金融经济学习题解答.pdf

金融经济学习题解答 王江 初稿 待修改 未经作者许可请勿传阅 拷贝 转载和篡改 2006 年 8 月 第第第 2 章章章 基基基本本本框框框架架架 2 1 U c 和 V c 是两个效用函数 c Rn 且 V x f U x 其中 f 是一正单调 函数 证明这两个效用函数表示了相同的偏好 解解解 假设 U c 表示的偏好关系为 那么 c1 c2 RN 有 U c1 U c2 c1 c2 而 f 是正单调函数 因而 V c1 f U c1 f U c2 V c2 U c1 U c2 因此 V c1 V c2 c1 c2 即 V c 表示的偏好也是 2 2 在 1 期 经济有两个可能状态 a 和 b 它们的发生概率相等 a b 考虑定义在消费计划 c c0 c1a c1b 上的效用函数 U c logc0 1 2 logc1a logc1b U c 1 1 c 1 0 1 2 1 1 c 1 1a 1 1 c 1 1b U c e ac0 1 2 e ac 0 e ac0 证明它们满足 不满足性 连续性和凸性 解解解 在这里只证明第一个效用函数 可以类似地证明第二 第三个效用函数的性 质 a 先证明不满足性 假设 c c0 那么有 c0 c 0 0 c1a c 0 1a c1b c 0 1b 而 log 是单调增函数 因此有 log c0 log c 0 0 log c1a log c 0 1a log c1b log c 0 1b 因而 U c U c0 即 c c0 2第 2 章 基本框架 b 现在证明连续性 令 c n 1 为 R3中一个序列 且 limn c n c 对于 0 当 c 0 i ci 时我们有 log c 0 i log ci 3 i 0 1a 1b 对 于 N 使得当 n N 时 k c n c k q c0 c n 0 2 c1a c n 1a 2 c1b c n 1b 2 因而 U c n U c U C 0 那么 log c0 1 2 log c1a 1 2 log c1b log c 0 0 1 2 log c 0 1a 1 2 log c 0 1b 对于 0 1 U C 0 1 C log c 0 0 1 c0 1 2 log c 0 1a 1 c1a 1 2 log c 0 1b 1 c1b log c 0 0 1 2 log c 0 1a 1 2 log c 0 1b 1 log c0 1 2 log c1a 1 2 log c1b U C 0 1 U C U C0 故凸性成立 2 3 U c c 1 2ac 2 是一可能的效用函数 其中 c R a 是非负的系数 U c 具有不 满足性吗 如果不 那么 a 取什么值和 或 c 在什么范围内时 U c 具有不满足性 解解解 不一定 比如当 a 1 时 U 1 2 3 8 U 3 1 5 U c 不具有 不满足性 当 a 0 时 U c c 具有不满足性 当 a 0 时 当 c 0 1 a 时 U c 具有不满足性 2 4 考虑一个经济 它在 1 期有三个可能状态 a b 和 c a b c 证券市场包括证券 1 和 2 它们具有如下的支付向量 X1 1 1 1 以及 X2 1 2 3 它们的价格分别为 S1和 S2 a 描述这个经济的支付空间 b 写出这个经济的市场结构矩阵 X c 考虑含有 1单位的证券 1 和 2单位的证券 2 的组合 写出这个组合的支付向 量 这个组合的价格是多少 c 王江 金融经济学 3 d 假设这个市场中总共有 K 个参与者 每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2 这时的市场组合是什么 市场组合的支付向量是什么 市场组 合的总价值是多少 e 写出市场化支付的集合 f 如果市场不允许卖空 市场化支付的集合是什么 g 现在引入新的证券 3 它的支付向量为 X3 0 0 1 写出新的市场结构矩 阵 在这个市场结构下 市场化支付集合是什么 解解解 a 这个经济的支付空间是 R3 b 市场结构矩阵为 X 11 12 13 X1 X2 c 组合的支付向量为 1X1 2X2 1 2 1 2 2 1 3 2 组合的价格是 1S1 2S2 d 市场组合是 K 单位的证券 1 和 2K 单位的证券 2 组合的支付向量为 3K 5K 7K 组合的总价值是 KS1 2KS2 e 市场化的支付集合是 M Y R2 Y 1X1 2X2 1 2 R f 这时的市场化支付集合是 M Y R2 Y 1X1 2X2 1 2 R g 新的市场结构矩阵为 X 110 120 131 X1 X2 X3 此时的市场化支付集 合为 M Y R3 Y 1X1 2X2 3X3 1 2 3 R 2 5 在练习 2 4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中 考虑一个禀赋为 1单位的证券 1 和 2单位的证券 2 的参与者 写出他的预算集 解解解 参与者的预算集是 C R3 C 1X1 2X2 其中 1S1 2S2 1S1 2S2 2 6 在上面的练习中引入练习 2 4 中定义的证券 3 它的价格为 S3 这时 参与者的预 算集是什么 他在证券 3 上的禀赋为 0 证明由证券 1 2 3 构成的预算集包含 仅由证券 1 2 构成的预算集 解解解 此时参与者的预算集就变成了 C R3 C 1X1 2X2 3X3 其中 1S1 2S2 3S3 1S1 2S2 3S3 2 7 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济 在这种情况下不存在不确定性 参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1 即他的禀赋向量为 100 1 他的偏好可 金融经济学c 王江 4第 2 章 基本框架 以表示成如下形式 U c0 c1 logc0 logc1 系数 为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数 有一只证券 它 的 0 期价格为 1 1 期支付为 1 rF 这里 rF是利率 a 如果这个参与者不能在市场上进行交易 那么他的消费计划以及相应的效用 Ua是什么 b 现在假设他可以在市场上进行交易 他的预算集是什么 以当前消费为单位 他的总财富 w 是多少 写出参与者的优化问题 令 c0为参与者的当前 即 0 期 最优消费 s 为 最优储蓄以及 Ub为在最优策略下得到的效用 求解他的最优消费 储蓄选 择以及相应的效用 把 Ub表示成财富 w 利率 rF和偏好系数 的函数 讨论参与者的最优选择如何依赖于利率 rF和偏好系数 给出解释 c 证明 Ub Ua d 令 g 为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处 它的定义为 Ub w g Ua 计算 g 讨论 g 如何依赖于 g 如何依赖于 rF 给出解释 解解解 a 如果不能交易 那么参与者只能消费自己的初始禀赋 即 c0 100 c1 1 Ua log 100 log 1 log 100 b 参与者的预算集是 C R2 c0 100 S c1 1 S 1 rF S R 如果 以当前消费为单位 他的总财富是 w 100 1 1 rF 参与者的优化问题就是 max S log 100 S log 1 S 1 rF 我们求得最优储蓄 S 100 1 rF 1 1 1 rF 最优消费为 c0 100 1 rF 1 1 1 rF 1 1 w c1 100 1 rF 1 1 1 rF 1 rF 1 w c 王江 金融经济学 5 因而相应的效用为 Ub log w 1 log 1 rF 1 w 我们可以看到 c0 c1 随着 rF 的上升而下降 上升 当 rF上升时 储 蓄的收益率增加 因而参与者会减少当前的消费以增加储蓄 同时也就增加了 1 期消费了 当 上升时 1 期消费带来效用的权重增加 因此参与者会减少 0 期消费以增加 1 期消费 c 如果选择 S 0 那么我们就得到了 Ua 而我们选择最优的 S 以最大化效用 函数而得到的是 Ub 因此 Ub Ua d 由 Ub w g log w g 1 log 1 r F 1 w g 我们可以得到 g w 1 1 rF 1 100 1 1 1 g 随着 rF的增加而增加 g 表示的是参与者能够在证券市场上交易而获 得的益处 参与者是为了在当前消费和未来消费之间进行消费转移而进行交 易的 如果他进行消费转移的动力越大 那么他从交易中获得益处越大 而 rF增加时 参与者都希望增加未来消费 他进行消费转移的动力也增大 因而 g 增加 金融经济学c 王江 6第 2 章 基本框架 c 王江 金融经济学 第第第 3 章章章 Arrow Debreu 经经经济济济 3 1 考虑如下经济 在 1 期有两个可能状态 a 和 b a b a 描述所有 Arrow Debreu 证券的支付向量 记这些证券的价格向量为 b 考虑一个拥有如下禀赋的参与者 0 2 1 把他的禀赋表示成 Arrow Debreu 证券的组合 c 计算他的金融财富 写出他的预算集 d 假设参与者的效用函数如下 U c0 c1a c1b e c0 1 2 e c 1a e c1b 不考虑消费的非负约束 写出他的优化问题 求解他的最优消费选择 e 讨论他的消费如何依赖于Arrow Debreu 证券的价格向量 f 证明在某些价格下 他 在某些时期 状态下 的消费可能是负的 解解解 a Arrow Debreu 证券的支付向量是 Xa 1 0 Xb 0 1 b 2Xa Xb c 参与者的金融财富是w 2 a b 他的预算集是 c R3 c0 ac1a bc1b w d 由于不考虑非负约束 参与者的优化问题就变成了 max c0 c1a c1b e c0 1 2 e c1a e c1b 8第 3 章 ARROW DEBREU 经济 s t c0 ac1a bc1b w 2 a b 得到最优消费为 c 0 2 a b alog 2 a blog 2 b 1 a b c 1a 2 a b blog 2 b log 2 a blog 2 a 1 a b c 1b 2 a b alog 2 a log 2 b alog 2 b 1 a b 可以用 c 对 a b的导数的符号来确定状态价格变化对最终消费的影响 一般 说来 状态价格变化对消费有两种效应 财富效应和价格效应 比如说 当状 态价格 a上升时 对消费 c 1a有正的财富效应和负的价格效应 总的效应是不 确定的 有可能为正也有可能为负 而 a上升对消费 c 0 c 1b 均有的正的财富 效应和正的价格效应 因而 c 0 c 1b均会增加 e 当 a b 0 1 时 c 0 0 0182 0 3 2 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济 在这种情况下不存在不确定性 参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1 即他的禀赋向量为 100 1 他的偏好可 以表示成如下形式 U c0 c1 logc0 logc1 有一只可交易证券 它的 0 期价格为 1 1 期支付为 1 rF 这里 rF是利率 a 假设利率 rF是给定的 导出参与者对证券的需求 b 假设参与者1是经济中的唯一参与者 描述市场出清条件 c 求解均衡利率 d 均衡利率如何依赖于偏好参数 解释所得到的结论 解解解 a 先不考虑消费的非负性 求解参与者的证券需求 此时参与者的优化问题变成 了 max log 100 log 1 1 rF 我们可以求得参与者的证券需求是 100 1 rF 1 1 1 rF c 王江 金融经济学 9 最优消费为 c 0 100 1 rF 1 1 1 rF c 1 100 1 rF 1 1 由于最优消费都是非负的 因此上面的求解过程没有问题 b 由于市场上只有一个参与者 因而市场出清条件是 0 c 由上面的市场出清条件 我们可以求得均衡利率为 rF 1 100 1 d rF随着偏好系数的增加而减小 这是因为偏好系数增大 未来消费带来的边际 效用相对增加 从而人们对能将财富在 0 期 1 期之间进行转换的证券需求增 加 证券价格上升 利率下降 3 3 继续考虑练习 3 2 中定义的经济 现在假设还有另外一个参与者 2 他的效用函数和 参与者 1 的一样但他的禀赋为 1 100 a 求解参与者 2 的最优消费 储蓄选择 b 比较参与者 1 和 2 的最优消费 储蓄选择 c 求解有两个参与者时的市场均衡 d 计算均衡利率 它与前一情形 经济中只有参与者 1 下的均衡利率有何不 同 e 证明均衡配置是 Pareto 最优的 解解解 a 先不考虑消费非负的约束 参与者 2 的优化问题就变成了 max log 1 log 100 1 rF 可以求得参与者的证券需求是 1 rF 100 1 1 rF 最优消费为 c 0 1 rF 100 1 1 rF c 1 1 rF 100 1 由于最优消费都是非负的 因此上面的求解过程没有问题 b 两人的最优消费 储蓄选择形式上是完全一样的 差别在于两人的禀赋不一 样 金融经济学c 王江 10第 3 章 ARROW DEBREU 经济 c 此时的市场出清条件是 100 1 rF 1 1 1 rF 1 rF 100 1 1 rF 0 d 通过市场出清条件可以求得均衡利率是 rF 1 1 这是因为经济中的总禀赋 不一样 导致均衡利率也不一样 e 对于参与者 1 来说 边际效用之比是 log c 1 0 log c 0 0 c 0 c 1 1 1 rF 同样可以算得参与者 2 的边际效用之比也是 1 1 rF 因而均衡配置是 Pareto 最 优的 3 4 在 1 期 经济有三个等可能的状态 a b 和 c 在证券市场上交易的 Arrow Debreu 证券集合是完全的 经济中有两个参与者 参与者 1 和 2 他们的禀赋如下 e1 100 0 0 0 e2 0 200 100 50 他们的偏好相同 形式如下 U c 1 c0 1 3 1 c1a 1 c1b 1 c1c a 求解每一参与者的最优消费 投资选择 b 求解均衡状态价格 c 证明对两个参与者的消费都有禀赋越高 消费越高的性质 d 证明每一参与者的消费在总消费中所占的份额 ck 1 e1 在所有状态下都是一 样的 其中 k 1 2 而 e1 是在状态 a b c 下的 1 期总消费 禀赋 解解解 a 求解最优消费选择时 先不考虑消费非负的约束 对于参与者 1 它的优化问 题是 max c0 c1 1 c0 1 3 1 c1a 1 c1b 1 c1c s t c0 ac1a bc1b cc1c 100 求解得参与者 1 的最优消费选择为 c 0 100 1 p a 3 p b 3 p c 3 c 王江 金融经济学 11 c 1a 100 3 a 1 p a 3 p b 3 p c 3 c 1b 100 3 b 1 p a 3 p b 3 p c 3 c 1c 100 3 c 1 p a 3 p b 3 p c 3 类似地 可以求得参与者 2 的最优消费选择为 c 0 200 a 100 b 50 c 1 p a 3 p b 3 p c 3 c 1a 200 a 100 b 50 c 3 a 1 p a 3 p b 3 p c 3 c 1b 200 a 100 b 50 c 3 b 1 p a 3 p b 3 p c 3 c 1c 200 a 100 b 50 c 3 c 1 p a 3 p b 3 p c 3 因为最优消费都是非负的 因而上面的求解过程是没有问题的 b 市场出清条件是 100 3 a 1 p a 3 p b 3 p c 3 200 a 100 b 50 c 3 a 1 p a 3 p b 3 p c 3 200 100 3 b 1 p a 3 p b 3 p c 3 200 a 100 b 50 c 3 b 1 p a 3 p b 3 p c 3 100 100 3 c 1 p a 3 p b 3 p c 3 200 a 100 b 50 c 3 c 1 p a 3 p b 3 p c 3 50 解上述方程组可以求得状态价格为 a 1 12 b 1 3 c 4 3 c a b c 1b c 1c 即总禀赋越高 消费越 高 d 因为对于消费者 1 2 都有 c 1a c 1b s b a 2 200 100 c 1a c 1c s c a 4 200 50 因此 每一参与者的消费在总消费中所占的份额在所有状态下都是相等的 金融经济学c 王江 12第 3 章 ARROW DEBREU 经济 c 王江 金融经济学 第第第 4 章章章 套套套利利利和和和资资资产产产定定定价价价 4 1 经济在 1 期有 4 个可能状态 在市场中有 5 只可交易证券 它们的支付矩阵 X 如 下 X 11000 12100 13210 14321 a 证明市场是完全的 b 证明状态价格向量存在且唯一 并给出它的值 c 证明市场上存在冗余证券 d 选择一组足以保证市场完全的复合证券 把每一只 Arrow Debreu 证券都表示 成这些证券的组合 称这些组合为状态或有组合 e 用状态或有组合把任一由五只交易证券组成的组合表示出来 f 证明状态或有组合可生成状态空间 解解解 记 5 只交易证券的支付向量分别为 X1 1 1 1 1 X2 1 2 3 4 X3 0 1 2 3 X4 0 0 1 2 X5 0 0 0 1 a 因为 X1 X2 X3 X4的支付是互相独立的四只证券 而状态数等于 4 因而证 券市场是完全的 b 假设状态价格向量为 1 2 3 4 那么有 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 2 5 2 2 3 3 4 1 5 3 2 4 0 75 4 0 25 求解上述方程组可以得到唯一的解为 1 4 1 4 1 4 1 4 14第 4 章 套利和资产定价 c 买入 1 单位的证券 2 卖出 1 单位的证券 3 得到的支付是 1 1 1 1 恰好就是 证券 1 的支付 因而市场上存在冗余证券 d 证券 2 3 4 5 可以保证市场完全 而且我们有 X2 2X3 X4 1 0 0 0 X3 2X4 X5 0 1 0 0 X4 2X5 0 0 1 0 X5 0 0 0 1 e 假设组合中 5 只交易证券的头寸分别为 1 2 3 4 5 那么状态或有组合的 头寸分别为 1 2 1 2 2 3 1 3 2 2 3 4 1 4 2 3 3 2 4 5 f 因为状态或有组合的支付是 R4空间的一组基 因而状态或有组合可生成支付 空间 4 2 银行 1 的存贷利率为 r1而银行 2 的为 r2 且 r1 r2 证明存在套利机会 解解解 从银行 2 借钱并全部存入银行 1 参与者就可以获得第 2 类套利 4 3 银行 i 的贷款利率为 ria 即顾客借钱的利率 而存款利率为 rib i 1 2 a 证明无套利要求 ria rib b 两个银行的存贷利率应该满足什么样的条件才能使市场上不存在套利机会 解解解 a 反证法 如果 ria 0 参与者可获得第 2 类套利 因此 ria rib b r1a r2b r1b 0 因而存在套利机会 b 上面构造了第 2 类套利机会 卖出 1 单位的证券 1 和 1 单位的证券 3 同时买 入 1 单位的证券 2 那么 0 期支付为 1 2 而 1 期支付为 0 这是第 1 类套利机 会 同时进行上述两种交易就可以得到第 3 类套利机会 c 王江 金融经济学 15 4 5 在 1 期有三个可能状态 1 2 3 在经济中有三只交易证券 a b c 它们的 支付向量如下 Xa 1 1 0 Xb 0 1 1 Xc 1 2 1 1 2 这些证券的 0 期均衡价格为 Sc Sb Sc 1 令 1 2 3 为状态价格向 量 a 证明 2 1 2 是一个可能的状态价格向量 因为它给出了三支现有证券的价 格 b 资产定价基本定理 指出状态价格必须是非负的 在一个两期经济里 对于证 券市场这意味着什么 并给出其解释 c 上面的例子是这个原理的反例吗 为什么 d 证明 1 2 1 2 1 2 是另外一个可能的状态价格向量 在这种情况下 所有状 态价格都是正的 e 解释为什么存在多个可能的状态价格向量 它们对已有证券都给出相同的价 格 f 考虑一个标的资产为证券 a 执行价格为 1 2 的欧式买权 这份期权的支付是 多少 你能为它定价吗 解解解 a 因为 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 因而 2 1 2 2 是一个可能的状态价格向量 b 状态价格向量的非负性意味着不存在套利机会 c 不是 因而它只是可能的状态价格之一 并不一定是真实的状态价格 d 因为 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 因而 1 2 1 2 1 2 是一个可能的状态价格向量 e 因为市场是不完全的 因而可能存在多个状态价格 它们都给出已有证券的价 格 金融经济学c 王江 16第 4 章 套利和资产定价 4 6 远期合约 Forward 是在未来 即 1 期 以当期 即 0 期 确定的价格交易某一 证券或商品的合约 而在当期没有现金流产生 在当期约定的未来交易价格称作远 期价格 比方说 考虑一份在 1 期以 F0的价格购买 1 盎司黄金的远期合约 合约的 买方同意在 1 期 合约的到期日 从卖方买入 1 盎司黄金 在当期没有现金交换 令 St为 t 0 1 期黄金的价格 而 rF为利率 考虑在 1 期得到 1 盎司黄金的两种方 法 现在购买一份远期合约 在 1 期 支付远期价格 F0并获得黄金 现在支付 S0买入 1 盎司黄金 并且持有它直到 1 期 假设从现在起持有黄金 直到 1 期没有另外的成本或收益 在这两种情况下 我们在 1 期同样得到 1 盎司黄金 而那时它的价值为 S1 a 由于这两种策略给予我们相同的支付 S1 无套利原理意味着它们的成本必须 一样 用当期的价格 S1和 rF给出远期价格 b 假设持有 1 盎司黄金不仅得到它的 1 期出售价格 在 1 期还得到额外收益 y y 将如何影响远期价格 解解解 a 第一种方法的成本是 F0 1 rF 而第二种方法的成本是 S0 根据无套利原 理 F0 1 rF S0 因此 F0 1 rF S0 b 由于第二种方法还得到额外收益 由无套利原理原理有 F0 1 rF d b 令状态价格向量为 a b 那么有 a b 1 1 rF u S a d S b S 求解方程组可得状态价格为 a 1 1 rF 1 rF d u d b 1 1 rF u 1 rF u d 因而期权的价格为 c a uS K b dS K 0uS K a uS K dS K uS a uS K b dS K K c 时提前执行是最优的 当 很大时 股价 S 中含有股利的成份越 多 因而越有可能提前执行 20第 5 章 期权 一个套利定价的例子 d 对于欧式看跌期权 价格为 p a K uS b K dS 0K uS 而对于美式看跌期权 P max K S p 当 越大时 股价 S 中含有股 利的成份越多 因而越有可能不提前执行 5 2 在 1 期有三个可能状态 1 2 3 在经济中有三只交易证券 它们的支付向量 如下 Xa 1 1 0 Xb 0 1 1 Xc 1 2 1 1 2 这些证券的 0 期均衡价格是 Sc Sb Sc 1 令 1 2 3 为状态价格向 量 这与前一章练习 4 1 定义的经济一样 考虑一份标的资产证券为 a 执行价格 为 1 2 的欧式买权 它的支付是什么 你能确定它的价格吗 解解解 它的支付是 1 2 1 2 0 因为它的支付恰为证券 a 的一半 因而它的价格也是一半 即 1 2 5 3 蝴蝶头寸是看涨期权的组合 1 买入 1 份执行价格为 K 的看涨期权 2 卖出 2 份执行价格为 K 的看涨期权 3 买入 1 份执行价格为 K 的看涨期权 因此 蝴蝶头寸可由两个参数 K 和 刻划 比较两个蝴蝶头寸 K 相同但 不同 证明 较高的蝴蝶头寸的价值较高 解解解 假设 1 0 比较两只期权的支付 当 1 期价格 S 大于 K 或者小于 K 时 两者的支付都为 0 当 S K 1 K 0 时 X1 S K 1 X0 0 当 S K 0 K 时 X1 S K 1 S K 0 X0 当 S K K 0 时 X1 S K 1 S K 0 X0 当 S K 0 K 1 时 X1 S K 1 0 X0 根据无套利原理 较高的期权价格较高 5 4 对于参数为 K 和 的蝴蝶头寸 给出它的价格的一个上界和下界 解解解 一个上界是 S K S K 因为期权的支付是非负的 因而 0 是它的一个下界 5 5 股票价格具有如下形式的二叉树结构 10 12 8 两个可能结果的发生概率相等 无风险利率是 10 c 王江 金融经济学 21 a 为一个以此股票为标的资产 执行价格为 9 的看跌期权定价 b 假设你得到一个新的利好信息 股票价格上升到 12 的概率大于 1 2 而股票价 格仍然是 10 你愿意支付的看跌期权的价格是上涨还是下跌 解释原因 解解解 a 由第 1 题中公式可以得到状态价格为 15 22 5 22 因而看跌期权的价格为 5 22 9 8 5 22 b 由于股价不变 状态价格也不会变化 因而看跌期权的价格是不变的 5 6 二叉树模型可以拓展到多于两个时期的情形 考虑拓展到三个时期 0 1 2 的情 况 股票价格服从如下的二叉树过程 10 12 14 4 9 6 8 9 6 6 4 每一期间 即 从 0 期到 1 期或从 1 期到 2 期 的利率都是 10 考虑一份在 2 期 到期 执行价格为 9 的看涨期权 a 描述这份看涨期权在 2 期的支付 b 求解看涨期权在 1 期 股票价格分别为 12 或 8 时的价格 c 求解看涨期权在 0 期的价格 d 如果是美式看涨期权 它在 0 期的价格是多少 解解解 a 支付是 5 4 0 6 0 6 0 b 可以求得每个节点的状态价格都和第 5 题中的一样 当股价为 12 时 期权价 格为 15 22 5 4 5 22 0 6 3 82 当股价为 8 时 期权价格为 5 22 0 6 0 41 c 看涨期权的 0 期价格为 15 22 3 82 5 22 0 41 2 70 d 因为没有股利 美式看涨期权不会提前执行 价格也是 2 70 5 7 在练习 5 6 描述的经济中 考虑一份以股票为标的资产 在 2 期到期 执行价格为 14 的看跌期权 金融经济学c 王江 22第 5 章 期权 一个套利定价的例子 a 如果它是欧式期权 求解它的 0 期价格 b 如果它是美式期权 求解它的 0 期价格 解解解 a 期权的 2 期支付是 0 4 4 4 4 7 6 在 1 期 当股价为 12 时 期权价格为 5 22 4 4 1 当股价为 8 时 期权价格为 15 22 4 4 5 22 7 6 4 73 因而期权的 0 期价 格为 15 22 1 5 22 4 73 1 76 b 期权的 2 期支付是 0 4 4 4 4 7 6 在 1 期如果不提前执行 当股价为 12 时 期权价 格为 5 22 4 4 1 当股价为 8 时 期权价格为 15 22 4 4 5 22 7 6 4 73 而如果在 1 期提前执行 那么期权的支付分别为 2 和 6 因而参与者会提前 执行 期权在 1 期的支付为 2 6 如果在 0 期不提前执行 期权的价格为 15 22 2 5 22 6 2 73 而如果在 0 期提前执行 参与者的收益是 4 因此参与 者在 0 期就执行期权 期权在 0 期的价格是 4 5 8 这里的经济与练习 5 6 描述的经济一样 只是这里的参数更具一般性 S uS u2S udS dS duS d2S 每一期间的利率都是 rF且 0 d 1 rF u a 求解在每一时期考虑下一期的两种可能情形 即股价上升或下降 的风险中性 概率 b 用 S u d 和 rF表示欧式看跌期权在 0 期的价格 c 证明在 2 期到期的美式看涨期权的价格比具有相同执行价格 但在 1 期到期的 美式看涨期权的价格要高 解解解 a 状态价格在每期都是一样的 u 1 1 rF 1 rF d u d c 王江 金融经济学 23 d 1 1 rF u 1 rF u d 因此 每一个节点处的风险中性概率也是一样的 qu 1 rF d u d qd u 1 rF u d b 欧式看跌期权在 0 期的价格为 u u K u2S d K udS d u K udS d K d2S 2 u K u 2S 2 u d K udS 2 d K d 2S c 因为美式期权可以提前执行 在 2 期到期的期权既可以选择在 1 期执行也可以 选择在 2 期执行 而在 1 期到期的美式看涨期权只会选择在 1 期执行 虽然都 可以在 0 期执行 但是在没有股利的情况下 美式看涨期权是不会提前执行 的 因而在 2 期到期的期权价格更高 5 9 考虑练习 5 8 描述的经济 假设一只证券在 2 期的支付是股票价格从 0 期到 2 期所 达到的最大值 这是一个关于回望期权的例子 它的支付依赖于标的证券的价格 路径 a 写出它在 2 期的支付 b 导出它的 0 期价格 c 证明用在 2 期支付一美元的无风险债券的价格正规化以后 这只证券的价格过 程在等价鞅测度下是鞅 解解解 这里只考虑 ud 0 的消费计 划 而 c0n为 0 期消费为 xn 1 期各状态消费均为 y 的消费计划 c0为 0 期消费 为 x 1 期各状态消费均为 y 的消费计划 那么 c0也是 c0n的极限 由假设我们有 c0n a C a c 由效用函数的连续性我们有 c0 a C a c 因而 u0 x u0 c0 u0 是连续的 26第 6 章 期望效用函数 6 3 如果 a b 意味着对于 0 1 都有 a 1 b b 那么称偏好关系 是弱 凸的 weakly convex 这与第 2 章中的强凸性有所不同 假设偏好关系是连续的 并且有练习 6 1 给出的期望效用函数表示 因而 u0 和 u1 都是连续函数 证 明此时强凸性包含弱凸性 解解解 当 0或1时 a 1 b b显然成立 当a b 0 1 时 由强凸性有 a 1 b b 现在证明如果 0 1 a b 那么 a 1 b b 不妨假设 效用函数是递增的 另外假设 0 为任意正实数 令 a0 a 0 0 0 b 由强凸性有 a0 1 b b 即 u0 ca 0 1 c b 0 X u1 ca 1 1 c b 1 u0 c b 0 X u1 cb 1 由于 是任意实数 并且 u0是连续函数 因此 u0 ca 0 1 c b 0 X u1 ca 1 1 c b 1 u0 c b 0 X u1 cb 1 即 a 1 b b 成立 命题得证 6 4 假设定义在随机支付上的效用函数具有练习 6 1 中的形式 其中 是任意的状态空 间而 P 是相应的概率测度 如果它还满足弱凸性 那么 u0 和 u1 都是凹的 解解解 只能证明 c C c b 是凸的 即 u 是拟凹的 不能证明是凹的 c 王江 金融经济学 第第第 7 章章章 风风风险险险厌厌厌恶恶恶 7 1 令 R w wu00 w u0 w 而 a w ArgMax E u w a r 为相对于效用函数 u 的最优投资选择 假设 w 0 u0 0 u00 0 且 E r 0 证明以下命题 a 如果 1 给定效用函数 u 且 R0 w 0 定义 u1 w u w u2 u w 那么 R1 w R2 w b 给定以上结论 我们有 a1 w a2 w 其中 a1 w 和 a2 w 分别是相对于己于 u1和 u2的最优投资选择 c 定义 b a w a w w 那么 对于 w1 w2有 b a w1 b a w2 提示 令 w2 w1 最后一个结论说的是 对于具有单调递增的相对风险厌恶的投资者 他在风险资产 上的投资额占他财富的比例随着财富的增加而减少 解解解 a u01 w u0 w u00 1 w 2u00 w 由此以及 R0 w 0 可得 R1 w wu00 1 w u0 1 w 2wu00 w u0 w w u00 w u0 w R w R w R2 w b 参与者优化的一阶条件是 E U 0 W a r r 0 因为 E r 0 从而有 a 0 一阶条件的两边对 求导得 E u 00 w a r w a r a0 r r 0 28第 7 章 风险厌恶 2a0E u 00 w r2 E U00 w w r E u00 w w r E u0 w R w r sign a0 sign E u0 w R w r 因为 E u0 w R w r E u0 w R w r R w E u0 w r 0 最后一个等式是因为一阶条件 因此 a0 0 a w a w 1 a1 w a2 w c 令 w2 w1 令 u1 w u w u2 w u w 那么由 a 和 b 有 a w2 a w1 即 b a w1 b a w2 7 2 参与者的初始财富为 w 且他的绝对风险厌恶系数为常数 a 现在他必须承担风险 g g 是一公平赌博 即 他的财富变成 w g 当 g 具有如下分布时计算确定性 等价 a 取值为 b 和 b 的二项分布 b 区间 c c 上的均匀分布 c 均值为 0 标准差为 的正态分布 d 讨论在以上情形下 确定性等价如何依赖于初始财富 w 从中你能得到什么结 论 并解释你的结论 解解解 为简便起见 假设效用函数为 U w e aw a 由定义有 U 1 w e a w 1 E U w g 1 2U w b 1 2U w b 1 2e a w b 1 2e a w b 1 1 a log 1 2e ab 1 2e ab b 由定义有 U w 2 e a w 2 E U w g 1 2c Z c c e a w x dx 1 2ace aw eac e ac 2 1 a log e ac e ac 2ac c 王江 金融经济学 29 c 由定义有 U w 3 e a w 3 E U w g Z e a w x 1 2 exp x2 2 2 dx e aw a2 2 2 3 a 2 2 d 在以上各种情形下 确定性等价都不依赖于初始财富 w 也就是说 参与者对 待公平赌博的态度与财富无关 7 3 参与者的初始财富为 w 且他的绝对风险厌恶系数为 1 现在他必须承担与他的财富 成比例的风险 w g w g 是一公平赌博 当 g 具有如下分布时 计算确定性等价占初 始财富的比例 即相对确定性等价 a 取值为 b 和 b 的二项分布 其中 0 b 1 b 区间 c c 上的均匀分布 其中 0 c 1 c 讨论在以上情形下 相对确定性等价如何依赖于初始财富 w 从中你能得到什 么结论 并解释你的结论 解解解 为简便起见 假设效用函数为 U w log w a 由定义有 U w 1 w log w w 1 E U w w g 1 2U w b 1 2U w b logw 1 2 log 1 b2 1 p 1 b2 1 b 由定义有 U w w 2 log w w 2 E U w w g 1 2c Z c c log w wx dx logw 1 2c Z c c log 1 x dx 2 exp 1 2c Z c c log 1 x dx 1 c 在以上各种情形下 确定性等价都不依赖于初始财富 w 也就是说 参与者对 待与初始财富成比例的公平赌博的态度与初始财富无关 7 4 参与者的初始财富为 w 且相对风险厌恶系数为 2 现在他要承担风险 g g 是有两个 可能取值 b 和 b 的公平赌博 0 b 2 这是因为定义中的初始财富不一样 而效用 函数的绝对风险厌恶系数又不是常数 因此得到的风险溢价不一样 7 5 参与者的初始财富为 w 且是严格风险厌恶的 g1和 g2是两个独立的公平赌博 具 有相同的 定义于 b b 上的二项分布 其中 0 b w 2 a 假设他必须承担风险 g1 即他的财富变成 w g1 在这种情况下 他的期望效 用记为 V1 E u w g1 证明风险使得他的情况恶化 即 V1 u w b 现在假设他必须承担的是分散化的风险 g 1 2 g1 g2 记这种情形下的期望 效用为 V2 E u w g V2是否总是高于 V1 解解解 a 因为参与者是严格风险厌恶的 因而效用函数 u 是严格凹的 V1 E u w g1 1 2u w b 1 2u w b 1 2u w b 1 2 1 2u w b 1 2u w b 1 4u w b V1 c 王江 金融经济学 第第第 8 章章章 组组组合合合选选选择择择 一一一 8 1 假设有 N 项资产 收益率为 ri i 1 N 它们是独立同分布的 对于一个具 有不满足性和凹性效用函数的投资者 计算他的最优投资组合 解解解 最优组合是是所有风险资产的等权重组合 8 2 假设你必须将 w 投资于两只证券 一只无风险债券和一只风险证券 无风险债券的 收益率确定为 rF 风险证券的收益率为 r 它的均值为 r 而方差为 2 假设你的目 标就是最大化你的二次效用函数的期望值 E w 1 2a w 2 a 求解最优组合 b 讨论最优组合如何依赖于股票和债券的期望收益率 rF和 r 股票收益率的波动 率 以及偏好系数 a 为这些依赖关系提供经济解释 解解解 a 假设投资于股票的资产比例为 x 那么有 w w 1 rF x r rF 参与者的优化问题是 max x E w 1 rF x r rF 1 2aw 2 1 r F x r rF 2 解得 x r fF 1 aw 1 rF aw 2 r fF 2 b x 随着 r 的增加而增加 随着 rF 2 a 的增加而减小 股票的期望收益率增加 使得股票的需求增加 而无风险收益率增加使得债券的需求增加 2增大 股 票的风险变大 对股票的需求变小 最后 a 增大表明参与者更加厌恶风险 因而对股票的需求减小 32第 8 章 组合选择 一 8 3 考虑与练习 8 一样的问题 不过现在假设效用函数具有常数绝对风险厌恶系数 E e a w 另外 假设股票收益率 r 是正态分布的 a 求解最优投资组合 b 讨论最优组合如何依赖于股票和债券的期望收益率 rF和 r 股票收益率的波动 率 以及偏好系数 a 为这些依赖性提供经济解释 如果需要的话 你可以 添加其它条件 解解解 a 假设投资于股票的资产比例为 x 那么有 w w 1 rF x r rF 参与者的优化问题是 max x E e aw 1 rF x r rF 解得 x r fF 1 aw 1 rF aw 2 r fF 2 b x 随着 r 的增加而增加 随着 rF 2 a 的增加而减小 股票的期望收益率增加 使得股票的需求增加 而无风险收益率增加使得债券的需求增加 2增大 股 票的风险变大 对股票的需求变小 最后 a 增大表明参与者更加厌恶风险 因而对股票的需求减小 8 4 赋予投资者初始金融财富 w 以及 份不可交易收入 y 其中 0 且 E y 0 他 可以交易一只无风险证券和一只风险证券 无风险证券的收益率为 0 而风险证券的 收益率 r 的均值为 r 他具有不满足性且是风险厌恶的 他的绝对风险厌恶系数随 着他的财富增加而减少 令 a 为风险证券上的投资额 他的期望效用函数为 Max E u w a r y a 当 0 时 风险资产的最优头寸 a 0如何随着 w 变化而变化 b 假设 y 和 r 是独立的 当 0 时 记风险资产的最优头寸为 a a 是大于 还是小于 a 0 c 王江 金融经济学 33 c 假设 y c r r e 以及 E e r 0 因此 如果 c 6 0 y 和 r 是相关的 当 极小时 他持有的股票头寸如何随着 w 变化而变化 解释所得到的结论 解解解 a 当 0 时 优化的一阶条件是 E u0 w a 0 r r 0 两边对 w 求导可得 da 0 dw E u00 w r E u00 w r2 又 E u00 w r E u0 w R w r E u0 w R w r R w E u0 w r 0 故 da 0 dw 0 即最优头寸随着 w 的增加而增加 b 参与者优化的一阶条件是 E u0 w a r y r 0 两边对 求导可得 da d E u00 w r y E u00 w r2 记 K w a r E R w y r 可以证明 K 0 K 0 0 因此 E u00 w r y E R w u0 w r y E K w a r u 0 w r K w E u0 w r 0 最后一个等式是因为一阶条件 因此 da d 0 故 a a 0 c 由 a 有 da 0 dw E u00 w r E u00 w r2 E u0 w R w r E u00 w r2 而 E u0 w R w r E R w a r u0 w r E R0 w a r u0 w r y o 2 由 a 知道 E R w a r u0 w r 0 另外 又极小 因此 E u0 w R w r 0 da dw 0 即最优头寸随着初始财富 w 的增加而增加 这是因为 极小 因而不可交易收 入不会改变 a 中的结论 金融经济学c 王江 34第 8 章 组合选择 一 8 5 假设你是对冲基金中交易政府债的交易员 你有 w 的现金额度 在 0 期 当美联储拍卖新债券时 你可以提交报价而买入政府债 在 1 期 你 可以在二级市场上以价格 v 再把它们卖掉 其中 v v v 0 且 E 0 假设无风险收益率为零 你购买债券的报价是 p 你购买到的数量 x p 是 p 的递增函数且 x 0 0 选 择 p 以最大化你的期望效用函数 V p E u w w w x p v p 假设你是不满足的且严格风险厌恶的 为简单起见 假设 V p 是严格凹的 a 写出关于最优报价 p 的一阶条件 b 证明 0 p 0 V v E u w x v u w V 0 又因为 V p 是凹的 故 0 p 0 f00 0 且 是 w2的减函数 因此 V 0 1 p2 0 另外 V p 是凹函数 因此 p 1 p 2 c 王江 金融经济学 35 d 假设 w1 w0 当 w w0时优化问题的一阶条件为 E u0 w0 x p0 v p0 x0 p0 v p0 x p0 0 等式两边对 w0求导可得 E u00 w0 x0 p0 v p0 x p0 E R w0 u0 w0 x0 p0 v p0 x p0 0 因此 E u0 w1 x p0 v p0 x0 p0 v p0 x p0 0 而 V p 又是凹的 因此 p1 p0 即初始财富增加报价也会增加 金融经济学c 王江 36第 8 章 组合选择 一 c 王江 金融经济学 第第第 9 章章章 组组组合合合选选选择择择 二二二 9 1 假设有四个等概率的可能状态 状态空间是 1 4 考虑风险资产 A 和 B 它们的收益率如下 1 2 3 4 rA0 50 50 70 7 rB0 90 80 40 3 在随机占优的意义上 你能为它们排序吗 解解解 FA x 00 x 0 5 0 50 5 x 0 7