点阵中的规律

感悟“数形结合”，激发学生思维 点阵中的规律一课带给我的思考 一、 案例背景恩克斯曾经说过：“数学是研究现实世界数的关系和空间形式的科学。”从这个角度上来讲，数形结合就正好完美诠释了代数与图形之间的联系。“数形结合”思想就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数学关系和直观的图形结合起来研究数学问题。北师大版第九册教材点阵中的规律这一内容是标准中的数形结合思想在教材中的具体体现。我认为本节课的教学宗旨在于让学生体会到借助点阵可以研究数的规律应让学生学会利用数形结合的方法观察点阵图，了解数形结合的数学思想并渗透数学模型的变化规律是教材内容的数学核心思想。只有在点滴的教学中渗透“数形结合”的思想，使学生逐步学会看数想形、看形想数，最终达到数形统一，才能使学生的思维得到飞跃。 二、 案例描述（一）创设情景，引入新课我校每年都要举行一次迎元旦数学竞赛，今天老师带来了几道竞赛试题，我们一起试试看。1、请按规律填数。（1）2、5、8、11、（ ）、（ ）（2）2、4、8、16、（ ）、（ ）（3）4、8、12、16、（ ）、（ ）师：同一个数列，我们从不同的角度来考虑。可以从前一个数增加4就能得到后一个数，还可以把第一个数分别扩大2倍，3倍，4倍得到一个新的数。师：刚才几组数同学都找到了规律，有些规律理解起来比较抽象，实际上，在研究数的特征上，有一种更加直观的方法，那就是图形！依次出示图片：（1个，4个，9个，16个）你们知道吗，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这些点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。师：今天我们就一起来研究点阵中的规律。（板书课题：点阵中的规律）（二）探究新知1、研究正方形点阵中的规律。师：我们一起来数数，每个点阵由多少个点组成。想一想下一个点阵图会是什么样子呢？请大家画在作业纸上。学生试着画在作业纸上。（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）师：谁来说说你是怎样画的？这个图由多少个点组成？(出示图片)板书（25）师：大家都是这样画的吗，为什么这样画？ 师：这五个点阵你们能不能用算式表示出来？生：11 22 33 44 55师：好像很有规律？谁发现了？用数学语言把你发现的规律说出来。（引导学生学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）师：同学们真了不起！大家不但用数字表示出每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想：第六个点阵是什么样子呢？ 用算式怎么表示？第20个呢？那么第n个呢？（第几个点阵的点数就是几的平方。）2、同一个点阵的不同划分中的规律。师：现在让我们换个角度，看一看，想一想，还有什么规律？（1）小组合作学习。要求：学生独立思考，写在作业纸上。把发现的规律说给小组同学听听。（2）小组交流（3）全班交流师：哪个小组从其它角度发现了不同的规律？ 学生汇报：（在汇报的同时让学生在黑板的点阵图上加以划分）第一个： 1 = 1；第二个： 13 = 4；第三个： 135 = 9；第四个： 1357 = 16；第五个： 13579 = 25；师：谁听懂了？（加以课件演示）师：你们觉得这组算式有什么特点？提示：从几开始的连续奇数呢？生：是从1开始的连续奇数在相加。小结：n个从1开始的连续奇数的和师：如果按这样的方法第六个点阵，要加几个连续的奇数？生：1357911 36。师：还有哪个小组有不同的想法？斜着分12345+65+4321=36。在学生发言的基础上在图上加以划分。师：这种方法太有新意了！仔细观察这些算式，你们发现了什么？生1：算式里最大的数是6。生2：这个算式是从1开始加到6再加回到1。生3：这个算式的两边是对称的，6在中间。生4：这个点阵的点数是就中间那个数字6乘6的积。师：照这样的规律类推，第7个正方形点阵的点数如何表示？ 第9个呢？第n个呢？师：我们借助来表示？ 123n321。小结：（从1开始连续自然数相加，加到最大的数，再回到1，他们的和就是中间数（最大的数）的平方）师：利用图形，我们从不同的角度找到的数中隐含的规律，（ n个从1开始的连续奇数的和是n的平方；从1开始连续自然数相加，加到最大的数，再回到1，他们的和也是中间数（最大的数）的平方。）(在这里让学生寻找正方形点阵的不同划分方法，把教材分散处理的关于正方形点阵的不同划分方法集中探究，便于学生思维的延续和拓展，不至于出现思维上的断层。这样设计既符合学生的探究心理和学习习惯，又给学生提供了自主探究的空间，体现了学生学习的自主性，还用另一种方式解读了“练一练”中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结概括规律的能力)(三)延伸应用师：除了我们刚才研究的正方形点阵，还有长方形点阵、三角形点阵、螺旋形点阵。1、师：请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵规律。（1）学生独立做题。作业纸上的第二组题。观察下列点阵，并在括号中填上适当的算式。（2）学生汇报： （这四长方形点阵的可以用算式12；23；34；45来表示）。师：根据自己发现的规律，请你独立画出第5个长方形点阵并用算式表示出点数。（学生独立画图并写出算式，互相交流。）生：第5个长方形点阵的点子总数用算式表示是56。（3）师：你们觉得自己所写的算式中的数字与图形之间有什么关系？预设学生的发言：（乘法算式中的第二个因数比第一个因数多1。）（第一个算式的后面一个数是第二个算式前面的一个数）（算式中的第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数）。（4）师：照这样继续写，你能写出第n个长方形点阵的点数吗？生齐：n（n1）。2、师：看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，就能发现规律。下面请大家认真观察给出的四个三角形点阵的规律，快速画出第五个三角形点阵并说出点数。（有15个点。）师：谁来说说自己的想法？全班交流：学生有可能出现的回答：（横着分，算式是1234515。）（斜着分，算式是1234515。）（竖着分，算式是1234515，就是连续的自然数的和。） （在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学方法，只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结，尽管语言可能不够简练，总结不够到位，只要学生是用自己的语言在表述自己的想法，就是对学生思维训练层次的一个提升，一种飞越。）（四）联系生活实际师：我们通过点阵这个图形，探究发现了数中一些隐含的规律，体会到图形与数之间的密切联系。（板书：数形结合）其实点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如国庆阅兵仪式上的陆、海、空方队，都是把一个人看作了一个点，来排列有规律的队形，威武雄壮，显示军威国威。北京奥运会开幕式上的“击缶表演”、“太极表演”等向全世界展示中华民族灿烂文明，优良传统。我们为祖国的富强而自豪！自己是中国人而骄傲！你还知道什么地方运用了点阵的相关知识？（课件出示）（五）作业：课后设计美丽的点阵图。 （在这里，把学生的课堂学习延伸到课外，链接到学生已有的相关生活经验使得原本陌生的数学知识与学生的日常生活自然对接，体现了数学与生活的密切联系。学生课后的自主设计作业，给了学生极大的创造空间，真正体现数学来源于生活，又应用于生活。）三、 案例回眸在这个案例中，“引导学生自主探究同一个正方形点阵不同的划分规律”和“探究三角形点阵的规律”的环节中，学生通过小组合作学习，自己动手画一画，分一分；同桌之间说一说，议一议。学生参与学习的热情及其高涨，思维异常活跃，学生兴奋得说：“老师，我有发现！”，“我有新的发现！”，“我还发现了” ，“我发现的规律和他们不一样”。在自主学习的过程中，学生解决问题的策略是多样的，发现的规律是不同的，生成了许多有价值的结论，虽然学生抽取出的算式难以控制，课堂时时处在动态的变化过程中，但这些动态的变化都是围绕着学习内容有层次展开的，比如：当有的学生回答正确时，教师并不立即表扬，而是说：“不错，还可以怎样？”“有没有同学跟他的想法不一样？”。当有的学生的回答不符合要求时，教师不是迫不及待地否定，而是安慰学生：“没关系，别急。谁来帮帮他。”，“谁能说得更完整些”，启发学生结合图形得到结论。这里教师运用合理的延迟评价，给了其他学生自由思考的空间，让学生互相启发，从而获得了更多、更美好的创新灵感，使个性思维得到充分的发展。学生在这个过程中自然而然地感悟到“数形结合”这种思想的重要性，感受到图形的直观形象，数的简洁细致，体会到图形与数的联系，激活了他们的思维，培养了学生多角度解决问题的思维能力。四、 教学反思本节课主要通过对正方形、长方形点阵的研究，生动具体认识相同数（平方数）之积、连续数之积的特点，并试着解决一些简单问题。点阵中的规律是数形结合思想在教材中的具体体现，我确立了以“数形结合”为主线，着重让学生通过研究正方形点阵、长方形点阵，发现相同数之积和连续数之积的特点；然后让学生在练习中体会图形与数的紧密联系；最后利用问题激发学生运用数形结合的思想解决一些有挑战性的问题。通过一个个有意义的数学活动，引导学生在体验和感悟中学习知识，在探究和思考中发现规律，发展能力，渗透数形结合的思想，体现出抽象、严谨的数学“味”。本节课我始终以看图、画图、想象图为基础，由图想数，由数想图，建立数与形两者之间的联系，并使学生感受到对数的研究可以从图形去认识，同时通过数也能研究形，从而较好地渗透了数形结合的思想。在教学活动中，是由学生通过观察、想象、猜测，自己归纳、总结出来点阵中的规律。由于学生的生活背景、数学知识、能力和思考问题的角度不同，在探索数学问题时，必然会出现多种不同的思考方法。如，在探索点阵中的规律时，并没有局限于“11，22，33，44，nn”的求正方形方法，而是在学生理解后，立即又引导学生探索另外的解决问题的方法：1