2018届高考数学二轮复习专题对点练23圆锥曲线中的最值范围证明问题理.docx

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.(1)解 由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明 由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.2.(2017山西实验中学3月模拟,理20)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F,E,上顶点为P,右顶点为Q,以F1F2为直径的圆O过点P,直线PQ与圆O相交得到的弦长为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C相交于M,N两点,l与x轴、y轴分别相交于A,B两点,满足:记MN的中点为E,且A,B两点到直线OE的距离相等;记OMN,OAB的面积分别为S1,S2,若S1=S2,则当S1取得最大值时,求的值.解 (1)因为以F1F2为直径的圆O过点P,所以b=c,则圆O的方程为x2+y2=b2,直线PQ的方程为y=-x+b=-x+b,则2,解得b=1,所以a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意,设直线的方程为y=kx+m(k,m0),M(x1,y1),N(x2,y2),则A,B(0,m).由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)=16k2-8m2+80,所以m22k2+1,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,因为A,B两点到直线OE的距离相等,所以线段MN的中点与线段AB的中点重合,所以x1+x2=0-,解得k=.于是,S1=|MN|d=|x1-x2|=|m|=.由m22k2+1及k=,可得m2b0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.解 (1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=.设=t,则t0,SOPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时,等号成立,且满足0,所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.4.(2017宁夏中卫二模,理20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设A,B是轨迹C上的两点,且=-4,F(1,0),记S=SOFA+SOAB,求S的最小值.解 (1)设M(x,y),PQ的中点N,连接MN,则|PN|=2,MNPQ,|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,|MN|2+|PN|2=|EM|2.x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.(2)设A,B,令y10,则SOFA=|OF|y1=y1.=-4,+y1y2=-4,解得y1y2=-8,直线AB的方程为(y1-y2),即y-y1=,令y=0得x=2,即直线AB恒过定点E(2,0),当y1=-y2时,ABx轴,A(2,2),B(2,-2).直线AB也经过点E(2,0),SOAB=|OE|y1-y2|=y1-y2.由可得SOAB=y1+,S=y1+y1+2=4.当且仅当y1=,即y1=时,Smin=4.导学号168042185.(2017山东潍坊一模,理20)已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆上异于A的不同两点,且直线AM与AN的斜率之积为-3.试问M,N所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由;若P点为椭圆C上异于M,N的一点,且|MP|=|NP|,求MNP的面积的最小值.解 (1)由题意,椭圆的焦点坐标为(0,),设椭圆方程为=1(ab0),c=,a=,b=1,椭圆C的标准方程为+x2=1;(2)若MN的斜率不存在,设M(x1,y1),N(x1,-y1).则kAMkAN=-3,而3,故不成立,直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,联立得(k2+3)x2+2kmx+m2-3=0.x1+x2=-,x1x2=,kAM=,kAN=.直线AM与直线AN斜率之积为-3,kAMkAN=-3,整理得m=0.直线MN恒过(0,0).由知,|MP|=|NP|,OPMN.当k0时,设OP所在直线方程为y=-x,则,当k=0时,也符合上式,SMNP=|OM|OP|=3,令k2+1=t(t1),k2=t-1,SMNP=3=3.t1,00)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且APBP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.解 (1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为,则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.x0,=16m2+16x00,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(xP,0),则=(x2-xP,-y2),=(x1-xP,y1),由题知,所以(x2-xP)y1+y2(x1-xP)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)xP=,显然y1+y2=4m0,所以xP=-x0,即证xP(-x0,