圆锥曲线题型归纳.doc

华罗庚数学 为全国学生提供优质教育圆锥曲线题型归纳题型一 弦的垂直平分线问题例1. 过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得，即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为，线段的垂直平分线方程为：，令y=0，得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。，解得，满足式，此时。【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例2. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出题型二 动弦过定点的问题例3. 已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为.（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型三 过已知曲线上定点的弦的问题例4. 已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I) ，且BC过椭圆的中心O.又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：，是方程的一个根，即，同理可得：，则直线PQ的斜率为定值。题型四 共线向量问题例5. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.解：（1） NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为 （2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设 ， 又当直线GH斜率不存在，方程为 例6. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若， ，求证：.解：（1）设椭圆C的方程为 （），抛物线方程化为，其焦点为， 则椭圆C的一个顶点为，即 ，由，椭圆C的方程为 .（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入方程 并整理，得， 又，而 ， ，即，所以 例7. 已知OFQ的面积S=2, 且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q， ，当取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为，Q（x0, y0）， ，SOFQ=，。 =c(x0c)=。当且仅当，所以。类型1求待定字母的值例8. 设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值。思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)，PA= x1=.联立消去y并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)A、B是不同的两点，0a且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=，即，消去x2得，=，a=，0a且a1，a=。类型2求动点的轨迹ABCOPxy例9. 如图，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C, 且满足BP=PC， AB=AC，其中。求POA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。解：由得，k2x2+(2k1)x+4=0. 由 设P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， 则x1+x2=, x1.x2=.由= = 由 =。 消去k得， x2 y6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则，代入(*)式得，3x6y4=0。因为故点Q的轨迹方程是3x6y4=0（），其轨迹是直线3x6y4=0上且不包括点的线段AB。类型3证明定值问题例10. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中 证明：为定值。思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为代入椭圆方程中，化简得，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由 与共线，得，。又而于是。因此椭圆方程为设M(x, y), 由得，因M为椭圆上一点，所以 即 又，则 而代入得，=1，为定值。例11. 是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。分析：（1）设，则又由 （2）直线的方程为，故直线过定点。类型4探索点、线的存在性例12. 在ABC中，已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D，ABC的垂心H分有向线段AD 设P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？思路：先将ACBH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。解：设H(x, y), 由分点坐标公式知，H为垂心，ACBH，整理得，动点H的轨迹方程为 。 ，。假设成等差数列，则 即 H在椭圆上，a=2, b=, c=1，P、Q是焦点，即 由得， 联立、可得，显然满足H点的轨迹方程，故存在点H（0，），使成等差数列。例13. 双曲线，若上存在一点。解：方程为，即。由，消去y得，。类型5求相关量的取值范围例14. 给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，即 由得， 。 联立、得，。而当直线l垂直于轴时，不符合题意。因此直线l的方程为或直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以 于是直线l在轴上截距的变化范围是题型五 面积问题例15. 已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，。综上所述。当最大时，面积取最大值。例16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值解：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为题型六 弦或弦长为定值、最值问题例17. 已知的面积为，（1）设，求正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设， ， （2）设所求的双曲线方程为，又，当且仅当时，最小，此时的坐标是或 ，所求方程为例18. 已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（）求P点坐标；（）求证直线AB的斜率为定值；（）求PAB面积的最大值.解：（）由题可得，设则，点在曲线上，则，从而，得.则点P的坐标为.（）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值.（）设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，则。当且仅当取等号，三角形PAB面积的最大值为。例19. 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为例20. 已知点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率之积为（1） 求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）解：（1）设点的坐标为， 整理，得（）， （2）由题意知直线的斜率存在，设的方程为将代入，整理，得，由，解得设，则令，且且，解得且 ，且故OBE与OBF面积之比的取值范围是例21. 已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解：（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1题型七 直线问题例22. 已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4（1） 求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，则 所以动点M的轨迹方程为 （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 由方程组得则，代入，得即，解得，或