1979年全国高中数学竞赛试题及解答

1979年全国高中数学竞赛题第一试 1求证：sin3=4sinsin(+)sin(+)2已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和xy=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程3在ABC中，A为钝角，求作一个面积最小的圆，把ABC完全盖住4圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分5解方程组6解方程：5x2+xx2=07写出并证明立体几何中的“三垂线定理”8设ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C9已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程10已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式abc，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论第二试 1已知f(x)=x26x+5，问满足f(x)+f(y)0和f(x)f(y)0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图2命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形并证明你的作法3设0，090，故点A在圆内即此圆盖住了ABC故证4圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分证明：设O的弦AB、CD互相平分于点M，连OM，则由M是弦AB中点 OMAB，同理OMCD于是过点M可能作OM的两条垂线，这是不可能的故证5解方程组解：五式相加：xyzuv=15：xu=3，：yv=5，z=7；：zx=7，：uy=9，v=1；x=0，y=6，u=3即x=0，y=6，z=7，u=3，v=16解方程：5x2+xx2=0解：5x210，x或x()21xx=0，(1)(1x)=0， =1x=及x1时，5x21=12xx2，2x2x1=0，x=1，x= x=7写出并证明立体几何中的“三垂线定理”证明：略(见课本)8设ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C解：B=60，+=，sin60(sinAsinC)=2sinAsinC，2cos(AC)3cos1=0，令x=cos，得4x23x1=0，x=1，x= (舍) A=B=C=60.9已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程解：两直线距离=2，圆心在直线x2y2=0上设圆方程为(x22b)2(yb)2=5，(322b)2(1b)2=5，14b4b212bb2=5，5b22b3=0，b=1，b= 所求圆方程为(x4)2(y1)2=5；(x)2(y)2=510已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式abc，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论解：此正方形有4个顶点，故必有一边在三角形的边上设a、b、c边上的高分别为ha、hb、hc，且立于a边上正方形边长为x，则=，aha=(aha)x，x=现aha=bhb=2S，ab，于是aha(bhb)=(ab)()=(ab)(1)=(ab)(1sinC)0. ahabhbchc 立于c边上的正方形最大第二试1已知f(x)=x26x+5，问满足f(x)+f(y)0和f(x)f(y)0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图解：f(x)+f(y)0，x26x+5+y26y+50，(x3)2+(y3)28，表示以(3，3)为圆心，2为半径的圆及圆内部分f(x)f(y)0，x26xy2+6y0，(x3)2(y3)20，(x+y6)(xy)0所求图形为阴影部分2命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形并证明你的作法证明：不对，如图，作ABD，及过B、A、D三点的弧，以BD为轴作此弧的对称图形，以D为圆心，AB为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C、C，则四边形ABCD、ABCD都是有一组对边相等，一组对角相等的四边形，其中有一个不是平行四边形3设0，03时，若an为偶数，则an+1=an，若an为奇数，则an+2=an，即于是在an中可以找出一个单调递减的子序列，由于该序列的每项都是正整数，故进行到某一项时序列的项10，此时当an=3，6，9时，出现如下的项：9126363；当an10且3an时，出现如下的项：71058421；总之，该数列中必出现1或32 当m为3的倍数时，若m为偶数，仍为3的倍数；若m为奇时，m+3是3的倍数，总之an对于一切nN*，都是3的倍数，于是，上述数列中必出现3，当m不是3的倍数时，(若m为偶数)与m+3(若m为奇数)都不能是3的倍数，于是an不是3的倍数，故an3，此时数列中必出现16如图，假设两圆O1和O2交于A、B，O1的弦BC交O2于E，O2的弦BD交O1于F，证明 若DBA=CBA，则DF=CE； 若DF=CE，则DBA=CBA证明：连AC、AD、AE、AF，由ADBE是圆内接四边形，得AEC=D，同理C=AFD从而DAF=CAF 若DBA=CBA，则AD=AE，AF=AC，(同圆内，圆周角等，所对弦等)于是，ADFAEC，DF=CE 若DF=CE，则ADFAEC，AD=AE，DBA=CAF7某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？解：8250(88+85+80)=7997(30+31+3