多面体与球的接切(1)

7 2 2与球有关的切接问题 1 球的概念 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做 半圆的圆心叫做球的 半圆的半径叫做球的 球 球心 半径 2 球的性质 性质2 球心和截面圆心的连线 于截面 性质1 用一个平面去截球 截面是 用一个平面去截球面 截线是 大圆 截面过 半径等于球半径 小圆 截面不过 性质3 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系 圆面 圆 球心 球心 垂直 二 球与多面体的接 切 定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个 定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是这个 多面体的外接球 多面体的内切球 问题探究一球心在正方体的中心 随着球的半径逐渐增大 球与正方体有哪些特殊位置关系 正方体的内切 外接 棱切球 正方体的内切球的半径是棱长的一半 正方体的内切球 球的直径等于正方体棱长 正方体的棱切球 球与正方体的棱相切 球的直径等于正方体一个面上的对角线长 切点 各棱的中点 球心 正方体的中心 直径 对棱 中点连线 正方体的外接球 球直径等于正方体的 体 对角线 正方体的内切球直径 正方体的外接球直径 与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a 则 a 问题探究二球与长方体又有哪些位置关系 长方体的外接球 长方体的 体 对角线等于球直径 核对变式1答案 问题探究三随着球半径的逐渐减小 球与正四面体有哪些特殊位置关系 1 球与正四面体的外接问题 设棱长为a的正四面体的外接球的半径R 2 球与正四面体的棱切问题 设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R 3 球与正四面体的内切问题 思考 若正四面体变成正三棱锥 方法是否有变化 思考 若正四面体变成正四棱锥 方法是否有变化 四面体与球的 接切 问题 典型 正四面体ABCD的棱长为a 求其内切球半径r与外接球半径R 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2 正多面体的内切球和外接球的球心重合3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不一定重合4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理5 体积分割是求内切球半径的通用做法 28 C 解 设四面体为ABCD 为其外接球心 球半径为R O为A在平面BCD上的射影 M为CD的中点 连结B 30 解法2构造棱长为1的正方体 如图 则A1 C1 B D是棱长为的正四面体的顶点 正方体的外接球也是正四面体的外接球 此时球的直径为 选A 31 C B A D A D 举一反三 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长分别为1 2 3 则其外接球的表面积是 C B A A B C P C B D A A C D B 球里面的内接圆柱问题 等边三角形 直角三角形 等腰三角形120度 A A1 C B 4 6 构造正三棱柱 构造长方体 2014届邯郸市摸底考 2012辽宁理16 已知正三棱锥P ABC 点P A B C都在半径为的球面上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 1 已知长方形的边长是3 4 沿对角线折叠后成为三棱锥 求三棱锥的外接球的半径 练习案9 2014 石家庄二模 如图 平面四边形ABCD中 AB AD CD