2019_2020学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差讲义新人教A版选修2.doc

2.3.2离散型随机变量的方差知识点方差、标准差的定义及方差的性质(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小知识点两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布XB(n，p)D(X)p(1p)(其中p为成功概率)np(1p)方差的性质：D(aXb)a2D(X)，D(C)0(C是常数)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()(2)若a是常数，则D(a)0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度()答案(1)(2)(3)2做一做(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p0.5，则E(X)和D(X)分别为_(2)设随机变量B，则D()_.(3)如果X是离散型随机变量，Y3X2，那么D(Y)_D(X)答案(1)0.5和0.25(2)(3)9解析(1)因为X服从两点分布，所以X的概率分布为X01P0.50.5所以E(X)00.510.50.5，D(X)0.520.5(10.5)20.50.25.(2)因为随机变量B，所以D()6.(3)由于X是离散型随机变量，Y3X2呈线性关系，代入公式，则D(Y)32D(X)9D(X)探究1方差及标准差的计算例1已知随机变量X的分布列为X010205060P(1)求X的方差及标准差；(2)设Y2XE(X)，求D(Y)解(1)E(X)01020506016，D(X)(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384.8.(2)Y2XE(X)，D(Y)D(2XE(X)4D(X)43841536.拓展提升求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aXb的方差可用D(aXb)a2D(X)求解已知随机变量的分布列如下表：101P(1)求的均值、方差和标准差；(2)设23，求E()，D()解(1)均值E()(1)01；方差D()(x1E()2p1(x2E()2p2(x3E()2p3；标准差.(2)E()2E()3；D()4D().探究2两点分布与二项分布的方差例2(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差；(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差解(1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X01P0.30.7D(X)p(1p)0.70.30.21.(2)设正面向上的次数为Y，则YB，D(Y)np(1p)51.25.(3)设抽到男同学的人数为.服从超几何分布，分布列为0123P即0123PE()01230.310.51.8，D()(01.8)2(11.8)2(21.8)2(31.8)20.56.拓展提升解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若服从两点分布，则D()p(1p)；若服从二项分布，即B(n，p)，则D()np(1p)(1)若随机变量X的分布列如下表所示X01P0.40.6则E(X)_，D(X)_；(2)若随机变量XB(3，p)，D(X)，则p_.答案(1)0.60.24(2)或解析(1)E(X)00.410.60.6，D(X)0.6(10.6)0.60.40.24.(2)XB(3，p)，D(X)3p(1p)，由3p(1p)，得p或p.探究3方差的实际应用例3有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些解在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)800.2900.61000.290，E(X乙) 800.4900.21000.490.方差分别为D(X甲) (80 90)20.2(90 90)20.6(10090)20.2 40，D(X乙)(8090)20.4(9090)20.2(100 90)20.480.由上面数据，可知E(X甲)E(X乙)，D(X甲)E()，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D()D()，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).1已知随机变量X的分布列为X012P设Y2X3，则D(Y)()A. B. C. D.答案A解析E(X)0121，D(X)(01)2(11)2(21)2，D(Y)D(2X3)4D(X).2一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为()A. B. C. D.答案C解析由题意，次品件数X服从二项分布，即XB，故D(X)np(1p)4.3已知B(n，p)，且E(32)9.2，D(32)12.96，则二项分布的参数n，p的值为()An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1答案B解析由E(32)3E()2，D(32)9D()，及B(n，p)时，E()np，D()np(1p)可知所以故选B.4袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为_答案解析X的分布列为X135P则E(X)135，D(X).5一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互