例2修一段公路，12个工人45天可完成，如果要提前9天完成，需要增加多少人？这样想：要求需要增加的人数，要用现在需要的人数一原来的人数，就可以求出需要增加的人数。其中“现在需要的人数”还不知道，要用总工作量现在需要的天数。根据“12个工人45天可完成”可以求出总工作量，即工作总量1245=540。根据“原来45天完成”与“如果要提前9天完成”可以求出现在需要的天数459=36(天)，根据工作总量540与现在需要的天数36天，可以求出现在需要的人数54036=15(人)，最后用现在需要的人数原来的人数1512=3(人)。解：1245(459)12 =12453612 =1512 =3(人)答：需要增加3人。（4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。 解题规律：（和差）2 = 大数 大数差=小数 （和差）2=小数 和小数= 大数 例1：一批锡铝合金共重500，其中铝比锡重100，问两种金属各多少？锡：（500-100）2=200kg铝：500-200=300KG（提示：解和差问题时，通常先用公式求一个数，再用减法求另一个数）例2 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把总数转化成 2 个乙班，即 9 4 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 87=7 （人） （5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和倍数和=一倍数一倍数倍数=另一个数 例1：甲是乙的五倍，甲乙的和是30。 想：可以设乙是一份，则甲是五份，总共是六份，即是和30。 那么一份就是：306=5 所以乙是5，甲是：55=25 例2：汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 （ 115-7 ）（ 5+1 ） =18 （辆） 18 5+7=97 （辆） （6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差（倍数1 ）= 一倍数 一倍数倍数=另一个数。 例：某工厂一车间人数是二车间的3倍，一车间比二车间多120人，两个车间各有多少人？ 解答方式：把二车间人数看作“1”，一车间是二车间的3倍，相当于3个“1”，一车间比二车间是3：1。多出来的120人，就是二车间与一车间相差的份数，相当于2份。 二车间：120（3-1）60（人） 一车间：12060180（人）或603180（人） 例2 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度， 17 3=51 （米）甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）剪去的长度。 （7）行程问题：行程问题是反映物体匀速运动的应用题。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度时间=路程。解题关键及规律：要正确的解答有关“行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追击）。两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追击的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。按运动方向，行程问题可以分成三类： 相向运动问题（相遇问题）、 同向运动问题（追及问题）、 背向运动问题（相离问题）1、 相向运动问题 相向运动问题（相遇问题），是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。 解答相遇问题的关键，是求出两个运动物体的速度之和。基本公式有：两地距离速度和相遇时间相遇时间两地距离速度和速度和两地距离相遇时间例1、 两列火车同时从甲乙两地相向而行，经过4小时相遇。已知客车每小时行80千米，货车每小时行50千米，甲乙两地相距多少千米？例2、 两城市相距138千米，甲乙两人骑自行车分别从两城出发，相向而行。甲每小时行13千米，乙每小时行12千米，求从出发到相遇经过几小时？例3、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行，经过3.6小时相遇。已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米？ 2、同向运动问题（追及问题）两个运动物体同向而行，一快一慢，慢在前快在后，经过一定时间快的追上慢的，称为追及。解答追及问题的关键，是求出两个运动物体的速度之差。 基本公式有：追及距离速度差追及时间追及时间追及距离速度差速度差追及距离追及时间例1、 一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。汽车每小时行48千米，摩托车每小时行60千米。通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米？要求距离差，需要知道速度差和追及时间。距离差=速度差追及时间(60-48)2=24千米例2、 甲乙两人在相距12千米的AB两地同时出发，同向而行。甲步行每小时行4千米，乙骑车在后面，每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲？12(43-4)=1.5小时例3、 一个人从甲村步行去乙村，每分钟行80米。他出发以后25分钟，另一个人骑自行车追他，10分钟追上。骑自行车的人每分钟行多少米？要求“骑自行车的人每分钟行多少米”，需要知道“两人的速度差”；要求“两人的速度差”需要知道距离差和追及时间802510+80=280米3、背向运动问题（相离问题）背向运动问题（相离问题），是指地点相同或不同，方向相反的一种行程问题。两个运动物体由于背向运动而相离。解答背向运动问题的关键，是求出两个运动物体共同走的距离（速度和）。 基本公式有：两地距离速度和相离时间相离时间两地距离速度和速度和两地距离相离时间例1、 甲乙两车同时同地相反方向开出，甲车每小时行40千米，乙车比甲车每小时快5.5千米。4小时后，两车相距多少千米？ （40+40+5.5）4342（千米）例2、 甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行。甲车以每小时40千米的速度行驶，到达A地后又以原来的速度立即返回，甲车到达A地时，乙车离B地还有40千米。乙车加快速度继续行驶，到达B地后也立即返回，又用了7.5小时回到中点，这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后，每小时行多少千米？乙车在7.5小时内行驶了（407.5+40+20）千米的路程，这样可以求得乙车加快后的速度。（407.5+40+20）7.548（千米）例3、 甲乙两车同时同地同向而行，3小时后甲车在乙车前方15千米处；如果两车同时同地背向而行，2小时后相距150千米。甲乙两车每小时各行多少千米？根据“3小时后甲车在乙车前方15千米处”，可求得两车的速度差；根据“两车同时同地背向而行，2小时后相距150千米”，可求得两车的速度和。从而求得甲乙两车的速度（和差问题）速度和：150275（千米）速度差：1535（千米）甲：（755）240（千米）乙：40535（千米）（8）工程问题 一、工程应用题的意义计算有关工程的工作量、工作时间、工作效率的应用题叫做工程问题。工程应用题是分数应用题的一种特殊题型。二、工程应用题的特征 一般不知道具体的工作总量，常常把“一项工程”、“一份稿件”、“修一条公路” 等看作工作总量即用单位“1”表示，部分工作量就要用“”表示。工作总量定了之后，通常用、表示各自的工作效率，用表示工效和。注：水管注水问题、有些行程问题等其解法与“工程问题”完全相同。三、工程应用题解答方法1、解题主要关系式：工作效率工作时间 = 工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率工 效 和合作时间 = 工作总量 工作总量工 效 和=合作时间 工作总量合作时间=工 效 和 2、在计算工效和工时的时候，找准工作总量是解题的关键。还需要注意使用：工作总量“1” 已完成部分工作量“”= 剩余部分工作量“”。如果剩余部分工作量由谁来做，就除以谁的工效，等于完成剩余部分工作量所需的工时。在这里“剩余部分工作量”对于它的工作者来说是工作总量，应用的仍然是“工作总量工作效率=工作时间”。例 一项工程，由甲工程队修建，需要天，由乙工程队修建，需要天，两队共同修建需要多少 天？ 思路说明 把这项工程的工作总量看作“”。甲队修建需要天，修建天完成这项工程的 ；乙队修建需要天，修建天完成这项工程的。甲、乙两队共同修建天，完成这项工程 的，工作总量“”中包含了多少个，就是两队共同修建完成这项工 程所需要的天数。 （）（天） 设这项工程的全部工作量为（和的最小公倍数），甲队一天的工作量为， 乙队一天的工作量为，甲、乙两队合建一天的工作量为。用工作总量除以两队合建 一天的工作量，就是两队合建的天数。 （）（） （天） 例 一项工程，甲队独做天完成，乙队独做天完成，两队合做，多少天完成全部工程的？ 思路说明 把这项工程的工作总量看作“”，甲队独做天完成，一天完成这项工程的； 乙队独做天完成，一天完成这项工程的。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的 ，工作总量“”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间 的，就是甲乙合做完成全部工程的所需的时间。 （） （天） 把甲、乙两队合做的工作量，除以甲、乙两队的效率之和，就是甲 乙合做完成全部工程的所需要的时间。 （）（天） 例 东西两镇，甲从东镇出发，小时行全程的，乙队从西镇出发，小时行了全程的。 两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？ 思路说明 由甲小时行全程的。可知甲行完全程要（小时）；由乙小时 行全程的，可知乙行完全程要（小时）。求出了甲、乙行完全程各需要的时间，时间的 倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看作“”，除以速度之和，就可求出两 人同时出发相向而行的相遇时间。 综合算式： （）（） （）（小时） 由甲小时行了全程的，可知甲每小时行全程的；由乙小时行全程的 ，可知乙每小时行全程的。把东西两镇的路程“”，除以甲、乙的速度之和，就可得 到两人同时出发相向而行的相遇时间。 综合算式： （） （）（小时） 例 一项工程，甲、乙合做天可以完成。甲独做天可以完成，乙独做多少天可以完成？ 思路说明 把一项工程的工作总量看作“”，甲、乙合做天可以完成，甲、乙合做一天，完成这 项工程的，甲独做天可以完成，甲做一天完成这项工程的。把甲、乙工作效率之和，减去 甲的工作