数学北师大版一年级下册1.5平方差公式的认识.doc

课题 第一章 整式的乘除 1.5平方差公式的认识课时安排平方差公式共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.一、学情分析七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.二、教学任务分析学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.根据本课内容的地位和作用确定教学目标.三、教学目标： 1、知识与技能：经历探索平方差公式的过程，学生会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展学生符号感和推理能力. 2、过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，通过学生对平方差公式特点的辨析，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3、情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.四、教学重点：让学生掌握平方差公式，会运用公式进行简单的乘法运算.五、教学难点：公式的推导，理解公式中字母的广泛含义.六、教学方法：引导自学、讨论法。七、教法与学法： 1、公式的导出由师生共同完成。导出公式后让学生观察公式，找出公式的结构特征，教师纠正或补充，然后采用与公式对比形式来处理简单的练习题目。对于例1，教师先引导学生找出公式中的a和b，师生再共同完成运算，接着练习例1的题型。在此基础上，再引导学生观察例2，由简单到复杂，培养学生处理问题、探究知识的能力。针对学生个体的差异情况，教师可补充另外解题思路，因材施教，然后再强化练习例2题型. 2、学生在教师创设的情景中积极思考，逐步提高分析能力和归纳能力.八、教学活动设计第一环节 复习旧知、引入新课 提出问题，让学生回答多项式乘法法则（这里复习了多项式的乘法，为学生总结出公式作铺垫） 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba 2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.第二环节 探究规律、发现结论1、计算下列各题：（1） （x+2）（x2）； （2） （1+3a）（13a）：（3） （x+5y）（x5y）；（4） （y+3z）（y3z）.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？（在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.） 2、验证猜想 学生通过计算能够初步感受结果的规律性“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律. 3、计算(a+b)(ab)。请让一名学生到电子白板上板演，其他学生在下面做.得到 ：(a+b)(ab)= a2ab+ab-b2 =a2b2提问：（1）(a+b)(ab)乘开后是几项？ （2）这些项合并后又是几项？ （3）(a+b)(a-b)的最后结果是几项？这样的结果是什么形式？引导学生分析并作出正确回答. 教师在学生回答的基础上师生总结：(a+b)(ab)乘开后是四项，四项合并为两项a2b2.即(a+b)(ab)的最后结果是a2b2，它是平方的差的形式.像这种具有特殊形式的多项式乘法可以作为公式，这样在遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。因为结果是平方的差的形式，这个公式就叫平方差公式，板书平方差公式. 4、引导学生分析公式的结构特征：a+b是a与b的和，ab是a与b的差，结果是a与b的什么形式？让学生讨论用文字怎样叙述.在学生回答的基础上，师生共同总结为： (a+b)(ab)a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差。 求形如两数和与这两数差的积，就可以用上述公式计算.第三环节 典例分析、巩固提高 1、 对照公式强化训练： 计算(1+2x)(1-2x) 把1看作a，把2x看做b.(1+2x)(1-2x)= 12-(2x)2 =1-4x2 (a+ b)(a- b)= a2- b2 (这里1与a的对照箭头用红色,2x与b的对照箭头用黄色，加强直观效果，突出换元思想.)在对照理解和应用的基础上明确上题中a代表1，b代表2x，初步说明字母的广泛含义.2、讲解例1并举行相应的巩固练习.例1 运用平方差公式计算： （1）（5+6x）（56x); （2）（x2y）（x+2y）; （3）（m+n）（mn）; （4）(b2+2a3)(2a3b2).分析：（1）题中正好是5与6x的和乘以5与6x的差，5就是公式中的a，6x就是公式中的b，直接运用公式写成52-(6x)2.第（2），（3）题计算方法与第（1）题类似.（4）题让学生观察思考，教师适当提示后面括号内是2a3-b2，那前面只要出现2a3+b2就可以用公式了，学生由此提示很容易想到应用加法交换律进行变形后再用公式.教师按解答要求，给出（1）题的解。后面的题可让学生板演，其余学生在练习本上解，以培养学生的自我探究能力。最后，教师要强调指出：2a3是公式中的a，b2是公式中的b，再次让学生体会“元”的代换。在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.第四环节 观察思考、拓展延伸 1、师生共同分析例2，并进行巩固练习.例2 运用平方差公式计算：(1) (-x+2y)(-x-2y);(2)(-4a-1)(4a-1).引导学生共同分析：（1）对照公式，问：这里“两个数”是什么？算式是不是这两个数的和与差乘积？学生易想到-x虽然带着负号，但是它是公式中的a，2y是公式中的b。教师再说明：因为前后两括号内均含-x，而前一个括号中的+2y与后一个括号中的-2y互为相反数，所以公式中的a、b在这里分别代表-x和2y。接着，师生共同完成解答。在(1）题的基础上让学生分析(2）题，学生很容易找出两式中-1是公式中的a，4a是公式中的b，需要用加法交换律。解：(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2.对照例1中的(4）题，让学生思考例2中(2）题：(-4a-1)(4a-1)的第二个括号内是4a与1的差，只要前括号内(-4a-1)变成4a与1的和就可以了。学生很容易想到-4a-1=-(4a+1)解法二：(-4a-1)(4a-1)=-(4a+1)(4a-1)=-(4a)2-12=-(16a2-1)=1-16a2根据例2，问：运用平方差公式计算时，如何确定公式中各代表哪个数？（让学生充分思考、讨论） 教师可概括为：紧扣公式(a+b)(a-b)=a2-b2来找a、b代表的数，这是运用公式的关键. 抓住“差”，找“和”，（有时需要变形）或抓住“和”找“差”. “同号者”为a（有时需要变形），“异号者”为b. 这样就把公式的机构特征完善了。（例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.）第五环节 当堂达标、自我检测 1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ ( 1 ) (x+2)(x-2)=x2-2 ( ) ( 2 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( ) ( 3 ) (3a-2)(-3a-2)=9a2-4 ( ) 2、利用平方差公式计算：（1）（5mn）（5mn）（2）（mn+3）（mn3） (3)（x1）（1x） (4)（a+b）（ab）（a2+b2） （为学生提供自我检测的机会，教师针对学生反馈情况，及时调整授课，查漏补缺.）第六环节 课堂小结、布置作业 本节课推导出平方差公式，理解并掌握了平方差公式的结构特征。采用对照形式弄清了运用公式的关键是识别哪个数是公式中的a，哪个数是公式中的b。 归纳总结： 1、平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差. 应用平方差公式的注意事项： 1、注意平方差公式的适用范围； 2、字母a、b可以是数，也可以是整式； 3、注意计算过程中的符号和括号。（通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的.）布置作业 1、必做题：教材P21习题1、2. 2、选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？板书设计 平方差公式的认识平方差公式：(a+b)(ab)a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差。教学反思 对于乘法公式而言，公式中字母的高度概括性和广泛的适用性，加之换元思想渗透其中，初中学生的思维水平还较难适应，他们善于机械模仿，习惯解题过程的程序化，难免在解题时会走入误区，出现一些错误。运用平方差公式进行乘法运算时，经常出现的误区有：例如，用平方差公式计算：（-4x-y）(4x-y)错解一：（-4x-y）(4x-y)=(4x)2-y2=16x2-y2错误剖析：不先变形，直接套用公式出错。错误地认为，平方差就是前面的一个数的平方减去后面的一个数的平方。 做题时要仔细观察、比较，紧扣公式(a+b)(a-b)=a2-b2来找a、b代表的数，“同号者”为a，“异号者”为b。不能直接套用公式，要适当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式，结果是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方。正解一：（-4x-y）(4x-y)=-(4x+y)(4x-y)=-(16x2-y2)=y2-16x2先用提出负号的方法，使两乘式首项都变成正的，而后可看出两数和与两数差的积的形式，再运用公式写出结果。错解二：（-4x-y）(4x-y)=(-y-4x)(-y+4x)=y2-4x2错误剖析：在利用公式时，只注意对字母平方，而忽略了系数，错解原因就在于此。若有系数时应加括号。说明学生仍然对公式中的a，b所指的对象不清楚。正解二：（-4x-y）(4x-y)= (-y-4x)(-y+4x)=(-y)2-(4x)2=y2-16x2平方差公式中的a，b可以是一个具体数或字母，也可以是一个单项式或多项式。已知式中-y和4x都是单项式，相当于公式中的a，b，所以计算时应用括号括起来。 对平方差公式，要求不但会推导，而且还要熟记并灵活运用。记住这个公式并不难，难得是“灵活运用”，要达到灵活运用，关键是准确掌握公式的结构特征和公式的变化形式及公式中字母的广泛含义可以是单项式或多项式。做题时应仔细观察，（1）紧扣公式(a+b)(a-b)=a2-b2来找a、b代表的数，抓住“差”，找“和”，（有时需要变形）或抓住“和”找“差”。“同号者”为a（有时需要变形），“异号者”为b。（2）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式如：（a3b）（3ab），不能运用平方差公式。 （3）公式中的字母a、b可以是一个数，一个单项式或一个多项式所以，当这个字母表示一个负数，或分式，或多项式时，应加括号，避免出现只把字母平方，