角的平分线案例

角的平分线 第一课时：角的平分线（一）王河中学 朱少华教学内容本节课主要学习角的平分线定理，理解这个定理可以用来简化证明过程，领会它是证明线段相等的又一个工具。教学目标1、知识与技能探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它们的作图方法。2、过程与方法经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，发展几何空间意识。3、情感、态度与价值观培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值。重、难点与关键1、重点：掌握角平分线的性质定理和逆定理。2、难点：运用角平分线定理简化证明线段相等的问题。3、关键：把握全等三角形这个工具，推导出角平线定理，可以通过实物操作让学生有一个感情认识，再用全等严格证明。教学过程一、创设情境，操作感知1、教师演示：教师拿出如图16.4-1的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分12BDAA，E呢？你能说一说吗？”34C学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD=AB，DC、BC，那么只要AE通过点C，则就构成两个三角形：ADC和ABC，又因为AC是公共边，很容易证出ADCABC（SSS）；再运用全等三角形性质推出1=2，3=4，即AE就是平分线。2、折纸验证课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角， 请你用拆叠的方法，找出角的平分线。B学生活动：按上面要求，画课本图如下：DDBCAC(B)ACA课本图16-21C在操作中，发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。教师引导：请同学们再用量角器量一量，看看不起个结论对吗？学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识。设计意图：上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识。二、尺规作图，导入新知课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本的图形后，提出思考问题。BCA问题思索：D1、为什么所做的OP，就是AOB的平P分线呢？O2、如图16-24，OP是AOB的平分课本图16-24线，P是OP上的任一点，过点P分别作PCOA，PDOB，C、D是垂足，根据你学过的知识，图只你们得到哪些结论？写出这个问题的已知，求证，并给出证明。学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下。已知：如课本图16-24所示，OP平分BOA，PDOB，垂足为D，PCOA，垂足为C。求证：PD=PC教师归纳：上面的思考，主要是让大家能和严谨的推理解决前面通感知得到的结论。师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。设计意图：让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来。三、情境合一，优化思维1、情境思考。T公路如图16.4-2所示，要在T区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢：（在图上标出它的位置，比例尺为1:2000）。引导学生分析、解决问题，这里要特别强调；公路写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将图16.4-2没有意义。已知：如图16.4-3所示，PDOA，PEOB，垂足为D、E，PD=PE。求证：PD=PE。A求证：点P在AOB的平分线上。D证明：经过点P作射线OC。PPDOA，PEOB，AOC=PEO=900。图16.4-3EBO在RtRtPDO和RtPEO中，OP=OPOP=PERtRtPDO和RtPEO（HL）AOC=BOCOC是AOC的平分线。教师活动：请部分学生上讲台“板演“，然后引导学生去发现新的结论。2、师生共识。由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的。定理归纳：在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。教学形：对比数学，依据互逆性弄清两个定理的条件、结论、加深理解。四、范例学习，应用所学例、（见课本例题）思路分析：因为已知，求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们，所以“过点P分别作PMBC，PNAC、PQAB，垂足分别为M、N、Q”，这一段话要在证明中写明，同辅助线一样处理，如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写。学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定一进行证明。证明：过点P分别作PMBC，PNAC、PQAB，垂足分别为M、N、Q。BE是B的平分线，点P在BE上。PQ=PM同理可证：PN=PMPN= PQAP平分BAC教师提问：从这个范例中，你能发现什么结构呢？学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。五、随堂练习，巩固新知1、课本练习第1，2题2、课本习题1，2题。