课件 传热-第5章2

第五章对流传热的理论基础 1 2对流换热微分方程 1 3对流换热微分方程组 常物性 无内热源 不可压缩牛顿流体二维对流换热微分方程组 4个微分方程含有4个未知量 u v p t 方程组封闭 原则上 方程组对于满足上述假定条件的对流换热 强迫 自然 层流 紊流换热 都适用 2对流换热的单值性条件 1 几何条件 说明对流换热表面的几何形状 尺寸 壁面与流体之间的相对位置 壁面的粗糙度等 2 物理条件 说明流体的物理性质 物性参数的数值及其变化规律 有无内热源以及内热源的分布规律等 3 时间条件 说明对流换热过程是稳态还是非稳态 对于非稳态 应给出初始条件 过程开始时的速度 温度场 4 边界条件 第一类边界条件给出边界上的温度分布规律 如果tw 常数 则称为等壁温边界条件 第二类边界条件给出边界上的热流密度分布规律 如果qw 常数 则称为等热流边界条件 紧贴壁面的流体静止 热量传递依靠导热 根据傅里叶定律 给出了边界面法线方向流体的温度变化率 对流换热微分方程组和单值性条件构成了对一个具体对流换热过程的完整的数学描述 但由于这些微分方程非常复杂 尤其是动量微分方程的高度非线性 使方程组的分析求解非常困难 1904年 德国科学家普朗特 L Prandtl 在大量实验观察的基础上提出了著名的边界层概念 使微分方程组得以简化 使其分析求解成为可能 LUDWIGPRANDTL 1875 1953 5 3对流换热的边界层微分方程组 1 边界层概念当粘性流体流过物体表面时 会形成速度梯度很大的流动边界层 当壁面与流体间有温差时 也会产生温度梯度很大的温度边界层 或称热边界层 速度发生明显变化的流体薄层 1 流动边界层 流动边界层厚度 空气沿平板流动边界层厚度 流场划分 理想流体 速度梯度存在 粘性力作用区 边界层的流态 层流边界层 过渡区 紊流边界层 2 热边界层 边界层从层流开始向紊流过渡的距离 其大小取决于流体的物性 固体壁面的粗糙度等几何因素以及来流的稳定度 由实验确定的临界雷诺数Rc给定 临界距离xc 对于流体外掠平板的流动 一般情况下 取 温度变化较大的流体层 热边界层厚度 t 边界层的传热特性 在层流边界层内垂直于壁面方向上的热量传递主要依靠导热 紊流边界层的主要热阻为层流底层的导热热阻 局部表面传热系数的变化趋势 流动边界层厚度 与热边界层厚度 t的比较 两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度 m2 s 与热扩散率a m2 s 的相对大小 令 普朗特数 一般液体 Pr 0 6 4000 气体 Pr 0 6 0 8 对于紊流边界层 综上所述 边界层具有以下特征 a b 流场划分为边界层区和主流区 流动边界层内存在较大的速度梯度 是发生动量扩散 即粘性力作用 的主要区域 主流区的流体可近似为理想流体 热边界层内存在较大的温度梯度 是发生热量扩散的主要区域 热边界层之外温度梯度可以忽略 c 根据流动状态 边界层分为层流边界层和紊流边界层 紊流边界层分为层流底层 缓冲层与紊流核心三层结构 层流底层内的速度梯度和温度梯度远大于紊流核心 d 在层流边界层与层流底层内 垂直于壁面方向上的热量传递主要靠导热 紊流边界层的主要热阻在层流底层 2 对流换热的边界层微分方程组 对于体积力可以忽略的二维稳态强迫对流换热 比较x和y方向的动量微分方程 根据边界层的特点 采用数量级分析方法 忽略高阶小量 可以将对流换热微分方程组简化 对流换热微分方程组简化为 简化后的方程组只有3个方程 但含有u v p t4个未知量 方程组不封闭 由于忽略了y方向的压力变化 使边界层内压力沿x方向变化与主流区相同 可由主流区理想流体的伯努利方程确定 3 解的函数形式 特征数关联式 特征数是由一些物理量组成的无量纲数 例如毕渥数Bi和付里叶数Fo 对流换热的解也可以表示成特征数函数的形式 称为特征数关联式 通过对流换热微分方程的无量纲化可以导出与对流换热有关的特征数 二维稳态对流换热边界层微分方程组 Nu称为平均努塞尔数 等于壁面法线方向上的平均无量纲温度梯度 大小反映平均对流换热的强弱 引进下列无量纲变量 对流换热表面传热系数与温度场之间的关系式 对于常物性 无内热源 不可压缩牛顿流体平行外掠平板稳态对流换热 du dx 0 方程组简化为 无量纲化 式中 称为雷诺数 由无量纲方程组可以看出 再由 Nu待定特征数 Re Pr已定特征数 可见 流体平行外掠平板强迫对流换热的解可以表示成特征数关联式的形式 即 特征数关联式中变量个数大为减少 更突出地反映相关物理量之间的依赖关系及其对对流换热的综合影响 对比 4 外掠平板层流边界层微分方程精确解 对于常物性 无内热源 不可压缩牛顿流体平行外掠等壁温平板稳态层流换热 数学模型为 y 0 u v 0 t tw y u u t t 1 速度场 1 流动边界层厚度 由数学模型可求出边界层的速度分布 2 摩擦系数 由速度分布求出局部粘性切应力 为局部摩擦系数 平均摩擦系数 2 温度场 1 热边界层厚度 对于Pr 1的流体层流换热 2 计算对流换热系数的特征数关联式 对于0 6 Pr 15的流体掠过等壁温平板层流换热 Nux是以x为特征长度的局部努塞尔数 平均表面传热系数h为 平均努塞尔数 注意 上述关系式仅适用于Pr 0 6的流体外掠等壁温平板层流换热 定性温度为边界层的算术平均温度 对于Pr 0 6的流体掠过等热流平板的层流换热 局部努塞尔数为 当Rex Pr相同时 常热流情况下的局部努塞尔数要比等壁温情况大36 左右 对比 在常热流情况下 tw是变化的 平均温差定义为 平均努塞尔数 偏差2 4 5 4边界层积分方程及比拟理论 选取包含微元段边界层的控制体积abcd作为研究对象 1 边界层积分方程 核心思想对包含固定边界 固体壁面 和边界层外边界的有限控制容积建立动量和能量守恒方程 1921年 冯 卡门提出了边界层动量积分方程 1936年 克鲁齐林求解了边界层能量积分方程 1 边界层动量积分方程 对于常物性 无内热源 不可压缩牛顿流体 根据动量守恒 X方向上的动量变化 控制体外表面上外力的代数和 1 穿过控制面ab进入控制容积的动量为 而同时穿过cd面流出的动量为 净流出的动量为 2 没有流体穿过表面ac 但有流体质点穿过bd面 要计算bd进入的动量 应首先得到进入控制体的质量流量 根据质量守恒 穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差 流入ab面的质量流量为 流出cd面的质量流量 于是穿过bd面的质量流量 穿过bd面代入控制体的动量 X方向上的动量变化 控制体外表面上外力的代数和 整理上式 上式称为冯 卡门边界层动量积分方程 1921 其解被称作近似解 整理有 对于常物性流体外掠平板层流换热 为了对积分方程进行积分 必须给定边界层内的速度分布 假设u a by cy2 dy3 代入边界条件 可求得边界层内的速度分布 将速度分布代入动量方程分离变量积分可求得速度边界层厚度 由速度分布及牛顿公式还可求得距前缘x处平板表面的局部切应力和局部摩擦系数 精确解 精确解 局部切应力 局部摩擦系数 2 边界层能量积分方程 1 从a b面进入的热量 对于常物性 无内热源 不可压缩牛顿流体 忽略耗散热的二维稳态对流换热 控制体积的热平衡可表述为 单位时间内进入控制体的热量等于流出控制体的热量 2 从c d面出去的热量 3 从b c面进入的质量 从b c面进入的热量 4 从a d面因流体导热进入控制体积的热量 将以上4项代入控制体积的热平衡表达式 可得 因热边界层外 t t 0 上式可改为 边界层能量积分方程 前面已给出边界层内的速度分布 为求解还必须给出边界层内的温度分布 可求得以过余温度 t tw表示的边界层温度分布 边界条件 假设边界层内的温度分布仍为三次幂函数形式 即 连同速度分布 代入能量积分方程 可求得热边界层与流动边界层同时从平板的前缘开始形成时两者的厚度之比 精确解 将温度分布代入式 可求得局部表面传热系数 或写成 和精确解完全相同 2 动量传递与热量传递的比拟 类比 比较无量纲动量微分方程式和能量微分方程式 当Pr 1时 两方程的形式完全相同 对于同一对流换热现象 二者具有相同的几何条件和物理条件 如果边界条件也相同 如 Y 0 U 0 0 Y U 1 1 则无量纲速度分布和无量纲温度分布完全相同 这种流动边界层与热边界层的类似是由于动量传递与热量传递具有完全相同的机理所至 因此描写这两种现象的物理量之间一定存在必然联系 前面温度场的求解结果 引进新的无量纲特征数 斯坦顿 Stanton 数 比较 以上两式称为契尔顿 科尔本比拟式 建立了摩擦系数与对流换热表面传热系数之间的关系 如果Pr 1 则 以上两式称为雷诺比拟式 根据动量传递与热量传递之间的类比性 通过理论分析建立起描述这两个传递现象的物理量之间的关系式 称为比拟关系式 再由已知或比较容易获得的动量传递的规律推测出热量传递的规律 这种分析方法称为动量传递与热量传递的比拟法 比拟法曾被广泛用于紊流换热问题的研究 湍流流动和传递特征 为时均值 为瞬时值 为脉动值 湍流附加切应力 雷诺应力 t m称为湍流动量扩散率 也叫湍流粘度 由流体微团的湍流脉动导致附加动量传递产生的切应力 湍流时的总切应力应为 湍流附加热流 雷诺热流 ql 由流体微团湍流脉动导致的附加热量传递 湍流的总热流密度 t称为湍流热量扩散率 注意 m t不是物性参数 引入上述两个湍流扩散率以后 湍流边界层的动量和能量微分方程可以分别写作 两个方程的形式完全相同 既适用于层流换热也适用于湍流换热 可无量纲化为 引入湍流普朗特数 Prt 0 9 1 6 如果取Prt 1 Pr 1 以上两式形式完全相同 将具有完全相同的解 即无量纲速度场与无量纲温度场重合 这说明湍流换热的动量传递和热量传递之间同样存在类比关系 理论分析表明 契尔顿 科尔本比拟式同样适用与湍流换热 即 对于流体外掠平板的强迫对流换热 当局部雷诺数 速度边界层由层流过渡到紊流 就可以利用动量传递与热量传递之间的比拟关系式由摩擦系数计算对流换热表面传热系数 当时 紊流边界层的局部摩擦系数为 当流体掠过等壁温平板时 先形成层流边界层后再过度到紊流边界层 则整个平板的平均表面传热系数可按层流段和紊流段分别积分平均 即 式中的hx l和hx t可分别由以下两式求出 也可以根据全板长的平均摩擦系数公式 代入比拟关系式 如果 可用下式计算平均摩擦系数 对于管内强迫对流紊流换热 也同样可以应用动量传递与热量传递之间的比拟关系式进行计算 比拟关系式的形式为 f称为达西摩擦系数 定义式为 常用