(甘志国)刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式

刍甍 羨除 刍童及楔形四棱台的体积公式刍甍 羨除 刍童及楔形四棱台的体积公式 见甘志国著 立体几何与组合 哈工大出版社 2014 第 48 52 页 高考题高考题 1 1 2013 湖北 文 20 如图1 某地质队自水平地面A B C三处垂直向地下 钻探 自A点向下钻到A1处发现矿藏 再继续下钻到A2处后下面已无矿 从而得到在A处正下 方的矿层厚度为 同样可得在B C处正下方的矿层厚度分别为 121 A Ad 122 B Bd 且 过 的中点 且与直线平行的平面截多面体 123 C Cd 123 ddd ABACMN 2 AA 所得的截面为该多面体的一个中截面 其面积记为 111222 ABCA B C DEFGS中 I 证明 中截面是梯形 DEFG II 在 ABC中 记 BC边上的高为 面积为 在估测三角形区域内BCa hSABC 正下方的矿藏储量 即多面体的体积 时 可用近似公式来 111222 ABCA B C VVSh 中中 估算 已知 试判断与V的大小关系 并加以证明 123 1 3 Vddd S V中 请问 该题中的即是怎么来的呢 这由下 123 1 3 Vddd S 6 1 321 dddahV 面推导的羨除体积公式立得 九章算术 商功 篇有部分题目涉及到刍甍 羨除 刍童及楔形四棱台的体积公式 这些公式秦汉时人都已掌握 下面来推导它们 1 1 刍甍刍甍 刍甍是图 2 中的五面体 其中 底面是平行四边形 设 ABCDEFEFDCAB ABCDaAB 直线之间的距离是 直线与平面之间的距离是 则其体积CDAB hEFABCDH 2 6 ca Hh V 图 2 图 3 证明证明 如图 3 设点在面上的射影分别是点 FE ABCDFE 图 1 我们把平面分成三块区域 区域指该平面位于直线左侧的部分 不包括ABCDIAD 直线 区域指该平面夹在直线之间的部分 包括直线这两条直线 区域ADIIBCAD 指该平面位于直线右侧的部分 不包括直线 IIIBCBC 应分六种情形来证明 1 点均位于区域 FE I 2 点位于区域 点位于区域 E I F II 3 点位于区域 点位于区域 E I F III 4 点均位于区域 FE II 5 点位于区域 点位于区域 E II F III 6 点均位于区域 FE III 下面只对情形 5 予以证明 过点作于 交于 过点作于 交于 得 E CDGH HABG F CDIJ IABJ 所以HEEhGH BJICAGHDFJIEGH VVVV 四棱锥四棱锥直三棱柱 32 32 GJIHABCDBJICAGHD SS H c Hh SS H c Hh 2 6 32 ca Hh chah H c Hh 证毕 2 羨除羨除 羨除是图 4 中的五面体 其中 底面是梯形 设ABCDEFEFDCAB ABCD 直线之间的距离是 直线与平面之间的 babDCaAB CDAB hEFABCD 距离是 则其体积 H 6 cba Hh V 图 4 图 5 证明证明 用补形法可证 如图 5 延长至 使 得刍甍 由刍甍的体积公式 得CDRRCAB ABCREF 62 3 2 6 cba HhhbaH ca Hh VVV ADREABCREF 三棱锥刍甍 注注 羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的 当羨除的下底面梯形变成平行四边 形 即图 4 中的 时 羨除就变成了刍甍 也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的ba 极限情形 3 3 刍童刍童 刍童是图 6 中的六面体 其中面面 底面DCBAABCD ABCDDCBA 底面均是平行四边形 设 面之间的距离是ABCDDCBA bBAaAB CDAB 之间的距离是 面之间的距离是 则其体积hDCBA h DCBAABCD H 2 2 6 haahaa H V 图 6 图 7 证明证明 如图 7 可得面与平行平面的交线平行 BAAB DCBAABCD BAAB 所以 连结 CDBA CBDA 由刍甍的体积公式 得 2 2 6 haahaa H VVV DCBACDABCDAB 刍甍刍甍 注注 刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的 当刍童的上底面平行四边形变成线 段 即图 4 中的 时 刍童就变成了刍甍 也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的0 h 极限情形 4 楔形四棱台楔形四棱台 楔形四棱台是图 8 中的六面体 其中面面 底DCBAABCD ABCDDCBA 面 底面均是梯形 设 面ABCDDCBA bDCbBAbCDaAB 之间的距离是 之间的距离是 面之间的CDAB hDCBA h DCBAABCD 距离是 则其体积 H 6 hbbahaba H V 图 8 图 9 证明证明 如图 9 可得 连结 CDBA CBDA 由羨除的体积公式 得 6 hbbahaba H VVV DCBACDABCDAB 羡除羡除 注注 楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的 当楔形四棱台的上底面的梯 形变成线段 即图 4 中的 时 楔形四棱台就变成了羨除 也得刍甍的体积公式是楔0 h 形四棱台的体积公式的极限情形 由刍甍的体积公式可推得羨除 刍童 楔形四棱台的体积公式 由楔形四棱台的体积 公式也可推得刍甍的体积公式 高考题高考题 2 2 2013 全国卷 文理 4 如图 10 在多面体中 已知ABCDEF 是边长为 1 的正方形 且均为正三角形 则ABCDBCFADE 2 EFABEF 该多面体的体积为 A B C D 3 2 3 3 3 4 2 3 图 10 解解 A 由刍甍的体积公式可得 先算得 2 2 H 高考题高考题 3 3 1999 全国卷 文理 10 如图 11 在多面体中 已知面ABCDEF 是边长为 3 的正方形 与面的距离为 2 则该多ABCD 2 3 EFABEFEFABCD 面体的体积为 A B 5 C 6 D 2 9 2 15 图 11 解解 D 由刍甍的体积公式可得 美国