三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用.doc_第1页
三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用.doc_第2页
三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用.doc_第3页
三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用.doc_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍.具体地说,就是:设AD是ABC的中线,则.证明 如图1,作BC边上的高AH.由勾股定理,得,.所以.由,可得.所以.该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用.1.直接使用当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题.例1 AD、BE、CF是ABC的三条中线.若,则_.(2005年山东省初中数学竞赛)分析 AD、BE、CF是ABC的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算.解 如图2, AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得.代入已知数据,变形得.同理,.故.例2 如图3,ABC的内切圆O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间.已知,.那么,当BC、CA为何值时,线段GH的长达到最大值?并求GH的最大值.解 如图3,设O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.由切线长定理,得.由切割线定理得.所以,.设,则. 因此.设,.则. 由阿波罗尼斯定理,得,代入数据并变形,得. 由式、,解得,其中,即.因此,当时,x达到最大值,即当时,线段GH的长达到最大值.2.构造三角形的中线后使用定理有些平面几何题,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.例3 如图4,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、G在同一直线上,M是线段AE的中点,连接MF.则MF的长为_.(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)分析 要求MF的长,注意到点M是线段AE的中点,只要连接AF后,就可运用阿波罗尼斯定理进行求解了.解 如图4,连接AF,延长BA、EF交于点H. 则.在RtAHF中,由勾股定理得.在RtAHE中,由勾股定理得.M是AEF的边AE的中点,由阿波罗尼斯定理得.变形,并代入得.所以.例4 如图5,为锐角,A、B是OM上的两个定点,P是ON上的一个动点,问当P在什么位置时,最小? 解析 如图5,取AB的中点C,连接PC.由阿波罗尼斯定理,得.式中AB的长是定值,要使最小,只需使CP的长最小,根据“垂线段最短”可知,当CPOY时,CP的长最小.至此得到:当P在点D(D为AB的中点C在ON上的射影)时,最小.例5 如图6,已知三个圆:半径分别为1、2、3的、.其中, 和彼此外切,并且都和内切.若(未画出)和内切,并分别和、外切,求的半径.(2011年世界数学团体锦标赛(少年组) 解析 如图6,连接、.由和彼此外切,并且都和内切,可得,.所以.所以点O在线段上.设的半径为,连接、.由和内切,并分别和、外切, 可得,.注意到,故可取的中点P,连接,从而可两次使用三角形中线的阿波罗尼斯定理,得,.所以,即.
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论