圆的专题讲义

精品文档 1欢迎下载 与圆有关的证明及计算与圆有关的证明及计算 1 已知 如图 直线 MN 交 O 于 A B 两点 AC 是直径 AD 平分 CAM 交 O 于 D 过 D 作 DE MN 于 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 DE 6cm AE 3cm 求 O 的半径 2 如图 在 ABC AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC BC 于点 D E 点 F 在 AC 的延长线上 且 CBF CAB 1 求证 直线 BF 是 O 的切线 2 若 AB 5 sin CBF 求 BC 和 BF 的长 3 如图 四边形 ABCD 内接于 O BD 是 O 的直径 AE CD 垂足为 E DA 平 分 BDE 1 求证 AE 是 O 的切线 2 若 DBC 30 DE 1cm 求 BD 的长 精品文档 2欢迎下载 4 如图 已知 ABC 内接于 O AC 是 O 的直径 D 是的中点 过点 D 作 直线 BC 的垂线 分别交 CB CA 的延长线 E F 1 求证 EF 是 O 的切线 2 若 EF 8 EC 6 求 O 的半径 5 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 与点 E 点 P 在 O 上 1 C 1 求证 CB PD 2 若 BC 3 sin P 求 O 的直径 6 如图 直线 EF 交 O 于 A B 两点 AC 是 O 直径 DE 是 O 的切线 且 DE EF 垂足为 E 1 求证 AD 平分 CAE 2 若 DE 4cm AE 2cm 求 O 的半径 精品文档 3欢迎下载 7 如图 Rt ABC 中 ABC 90 以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D 点 E 为 BC 的中点 连接 DE 1 求证 DE 是半圆 O 的切线 2 若 BAC 30 DE 2 求 AD 的长 8 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 以 AC 为直径作 O 交 AB 于点 D 点 连 接 CD 1 求证 A BCD 2 若 M 为线段 BC 上一点 试问当点 M 在什么位置时 直线 DM 与 O 相切 并说明理由 9 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 P 在 BA 的延长线上 PD 切 O 于点 D 过 点 B 作 BE 垂直于 PD 交 PD 的延长线于点 C 连接 AD 并延长 交 BE 于点 E 1 求证 AB BE 2 若 PA 2 cosB 求 O 半径的长 精品文档 4欢迎下载 10 如图 AB 是 O 的直径 PA PC 与 O 分别相切于点 A C PC 交 AB 的延长 线于点 D DE PO 交 PO 的延长线于点 E 1 求证 EPD EDO 2 若 PC 6 tan PDA 求 OE 的长 精品文档 5欢迎下载 圆的动态探究题圆的动态探究题 11 如图 O 半径为 4cm 其内接正六边形 ABCDEF 点 P Q 同时分别从 A D 两点出发 以 1cm s 速度沿 AF DC 向中点 F G 运动 连 接 PB QE 设运动时间为 t s 1 求证 四边形 PEQB 为平行四边形 2 填空 当 t s 时 四边形 PBQE 为菱形 当 t s 时 四边形 PBQE 为矩形 12 如图 AB 为 O 的直径 点 C 为 AB 延长线上一点 动点 P 从点 A 出发沿 AC 方向以 lcm s 的速度运动 同时动点 Q 从点 C 出发以相同的速度沿 CA 方向 运动 当两点相遇时停止运动 过点 P 作 AB 的垂线 分别交 O 于点 M 和点 N 已知 O 的半径为 l 设运动时间为 t 秒 1 若 AC 5 则当 t 时 四边形 AMQN 为菱形 当 t 时 NQ 与 O 相切 2 当 AC 的长为多少时 存在 t 的值 使四 边形 AMQN 为正方形 请说明理由 并求出此 时 t 的值 精品文档 6欢迎下载 13 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 B 60 以边上 AC 上一点 O 为圆心 OA 为半径作 O O 恰好经过边 BC 的中点 D 并与边 AC 相交于另一点 F 1 求证 BD 是 O 的切线 2 若 BC 2 E 是半圆上一动点 连接 AE AD DE 填空 当的长度是 时 四边形 ABDE 是菱形 当的长度是 时 ADE 是直角三角形 14 如图 点 A B C 分别是 O 上的点 且 B 60 CD 是 O 的直 径 P 是 CD 延长线上的一点 且 AP AC 1 求证 AP 是 O 的切线 2 若 AC 3 填空 当的长为 时 以 A C B D 为顶点的四边形为矩形 当的长为 时 ABC 的面积最大 最大面积为 精品文档 7欢迎下载 15 四边形 ABCD 的对角线交于点 E 且 AE EC BE ED 以 AB 为直径的半圆过 点 E 圆心为 O 1 利用图 1 求证 四边形 ABCD 是菱形 2 如图 2 若 CD 的延长 线与半圆相切于点 F 且直 径 AB 8 ABD 的面积为 的长 16 在圆 O 中 AC 是圆的弦 AB 是圆的直径 AB 6 ABC 30 过点 C 作圆的切线交 BA 的延长线于点 P 连接 BC 1 求证 PAC PCB 2 点 Q 在半圆 ADB 上运动 填空 当 AQ 时 四边形 AQBC 的面积最大 当 AQ 时 ABC 与 ABQ 全等 精品文档 8欢迎下载 17 如图 AB 是 O 的直径 点 P 是弦 AC 上一动点 不与 A C 重合 过点 P 作 PE AB 垂足为 E 射线 EP 交于点 F 交过点 C 的切线于点 D 1 求证 DC DP 2 若直径 AB 12cm CAB 30 当 E 是半径 OA 中点时 切线长 DC cm 当 AE cm 时 以 A O C F 为顶点的四边形是菱形 18 如图 O 的直径 AB 4 点 C 为 O 上的一个动点 连 接 OC 过点 A 作 O 的切线 与 BC 的延长线交于点 D 点 E 为 AD 的中点 连接 CE 1 求证 CE 是 O 的切线 2 填空 当 CE 时 四边形 AOCE 为正方形 当 CE 时 CDE 为等边三角形 精品文档 9欢迎下载 19 如图 ABC 是半径为 2 的 O 的内接三角形 连接 OA OB 点 D E F G 分别是 CA OA OB CB 的中点 1 试判断四边形 DEFG 的形状 并说明理由 2 填空 若 AB 3 当 CA CB 时 四边形 DEFG 的面积是 若 AB 2 当 CAB 的度数为 时 四边形 DEFG 是正方形 20 如图 在 ABC 中 AB AC 点 O 为边 AB 的中点 OD BC 于点 D AM BC 于点 M 以点 O 为圆心 线段 OD 为半径的圆与 AM 相切于点 N 1 求证 AN BD 2 填空 点 P 是 O 上的一个动点 若 AB 4 连结 OC 则 PC 的最大值是 当 BOP 时 以 O D B P 为顶点四边形是平行四边形 精品文档 10欢迎下载 1 已知 如图 直线 MN 交 O 于 A B 两点 AC 是直径 AD 平分 CAM 交 O 于 D 过 D 作 DE MN 于 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 DE 6cm AE 3cm 求 O 的半径 解答 1 证明 连接 OD OA OD OAD ODA OAD DAE ODA DAE DO MN DE MN ODE DEM 90 即 OD DE D 在 O 上 OD 为 O 的半径 DE 是 O 的切线 2 解 AED 90 DE 6 AE 3 连接 CD AC 是 O 的直径 ADC AED 90 CAD DAE ACD ADE 精品文档 11欢迎下载 则 AC 15 cm O 的半径是 7 5cm 2 如图 在 ABC AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC BC 于点 D E 点 F 在 AC 的延长线上 且 CBF CAB 1 求证 直线 BF 是 O 的切线 2 若 AB 5 sin CBF 求 BC 和 BF 的长 解答 1 证明 连接 AE AB 是 O 的直径 AEB 90 1 2 90 AB AC 1 CAB CBF CAB 1 CBF 精品文档 12欢迎下载 CBF 2 90 即 ABF 90 AB 是 O 的直径 直线 BF 是 O 的切线 2 解 过点 C 作 CG AB 于 G sin CBF 1 CBF sin 1 在 Rt AEB 中 AEB 90 AB 5 BE AB sin 1 AB AC AEB 90 BC 2BE 2 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 AE 2 sin 2 cos 2 在 Rt CBG 中 可求得 GC 4 GB 2 AG 3 GC BF AGC ABF BF 3 如图 四边形 ABCD 内接于 O BD 是 O 的直径 AE CD 垂足为 E DA 平 精品文档 13欢迎下载 分 BDE 1 求证 AE 是 O 的切线 2 若 DBC 30 DE 1cm 求 BD 的长 解答 1 证明 连接 OA DA 平分 BDE BDA EDA OA OD ODA OAD OAD EDA OA CE AE CE AE OA AE 是 O 的切线 2 解 BD 是直径 BCD BAD 90 DBC 30 BDC 60 BDE 120 DA 平分 BDE BDA EDA 60 ABD EAD 30 在 Rt AED 中 AED 90 EAD 30 AD 2DE 在 Rt ABD 中 BAD 90 ABD 30 精品文档 14欢迎下载 BD 2AD 4DE DE 的长是 1cm BD 的长是 4cm 4 如图 已知 ABC 内接于 O AC 是 O 的直径 D 是的中点 过点 D 作 直线 BC 的垂线 分别交 CB CA 的延长线 E F 1 求证 EF 是 O 的切线 2 若 EF 8 EC 6 求 O 的半径 解答 1 证明 连接 OD 交于 AB 于点 G D 是的中点 OD 为半径 AG BG AO OC OG 是 ABC 的中位线 OG BC 即 OD CE 又 CE EF OD EF EF 是 O 的切线 2 解 在 Rt CEF 中 CE 6 EF 8 CF 10 精品文档 15欢迎下载 设半径 OC OD r 则 OF 10 r OD CE FOD FCE r 即 O 的半径为 5 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 与点 E 点 P 在 O 上 1 C 1 求证 CB PD 2 若 BC 3 sin P 求 O 的直径 解答 1 证明 C P 又 1 C 1 P CB PD 2 解 连接 AC AB 为 O 的直径 ACB 90 精品文档 16欢迎下载 又 CD AB P CAB 又 sin P sin CAB 即 又知 BC 3 AB 5 直径为 5 6 如图 直线 EF 交 O 于 A B 两点 AC 是 O 直径 DE 是 O 的切线 且 DE EF 垂足为 E 1 求证 AD 平分 CAE 2 若 DE 4cm AE 2cm 求 O 的半径 解答 1 证明 连接 OD OD OA ODA OAD DE 是 O 的切线 ODE 90 OD DE 又 DE EF 精品文档 17欢迎下载 OD EF ODA DAE DAE OAD AD 平分 CAE 2 解 连接 CD AC 是 O 直径 ADC 90 在 Rt ADE 中 DE 4cm AE 2cm 根据勾股定理得 AD cm 由 1 知 DAE OAD AED ADC 90 ADC AED 即 AC 10 O 的半径是 5 7 如图 Rt ABC 中 ABC 90 以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D 点 E 为 BC 的中点 连接 DE 1 求证 DE 是半圆 O 的切线 2 若 BAC 30 DE 2 求 AD 的长 解答 1 证明 连接 OD OE BD 精品文档 18欢迎下载 AB 为圆 O 的直径 ADB BDC 90 在 Rt BDC 中 E 为斜边 BC 的中点 DE BE 在 OBE 和 ODE 中 OBE ODE SSS ODE ABC 90 则 DE 为圆 O 的切线 2 在 Rt ABC 中 BAC 30 BC AC BC 2DE 4 AC 8 又 C 60 DE CE DEC 为等边三角形 即 DC DE 2 则 AD AC DC 6 8 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 以 AC 为直径作 O 交 AB 于点 D 点 连 接 CD 1 求证 A BCD 2 若 M 为线段 BC 上一点 试问当点 M 在什么位置时 直线 DM 与 O 相切 精品文档 19欢迎下载 并说明理由 解答 1 证明 AC 为直径 ADC 90 A DCA 90 ACB 90 DCB ACD 90 DCB A 2 当 MC MD 或点 M 是 BC 的中点 时 直线 DM 与 O 相切 解 连接 DO DO CO 1 2 DM CM 4 3 2 4 90 1 3 90 直线 DM 与 O 相切 故当 MC MD 或点 M 是 BC 的中点 时 直线 DM 与 O 相切 精品文档 20欢迎下载 9 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 P 在 BA 的延长线上 PD 切 O 于点 D 过 点 B 作 BE 垂直于 PD 交 PD 的延长线于点 C 连接 AD 并延长 交 BE 于点 E 1 求证 AB BE 2 若 PA 2 cosB 求 O 半径的长 解答 1 证明 连接 OD PD 切 O 于点 D OD PD BE PC OD BE ADO E OA OD OAD ADO OAD E AB BE 2 解 由 1 知 OD BE 精品文档 21欢迎下载 POD B cos POD cosB 在 Rt POD 中 cos POD OD OA PO PA OA 2 OA OA 3 O 半径 3 10 如图 AB 是 O 的直径 PA PC 与 O 分别相切于点 A C PC 交 AB 的延长 线于点 D DE PO 交 PO 的延长线于点 E 1 求证 EPD EDO 2 若 PC 6 tan PDA 求 OE 的长 解答 1 证明 PA PC 与 O 分别相切于点 A C APO EPD 且 PA AO PAO 90 AOP EOD PAO E 90 APO EDO EPD EDO 精品文档 22欢迎下载 2 解 连接 OC PA PC 6 tan PDA 在 Rt PAD 中 AD 8 PD 10 CD 4 tan PDA 在 Rt OCD 中 OC OA 3 OD 5 EPD ODE DEP OED 2 DE 2OE 在 Rt OED 中 OE2 DE2 OD2 即 5OE2 52 OE 11 如图 O 半径为 4cm 其内接正六边形 ABCDEF 点 P Q 同时分别从 A D 两点出发 以 1cm s 速度沿 AF DC 向中点 F G 运动 连接 PB QE 设运 动时间为 t s 1 求证 四边形 PEQB 为平行四边形 2 填空 当 t 2 s 时 四边形 PBQE 为菱形 当 t 0 或 4 s 时 四边形 PBQE 为矩形 精品文档 23欢迎下载 解答 1 证明 正六边形 ABCDEF 内接于 O AB BC CD DE EF FA A ABC C D DEF F 点 P Q 同时分别从 A D 两点出发 以 1cm s 速度 运动时间为 t s AP DQ t 则 PF QC 4 t 在 ABP 和 DEQ 中 ABP DEQ SAS BP EQ 同理可证 PE QB 四边形 PEQB 是平行四边形 2 解 当四边形 PBQE 为菱形时 PB PE EQ QB ABP DEQ PFE QCB AP PF DQ QC 即 t 4 t 得 t 2 故答案为 2 当 t 0 时 EPF PEF 30 BPE 120 30 90 此时四边形 PBQE 为矩形 当 t 4 时 ABP APB 30 BPE 120 30 90 此时四边形 PBQE 为矩形 故答案为 0 或 4 精品文档 24欢迎下载 12 如图 AB 为 O 的直径 点 C 为 AB 延长线上一点 动点 P 从点 A 出发沿 AC 方向以 lcm s 的速度运动 同时动点 Q 从点 C 出发以相同的速度沿 CA 方向 运动 当两点相遇时停止运动 过点 P 作 AB 的垂线 分别交 O 于点 M 和点 N 已知 O 的半径为 l 设运动时间为 t 秒 1 若 AC 5 则当 t 时 四边形 AMQN 为菱形 当 t 时 NQ 与 O 相切 2 当 AC 的长为多少时 存在 t 的值 使四边形 AMQN 为正方形 请说明理由 并求出此时 t 的值 解答 解 1 AP t CQ t 则 PQ 5 2t NM AB PM PN 当 PA PQ 时 四边形 AMQN 为菱形 即 t 5 2t 解得 t 当 ONQ 90 时 NQ 与 O 相切 如图 OP t 1 OQ AC OA QC 5 1 t 4 t NOP QON Rt ONP Rt OQN 即 整理得 t2 5t 5 0 解得 t1 t2 1 t 2 5 故舍去 即当 t 时 NQ 与 O 相切 精品文档 25欢迎下载 故答案为 2 当 AC 的长为 3 时 存在 t 1 使四边形 AMQN 为正方形 理由如下 四边形 AMQN 为正方形 MAN 90 MN 为 O 的直径 而 MQN 90 点 Q 在 O 上 AQ 为直径 点 P 在圆心 MN AQ 2 AP 1 t AP 1 CQ t 1 AC AQ CQ 2 1 3 13 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 B 60 以边上 AC 上一点 O 为圆心 OA 为半径作 O O 恰好经过边 BC 的中点 D 并与边 AC 相交于另一点 F 1 求证 BD 是 O 的切线 2 若 BC 2 E 是半圆上一动点 连接 AE AD DE 填空 当的长度是 时 四边形 ABDE 是菱形 当的长度是 或 时 ADE 是直角三角形 解答 1 证明 连接 OD 如图 BAC 90 点 D 为 BC 的中点 精品文档 26欢迎下载 DB DA DC B 60 ABD 为等边三角形 DAB ADB 60 DAC C 30 而 OA OD ODA OAD 30 ODB 60 30 90 OD BC BD 是 O 的切线 2 解 ABD 为等边三角形 AB BD AD CD 在 Rt ODC 中 OD CD 1 当 DE AB 时 DE AC AD AE ADE BAD 60 ADE 为等边三角形 AD AE DE ADE 60 AOE 2 ADE 120 AB BD DE AE 四边形 ABDE 为菱形 此时的长度 当 ADE 90 时 AE 为直径 点 E 与点 F 重合 此时的长度 当 DAE 90 时 DE 为直径 AOE 2 ADE 60 此时的长度 所以当的长度为 或 时 ADE 是直角三角形 精品文档 27欢迎下载 故答案为 或 14 如图 点 A B C 分别是 O 上的点 且 B 60 CD 是 O 的直径 P 是 CD 延长线上的一点 且 AP AC 1 求证 AP 是 O 的切线 2 若 AC 3 填空 当的长为 时 以 A C B D 为顶点的四边形为矩形 当的长为 时 ABC 的面积最大 最大面积为 解答 1 证明 连接 OA B 60 AOC 2 B 120 又 OA OC ACP CAO 30 AOP 60 AP AC P ACP 30 精品文档 28欢迎下载 OAP 90 OA AP AP 是 O 的切线 2 连接 AD ADC B 60 CD 是直径 DAC 90 AC 3 AD CD 2 OC 当 AB 是直径时 四边形 ADBC 是矩形 此时 B 60 当 BA BC 时 ABC 的面积最大 此时 ABC 是等边三角形 S ABC 32 15 四边形 ABCD 的对角线交于点 E 且 AE EC BE ED 以 AB 为直径的半圆过 点 E 圆心为 O 1 利用图 1 求证 四边形 ABCD 是菱形 2 如图 2 若 CD 的延长线与半圆相切于点 F 且直径 AB 8 ABD 的面积为 16 的长 精品文档 29欢迎下载 解答 解 1 AE EC BE ED 四边形 ABCD 是平行四边形 AB 为直径 且过点 E AEB 90 即 AC BD 四边形 ABCD 是平行四边形 四边形 ABCD 是菱形 2 连结 OF CD 的延长线与半圆相切于点 F OF CF FC AB OF 即为 ABD 中 AB 边上的高 S ABD AB OF 8 4 16 点 O 是 AB 中点 点 E 是 BD 的中点 S OBE S ABD 4 过点 D 作 DH AB 于点 H AB CD OF CF FO AB F FOB DHO 90 四边形 OHDF 为矩形 即 DH OF 4 精品文档 30欢迎下载 在 Rt DAH 中 sin DAB DAH 30 点 O E 分别为 AB BD 中点 OE AD EOB DAH 30 的长度 故答案为 16 16 在圆 O 中 AC 是圆的弦 AB 是圆的直径 AB 6 ABC 30 过点 C 作圆 的切线交 BA 的延长线于点 P 连接 BC 1 求证 PAC PCB 2 点 Q 在半圆 ADB 上运动 填空 当 AQ 3 时 四边形 AQBC 的面积最大 当 AQ 3 或 3 时 ABC 与 ABQ 全等 解答 1 证明 如图 1 所示 连接 OC PC 是圆 O 的切线 OC 是半径 OC PC PCO 90 PCA ACO 90 AB 是直径 ACB 90 B CAB 90 精品文档 31欢迎下载 OC OA OAC OCA B OCA 90 PCA B 又 P P PAC PCB 2 解 当点 Q 运动到 OQ AB 时 四边形 AQBC 的面积最大 如图 2 所示 连接 AQ BQ OA OB OQ AB OQ BQ AB 是直径 AQB 90 ABQ 是等腰直角三角形 AQ AB 3 故答案为 3 如图 3 所示 ACB 90 ABC 30 AC AB 3 BC AC 3 分两种情况 a 当 AQ AC 3 时 在 Rt ABC 和 Rt ABQ 中 ABC ABQ HL b 当 AQ BC 3时 同理 ABC BAQ 综上所述 当 AQ 3 或 3时 ABC 与 ABQ 全等 精品文档 32欢迎下载 17 如图 AB 是 O 的直径 点 P 是弦 AC 上一动点 不与 A C 重合 过点 P 作 PE AB 垂足为 E 射线 EP 交于点 F 交过点 C 的切线于点 D 1 求证 DC DP 2 若直径 AB 12cm CAB 30 当 E 是半径 OA 中点时 切线长 DC 4 cm 当 AE 3 cm 时 以 A O C F 为顶点的四边形是菱形 解答 解 1 连接 OC CD 是 O 的切线 OCD 90 OA OC OAC OCA PE AB PEA 90 精品文档 33欢迎下载 OAC APE 90 OCA PCD 90 APE PCD APE CPD PCD CPD DC DP 2 连接 BC AB 是直径 ACB 90 A 30 AB 12 AC AB cos30 6 在 Rt APE 中 AE OA 3 AP AE cos30 2 PC AC AP 4 APE DPC 60 DP DC DPC 是等边三角形 DC 4 故答案为 4 当 AE EO 时 四边形 AOCF 是菱形 理由 连接 AF OF AE EO FE OA FA FO OA AFO 是等边三角形 FAO 60 CAB 30 FAC 30 FOC 2 FAC 60 精品文档 34欢迎下载 FOC 是等边三角形 CF CO OA AF 四边形 AOCF 是菱形 AE 3cm 时 四边形 AECF 是菱形 故答案为 3 18 如图 O 的直径 AB 4 点 C 为 O 上的一个动点 连接 OC 过点 A 作 O 的切线 与 BC 的延长线交于点 D 点 E 为 AD 的中点 连接 CE 1 求证 CE 是 O 的切线 2 填空 当 CE 2 时 四边形 AOCE 为正方形 当 CE 时 CDE 为等边三角形 解答 1 证明 连接 AC OE 如图 1 AB 为直径 ACB 90 ACD 为直角三角形 又 E 为 AD 的中点 EA EC 在 OCE 和 OAE 中 精品文档 35欢迎下载 OCE OAE SSS OCE OAE 90 CE OC CE 是 O 的切线 2 解 C 在线段 BD 的中点时 四边形 AOCE 为正方形 理由如下 当 C 为边 BD 的中点 而 E 为 AD 的中点 CE 为 BAD 的中位线 CE AB CE AB OA 四边形 OAEC 为平行四边形 OAE 90 平行四边形 OCEA 是矩形 又 OA OC 矩形 OCEA 是正方形 CE OA 2 故答案为 2 连接 AC 如图 2 CDE 为等边三角形 D 60 ABD 30 CE CD 在 Rt ABC 中 AC AB 2 在 Rt ACD 中 tan D CD CE 精品文档 36欢迎下载 故答案为 19 如图 ABC 是半径为 2 的 O 的内接三角形 连接 OA