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数学三考研真题答案【篇一：最新考研数学三(2003-2013年)历年真题+答案详解】s=txt数学三试题 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 1? ?xcos,若x?0, （1）设f(x)? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是x 若x?0,?0, （2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?_. （3）设a0，f(x)?g(x)? ?a,若0?x?1, 而d表示全平面，则i?f(x)g(y?x)dxdy=_. ?0,其他，d （4）设n维向量?(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵 a?e?t， b?e? 1 ?t， a 其中a的逆矩阵为b，则a=_. （5）设随机变量x 和y的相关系数为0.9, 若z?x?0.4，则y与z的相关系数为_. （6）设总体x服从参数为2的指数分布，x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随机样本，则当n? 1n 时，yn?xi2依概率收敛于_. ni?1 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)? f(x) x (a) 在x=0处左极限不存在.(b) 有跳跃间断点x=0. (c) 在x=0处右极限不存在.(d) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 (a) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （b）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (c) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零.(d) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. （3）设pn? ? an?an 2 ，qn? ? an?an 2 ? (a) 若 ?a n?1 n 条件收敛，则 ?p n?1 n 与 ?q n?1 n 都收敛. (b) 若 ?a n?1 ? n 绝对收敛，则 ?p n?1 ? n 与 ?q n?1 ? n 都收敛. (c) 若 ?a n?1? ? n 条件收敛，则 ?p n?1? ? n 与 ?q n?1? ? n 敛散性都不定. (d) 若 ?a n?1 n 绝对收敛，则 ?p n?1 n 与 ?q n?1 n 敛散性都不定. ?abb?（4）设三阶矩阵a?bab，若a的伴随矩阵的秩为1，则必有 ?bba? (a) a=b或a+2b=0. (b) a=b或a+2b?0. (c) a?b且a+2b=0.(d) a?b且a+2b?0. （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 (a) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2?ks?s?0，则?1,?2,?,?s 线性无关. (b) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有 k1?1?k2?2?ks?s?0. (c) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (d) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：a1=掷第一次出现正面，a2=掷第二次出现正面，a3=正、反面各出现一次，a4=正面出现两次，则事件 (a) a1,a2,a3相互独立. (b) a2,a3,a4相互独立. (c) a1,a2,a3两两独立. (d) a2,a3,a4两两独立. 三、（本题满分8分） 设 f(x)? 1111?,x?,1). ?xsin?x?(1?x)2 试补充定义f(1)使得f(x)在,1上连续. 四 、（本题满分8分） 1 2 ?2f?2f12 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又?1g(x,y)?fxy,(x?y2),求22 2?u?v?2g?2g ?. ?x2?y2 五、（本题满分8分） 计算二重积分i? ?(xe?d 2 ?y2?) sin(x2?y2)dxdy. 其中积分区域d=(x,y)x2?y2?. 六、（本题满分9分） x2n 求幂级数1?(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值. 2nn?1 ? n 七、（本题满分9分） 设f(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(?,?)内满足以下条件：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex. (1) 求f(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出f(x)的表达式. 八、（本题满分8分） 设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在?(0,3)，使f?(?)?0. 九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 ?(a1?b)x1?a2x2?a3x3?anxn?ax?(a?b)x?ax?ax112233nn? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3?anxn ?a1x1?a2x2?a3x3?(an?b)xn ?0, ?0,?0, ?0, 其中 ?a i?1 n i ?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型 222 f(x1,x2,x3)?xtax?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)， 中二次型的矩阵a的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b的值； (2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量x的概率密度为 ?1 ,若x?1,8,? f(x)?3x2 其他;?0, f(x)是x的分布函数. 求随机变量y=f(x)的分布函数. 十二、（本题满分13分） 设随机变量x与y独立，其中x的概率分布为 x?0.30.7?， ? 而y的概率密度为f(y)，求随机变量u=x+y的概率密度g(u). ?12? 2003年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 1? ?xcos,若x?0, （1）设f(x)? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是?2. x 若x?0,?0, 【分析】 当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当?1时，有 11?1 ?xcos?x?2sin,若x?0, f?(x)? xx 若x?0,?0,? 显然当?2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续. x?0 （2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2? 4a6 . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即y?0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 2 y?3x2?3a2?0，有 x0?a2. 又在此点y坐标为0，于是有 3 0?x0?3a2x0?b?0, 222 故b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6. 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a0，f(x)?g(x)? ?a,若0?x?1, 而d表示全平面，则i?f(x)g(y?x)dxdy=a2 . ?0,其他，d 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 i? =a ?f(x)g(y?x)dxdy= d 0?x?1,0?y?x?1 ?a 2 dxdy 2 ? 1 dx? x?1 x dy?a2?(x?1)?xdx?a2. 1 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的 区域的公共部分上积分即可. （4）设n维向量?(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵 a?e?t， b?e?其中a的逆矩阵为b，则a= -1 . 【分析】 这里?t为n阶矩阵，而?t?2a2为数，直接通过ab?e进行计算并注意利用乘法的结合律即可. 【详解】 由题设，有 1 ?t， a 1 ?t) a11 =e?t?t?t?t aa11 =e?t?t?(?t?)?t aa1 =e?t?t?2a?t a1 =e?(?1?2a?)?t?e, a 11 于是有 ?1?2a?0，即 2a2?a?1?0，解得