2012年湖北高考数学理科试卷(带详解)

2012 湖北高考湖北高考 理科数学 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 方程的一个根是 2 6 13 0 xx A B C D 3 2i 3 2i22i 2 2i 测量目标 复数的一元二次方程求根 考查方式 给出一元二次方程 由求根公式求出它的根 难易程度 容易 参考答案 A 试题解析 根据复数求根公式 所以方程的一个根为 2 6613 4 32i 2 x 32i 答案为 A 2 命题 的否定是 3 00 xx RQ Q A B 3 00 xx RQ Q 3 00 xx RQ Q C D 3 00 xx RQ Q 3 00 xx RQ Q 测量目标 常用逻辑用语 含有一个量词的命题的否定 考查方式 给出了存在性命题 根据逻辑用语写出命题的否定 难易程度 容易 参考答案 D 试题解析 根据对命题的否定知 是把谓词取否定 然后把结论否定因此选 D 3 已知二次函数的图象如图所示 则它与轴所围图形的面积为 y f xx 第 4 题图 A B C D 2 5 4 3 3 2 2 测量目标 定积分的几何意义 考查方式 给出了二次函数的图象 求出函数解析式 由定积分的几何意义可求得面积 难易程度 容易 参考答案 B 试题解析 根据图像可得 再由定积分的几何意义 可求得面积为 2 1yf xx 1 22 1 1 14 1 133 Sxdxxx 4 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 8 3 3 10 3 6 第 4 题图 测量目标 由三视图求几何体的体积 考查方式 给出了几何体的的三视图 确定其为圆柱 根据体积公式求出体积 难易程度 容易 参考答案 B 试题解析 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分 并且有正视图知是 一个 1 2 的圆柱体 底面圆的半径为 1 圆柱体的高为 6 则知所求几何体体积为原体积的 一半为 选 B 3 5 设 且 若能被 13 整除 则 a Z013a 2012 51a a A 0 B 1 C 11 D 12 测量目标 二项式定理 考查方式 给出二项式 根据其展开式的系数求解 难易程度 中等 参考答案 D 试题解析 由于 51 521 2012020121201120111 201220122012 52 1 C52C52C521 又由于 13 52 所以只需 13 1 a 0a 13 所以 a 12 选 D 6 设是正数 且 a b c x y z 222 10abc 222 40 xyz 20axbycz 则 abc xyz A B C D 1 4 1 3 1 2 3 4 测量目标 不等式的基本性质 考查方式 给出含未知量的 3 个方程 根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案 难易程度 中等 参考答案 C 试题解析 由于 2222222 abcxyzaxbycz 等号成立当且仅当 则 abc t xyz atxbtyctz 步骤 1 2222 10txyz 所以由题知 又 步骤 2 1 2 t abcabc xyzxyz 所以 答案选 C 步骤 3 1 2 abc t xyz 7 定义在上的函数 如果对于任意给定的等比数列 0 0 f x n a 仍是等比数列 则称为 保等比数列函数 现有定义在上 n f a f x 0 0 的如下函数 2 f xx 2xf x f xx lnf xx 则其中是 保等比数列函数 的 f x的序号为 A B C D 测量目标 等比数列性质及函数计算 考查方式 给出了保等比数列的定义 判断所给 4 个函数是否为保等比数列 难易程度 中等 参考答案 C 试题解析 等比数列性质 2 21nnn a aa 步骤 1 22222 2211 nnnnnn f af aa aafa 步骤 2 221 22 21 2 222 nnnnn aaaaa nnn f af afa 步骤 3 2 2 2211 nnnnnn f af aaaafa 选 C 步骤 4 2 221 lnln nnnnn f af aaafa 8 如图 在圆心角为直角的扇形 OAB 中 分别以 OA OB 为直径作两个半圆 在扇形 OAB 内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 A B 2 1 11 2 C D 2 1 第 8 题 测量目标 几何概型及平面图形面积公式 考查方式 给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积 算出他们的比值 即为概率 难易程度 中等 参考答案 A 试题解析 令 扇形 OAB 为对称图形 ACBD 围成面积为 围成 OC 为 1OA 1 S 2 S 作对称轴 OD 则过 C 点 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积 2 S 步骤 1 在扇形 OAD 中为扇形面积减去三角形 OAC 面积和 2 2 1111 2 1 22228 S 1 2 S 扇形 OAB 面积 2 2 S 2 12 11 2 1 284216 SS 12 2 4 SS 1 4 S 选 A 步骤 2 第 8 题图 9 函数在区间上的零点个数为 2 cosf xxx 0 4 A 4 B 5 C 6 D 7 测量目标 三角函数的周期性以及函数零点的判断 考查方式 给出复合函数 根据函数周期性确定其在区间类的零点个数 难易程度 容易 参考答案 C 试题解析 则或 又 0f x 0 x 2 cos0 x 2 2 xkk Z 0 4x 所以共有 6 个解 选 C 0 1 2 3 4k 10 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积尺数 以十六乘之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆术 相当于给出了已知球的体积V 求其直径d的 一个近似公式 人们还用过一些类似的近似公式 根据判断 3 16 9 dV 3 14159 下列近似公式中最精确的一个是 A B C D 3 16 9 dV 3 2dV 3 300 157 dV 3 21 11 dV 测量目标 球的体积公式以及估算 考查方式 根据球的体积估算圆周率 难易程度 中等 参考答案 D 试题解析 由 得 设选项中常数为 则 步骤 1 3 4 32 d V 3 6 V d a b 6 b a A 中代人得 B 中代入得 C 中代入得 6 9 3 375 16 6 3 2 D 中代人得由于 D 中值最接近的真实值 6 157 3 14 300 6 11 3 142857 21 故选 D 步骤 2 二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填 在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 一 必考题 11 14 题 11 设的内角所对的边分别为 若 则角ABC A B C a b c abc abcab C 测量目标 余弦定理 解三角形 考查方式 给出三角形的各边关系 利用余弦定理求出角 C 难易程度 容易 参考答案 120 试题解析 由 得根据余弦定理 abc a bcab 222 abcab 故 222 1 cos 222 abcab C abab 120C 12 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的结果 s 第 12 题图 测量目标 循环结构的程序框图 考查方式 给出程序框图 通过输入 赋值 输出语句 得出满足条件的 s 难易程度 容易 参考答案 9 试题解析 程序在运行过程中各变量的值如下表示 第一圈循环 当 n 1 时 得 s 1 a 3 步骤 1 第二圈循环 当 n 2 时 得 s 4 a 5 步骤 2 第三圈循环 当 n 3 时 得 s 9 a 7 步骤 3 此时 n 3 不再循环 所以解 s 9 步骤 4 13 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 如 22 121 3443 94249 等 显 然 2 位回文数有9 个 11 22 33 99 3 位回文数有90 个 101 111 121 191 202 999 则 4 位回文数有 个 位回文数有 个 21 nn N 测量目标 排列 组合及其应用 考查方式 根据回文数的定义求出4 位回文数以及回文数的个数 21 nn N 难易程度 较难 参考答案 I 90 II 9 10n 试题解析 4 位回文数只用排列前面两位数字 后面数字就可以确定 但是第一位 不能为 0 有 9 1 9 种情况 第二位有 10 0 9 种情况 所以 4 位回文数有 种 答案 90 9 1090 法一 由上面多组数据研究发现 2n 1 位回文数和 2n 2 位回文数的个数相 同 所以可以算出 2n 2 位回文数的个数 2n 2 位回文数只用看前 n 1 位的排列情况 第一 位不能为 0 有 9 种情况 后面 n 项每项有 10 种情况 所以个数为 9 10n 法二 可以看出 2 位数有 9 个回文数 3 位数 90 个回文数 计算四位数的回文 数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的 00 11 22 99 因此四位数的回文数有 90 个 按此规律推导 而当奇数位时 可以看成在偶数位的最中间添加 22 102 nn ss 0 9 这十个数 因 则答案为 212 10 nn ss 9 10n 14 如图 双曲线的两顶点为虚轴两端点为两焦点为 22 22 1 0 xy a b ab 12 AA 12 BB 若以为直径的圆内切于菱形 切点分别为 则 12 FF 12 A A 1122 FB F B A B C D 第 14 题图 双曲线的离心率e 菱形的面积 1 S与矩形的面积的比值 1122 FB F BABCD 2 S 1 2 S S 测量目标 双曲线的标准方程 定义 离心率 以及一般平面几何图形的面积计算 考查方式 给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率 根据面积公式求出面 积比 难易程度 较难 参考答案 I II 51 2 e 1 2 25 2 S S 试题解析 由于以为直径的圆内切于菱形 因此点到直线 12 A A 1122 FB F BO 的距离为 又由于虚轴两端点为 因此的长为 那么在中 22 F Ba 12 BB 2 OBb 22 F OB 由三角形的面积公式知 步骤 1 又由双曲线中存在关 22 22 111 222 bca B Fa bc 系联立可得出 根据解出 步骤 2 222 cab 222 1 ee 1 e 51 2 e II 菱形的面积 设矩形 1122 FB F B 1 2Sbc ABCD2BCm 2BAn 步骤 3 步骤 4 mc nb 222 mna 2222 acab mn bcbc 面积 步骤 5 2 2 22 4 4 a bc Smn bc 22 1 2 2 2 Sbc Sa 步骤 6 222 bca 1 2 25 2 S S 二 选考题 请考生在第 15 16 两题中任选一题作答 请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑 如果全选 则按第 15 题作答结果计分 15 选修 4 1 几何证明选讲 如图 点 D 在的弦 AB 上移动 连接 OD 过点 D OA4AB 作的垂线交于点 C 则 CD 的最大值为 ODOA 第 15 题图 测量目标 直线与圆的位置关系 考查方式 根据直线与圆的位置关系 判断点 D 的位置从而求出线段最大值 难易程度 容易 参考答案 2 试题解析 由于 因此 线段 OC 长为定值 ODCD 22 CDOCOD 即需求解线段 OD 长度的最小值 根据弦中点到圆心的距离最短 此时 D 为 AB 的中点 点 C 与点 B 重合 因此 1 2 2 CDAB 16 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 已知射线与曲线 t 为参数 4 2 1 1 xt yt 相交于 A B 两点 则线段 AB 的中点的直角坐标为 测量目标 平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点 考查方式 给出了两曲线的极坐标方程 将它们化为一般方程并求出交点 难易程度 中等 参考答案 5 5 2 2 试题解析 在直角坐标系下的一般方程为 将参数方程 t 为参数 4 yx x R 2 1 1 xt yt 转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线 步 222 1 1 1 2 ytxx 骤 1 联立上面两个方程消去有 设两点及其中点的横坐标分y 2 540 xx AB P 别为 步骤 2 则有韦达定理 又由于点点在直线上 0AB xxx 0 5 22 AB xx x Pyx 因此的中点 步骤 3 ABP 5 5 2 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知向量 设函 cossinsin xxx a cossin 2 3cos xxx b 数的图象关于直线对称 其中 为常数 且 f xx RAa b x 1 1 2 求函数的最小正周期 f x 若的图象经过点 求函数在区间上的取值范围 yf x 0 4 f x 3 0 5 测量目标 平面向量的数量积运算 三角函数的变换及化简 考查方式 求出函数解析式 根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值 范围 难易程度 容易 试题解析 I 因为 22 sincoscosf xxxx Acos23sin2 xx 步骤 1 由直线是图象的一条对称轴 2sin 2 6 x x yf x 可 所以 即 sin 2 1 6 2 62 kk Z 又所以 k 1 故 所以的 1 23 k k Z 1 1 2 k Z 5 6 f x 最小正周期为 6 5 步骤 2 II 由的图象过点 得 步骤 3 yf x 0 4 0 4 f 即即 5 2sin 2sin2 6264 2 故 步骤 4 5 2sin 2 36 f xx 由有 3 0 5 x 5 5 6366 x 所以 得 15 sin 1 236 x 5 122sin 222 36 x 故函数在上的取值范围为 步骤 5 f x 3 0 5 12 22 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a前三项的和为3 前三项的积为8 求等差数列 n a的通项公式 若 2 a 3 a 1 a成等比数列 求数列 n a的前n项和 测量目标 等差数列的通项 前 n 项和 考查方式 由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项 由前三项成等比关系求出新 数列的前 n 和 难易程度 容易 试题解析 I 设等差数列的公差为 d 则 n a 21 aad 31 2aad 有题意得解得或 步骤 1 1 111 333 2 ad a adad 8 1 2 3 a d 1 4 3 a d 所以由等差数列通项公式可得 或23 1 35 n ann 43 1 37 n ann 故或 步骤 2 35 n an 37 n an II 当时 分别为 不成等比数列 35 n an 231 a a a1 4 2 当时 分别为成等比数列 满足条件 37 n an 231 a a a1 2 4 故 步骤 3 37 1 2 37 37 3 n nn an nn 记数列的前 n 项和为 n a n S 当 n 1 时 当 n 2 时 11 4 Sa 212 5 Saa 当 n 3 234 5 3 37 3 47 37 nn SSaaan 当时 2 2 2 37 311 510 222 nn nn 2n 2 2 311 22 105 22 S 综上 步骤 4 2 41 311 10 1 22 n n S nnn 19 本小题满分 12 分 如图 1 45ACB 3BC 过动点 A 作ADBC 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B 连接 AB 沿 AD 将 ABD折起 使90BDC 如图 2 所示 当 BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 并求EN与平面BMN所成角的大小 图 1 图 2 第 19 题图 测量目标 三棱锥的体积公式 均值不等式求最值 利用导数求函数的最值 空间直角 坐标系的建立 平行与垂直关系的综合应用 考查方式 给出了空间几何体的边 角等 通过均值不等式或者导数求出体积的最大值 利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小 难易程度 中等 试题解析 I 解法 1 在如图 1 所示的 ABC 中 设 BD x 则 03 x 3CDx 由知 ADC 为等腰直角三角形 所以 AD CD 3 步骤 1 45ADBCACB x 由折起前平面 BCD 又 所以于是AD 90BDC 11 3 22 BCD SBD CDxx A 1111 3 3 2 3 3 33212 A BCDBCD VAD Sxxxxxx AAA 3 12 3 3 2 1233 xxx 当且仅当即当 x 1 时 等号成立 23 xx 故当 x 1 即 BD 1 时 三棱锥的体积最大 步骤 2 ABCD 解法 2 同解法 1 得 步骤 32 1111 3 3 69 3326 A BCDBCD VAD Sxxxxxx AA 1 令由 解得 x 1 32 1 69 6 f xxxx 1 1 3 0 2 fxxx 03 x 当时 当时 0 1 x 0 fx 1 3 x 0fx 所以当 x 1 取 1 得最大值 f x 故当 BD 1 时 三棱锥的体积最大 步骤 2 ABCD II 解法 1 以 D 为原点 建立如图 a 所示的空间直角坐标系 Dxyz 由 I 知 当三棱锥的体积最大时 ABCD 1 2BDADCD 于是可得 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 1 1 0 2 DBCAME 且 步骤 3 1 1 1 BM 设 因为等价于 即 1 0 0 2 NEN 则 1 0 ENBM 0EN BM A 故 步骤 4 11 10 22 A 1 0 1 1 1 11 0 0 22 N 所以当 DN 即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点 时 1 2 ENBM 设平面的一个法向量为由 及BMNn x y z BN BM n n 1 1 0 2 BN 得可取 步骤 5 2yx zx 1 2 1 n 3 cos 2 EN n 即 EN 与平面 BMN 所成角的大小 步骤 6 60 第 19 题图 a 解法 2 由 I 知 当三棱锥的体积最大时 步骤 3 ABCD 1 2 BDADCD 如图 b 取 CD 的中点 F 连接 EF 则AD MF BFMFA 由 I 知平面 BCD 所以 MF平面 BCD 步骤 4 AD 如图 c 延长 FE 至 P 点使得 FP DB 连接 BP DP 则四边形 DBPF 为正方形 所以取 DF 得中点 N 连接 EN 又 E 为 FP 的中点 则DP DPBF ENA 所以因为平面 BCD 又 EN面 BCD 所以 ENBF MF MFEN 又因为面 BMF 所以 ENBM MFBF F MF 因为当且仅当而点 F 是唯一的 所以点 N 是唯一的 ENBM ENBF 即当 即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点 1 2 DN ENBM 连接 MN ME 由计算得 NB NM EB EM 5 2 所以 NMB 与 EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形 步骤 5 如图在平面 EGN 中 过点 E 作 EH于 H d BMEGN 平面GN 则 EH平面 BMN 故是 EN 与平面 BMN 所成的角 ENH 在 EGN 中 易得 EG GN NE 所以 EGN 是正三角形 2 2 故即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 步骤 6 60EGN 60 图 b 图 c 图 d 第 19 题图 20 本小题满分 12 分 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量 X 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量 X 小于 300 700 900 的概率分别为 0 3 0 7 0 9 求 工期延误天数Y 的均值与方差 在降水量 X 至少是300的条件下 工期延误不超过 6 天的概率 测量目标 概率的加法公式与方差 条件概率 考查方式 给出了降水量与工期延误的关系 根据概率的加法公式以及方差公式求出延 误天数的均值与方差 条件概率 难易程度 中等 试题解析 I 由已知条件和概率的加法公式有 300 0 3 300700 700 300 0 70 30 4P XPXP XP X 700900 900 700 0 90 70 2PXP XP X 步骤 1 900 1 900 1 0 90 1 P XP X 所以 Y 的分布列为 于是 0 0 32 0 46 0 2 10 0 13E Y 2222 03 0 3 23 0 4 63 0 2 103 0 19 8 D Y 故工期延误天数 Y 的均值为 3 方差 9 8 步骤 2 II 由概率的加法公式 300 1 300 0 7P XP X 又 300900 900 300 0 90 30 6PXP XP X 由条件概率 得 降水量 X300X 300700X 700900X 900X 工期延误天数 Y02610 Y02610 P0 30 40 20 1 300900 0 66 6300 900300 300 0 77 PX P YXP XX P X 故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下 工期延误不超过 6 天的概率是 步骤 3 6 7 21 本小题满分 13 分 设A是单位圆上的任意一点 l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线 D 是直线 l 与 x 22 1xy 轴的交点 点 M 在直线 l 上 且满足 当点A在圆 01 DMm DA mm 且 上运动时 记点 M 的轨迹为曲线 C 求曲线 C 的方程 判断曲线 C 为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 过原点且斜率为k的直线交曲线 C 于 P Q 两点 其中 P 在第一象限 它在 y 轴 上的射影为点 N 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H 是否存在 m 使得对任意的 k 0 都有 若存在 求 m 的值 若不存在 请说明理由 PQPH 测量目标 双曲线的标准方程 直线的方程 直线与双曲线的位置关系 双曲线中的定 点问题 考查方式 给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系 从而判断轨迹为何种曲线 根据 直线与方程的联立求出满足条件的点 难易程度 较难 试题解析 I 如图 1 设则由 00 M x yA xy 01 DMm DA mm 且 可得所以 00 xxym y 00 1 xx yy m 因为 A 点在单位圆上运动 所以 22 00 1xy 将 式代入 式即得所求曲线 C 的方程为 步骤 1 2 2 2 1 0 y xmm m 且1 因为所以 0 1 1 m 当 0 m 1 时 曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 步骤 2 22 1 0 1 0 mm 当 m 1 时 曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 步骤 3 22 0 1 0 1 mm II 解法 1 如图 2 3设则0k 1122 P x kxH xy 111 0 QxkxNkx 直线 QN 的方程为 将其代入椭圆 C 的方程并整理可得 1 2ykxkx 2222222 11 4 40 mkxk x xk xm 依题意可知此方程的两根为于是由韦达定理可得 12 x x 即 步骤 4 2 1 12 22 4 4 k x xx mk 2 1 2 22 4 m x x mk 因为点 H 在直线 QN 上 所以 2 1 212 22 2 2 4 km x ykxkx mk 于是 112121 2 2 PQxkxPHxx ykx 22 11 2222 42 44 k xkm x mkmk 而等价于 PQPH PQ PH A 222 1 22 4 2 0 4 m k x mk 即 又 m 0 得 2 20m 2m 故存在 使得在其对应的椭圆上 对任意的 都有 2m 2 2 1 2 y x 0k PQPH 步骤 5 第 21 题图 1 解法 2 如图 2 3 设则 1 0 1 x 1122 P x yH xy 111 0 QxyNy 因为 P H 两点在椭圆 C 上 所以 两式相减可得 2222 11 2222 22 m xym m xym 步骤 3 22222 1212 0 mxxyy 依题意 由点 P 在第一象限可知 点 H 也在第一象限 且 P H 不重合 故 于是由 式可得 1212 0 xxxx 步骤 4 2 1212 1212 yyyy m xxxx 又 Q N H 三点共线 所以 即 QNQH KK 112 112 2 yyy xxx 于是由 式可得 步骤 5 2 1121212 1121212 1 2 2 PQPH yyyyyyym KK xxxxxxx AAA 而等价于 即 又 m 0 得 m PQPH PQPH KKA1 2 2 m 1 2 故存在 m 使得在其对应的椭圆上 对任意的 k 0 都有 2 2 2 1 2 y x PQPH 步骤 6 图 2 图 3 0 m 1 m 1 第 21 题图 22 本小题满分 14 分 已知函数其中 r 为有理数 且 求 1 0 r f xrxxr x 01r 的 f x 最小值 试用 的结果证明如下命题 设 为正有理数 若 则 1212 0 0 aab b 12 1bb 12 121 122 bb a aaba b 请将 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当为正有理数时 有求导公式 1 xx 测量目标 利用导数求函数的单调区间及最值 解不等式问题 数学归纳法 考查方式 给出函数解析式 求其导数从而求出函数的最值 给出了参数的范围 利用问 题 I 的结论以及导数解决不等式的证明 在利用 II 的命题根据数学归纳法得到命题的 一般形式进行推广 难易程度 较难 试题解析 I 令 解得 x 1 11 1 rr fxrrxrx 0fx 当 0 x 1 时 所以 f x 在 0 1 内是减函数 0fx 当 x 1 时 0 所以 f x 在 0 1 内是增函数 fx 故函数在 x 1