抛物线的简单几何性质

2 4 2抛物线的简单几何性质 一 复习回顾 抛物线标准方程 1 抛物线的定义 2 抛物线的标准方程 3 椭圆和双曲线的性质 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y R 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 0 0 二 讲授新课 4 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由抛物线的定义 可知e 1 5 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 6 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 通径长为2p 通过焦点的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦 F A 焦点弦 焦点弦公式 B 思考 焦点弦何时最短 过焦点的所有弦中 通径最短 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的e 1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 本质是成比例地放大 例1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 三 典例精析 解法1F1 1 0 解法2F1 1 0 解法3 AB AF BF AA1 BB1 x1 1 x2 1 x1 x2 2 8 A1 B1 解法4 2 4 2直线与抛物线的位置关系 一 复习回顾 直线与圆 椭圆 双曲线的位置关系的判断方法 1 根据几何图形判断的直接判断 2 直线与圆锥曲线的公共点的个数 形 判断直线与双曲线位置关系的步骤 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的渐进线平行 相交 一个交点 计算判别式 F x y 问题 你能说出直线与抛物线位置关系吗 二 讲授新课 判断直线与抛物线位置关系的步骤 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 总结 1或 几何画板演示 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 总结 1 过点 0 2 与抛物线只有一个公共点的直线有 A 1条 B 2条 C 3条 D 无数多条 C 例2求过定点P 0 1 且与抛物线只有一个公共点的直线的方程 由 得 故直线x 0与抛物线只有一个交点 解 1 若直线斜率不存在 则过点P的直线方程是x 0 当k 0时 x y 1 故直线y 1与抛物线只有一个交点 当k 0时 若直线与抛物线只有一个公共点 则 此时直线方程为 综上所述 所求直线方程是x 0或y 1或 2 四 点与抛物线 点P x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的位置关系及判断方法 1 点在抛物线外 2 点在抛物线上 3 点在抛物线内 y02 2px0 0 y02 2px0 0 y02 2px0 0 五 抛物线的焦点弦常见结论 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 1 AB x1 x2 p 2 通径长为2p 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 4 若直线AB的倾斜角为 则 AB 2p sin2 4 在抛物线上求一点 使它到直线2x y 4 0的距离最小 解 设P x y 为抛物线上任意一点 则P到直线2x y 4 0的距离 此时y 1 所求点的坐标为P 1 1 当且仅当x 1时 法二 观察图象可知 平移直线至与抛物线相切 则切点即为所求 联立得 设切线方程为2x y