2013硕士研究生入学考试数学真题及解析.doc

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限，其中k，c为常数，且，则（）A. B. C. D. 答案（D）解析：洛必达因此，即2.曲面在点处的切平面方程为（ ）A. B. C. D. 答案（A）解析：法向量切平面的方程是：，即。3.设，令，则（ ）A . B. C. D. 答案（C）解析：根据题意，将函数在展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：，它的傅里叶级数为，它是以2为周期的，则当且在处连续时，。4.设，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则A. B. C. D 答案（D）解析：由格林公式，,在内，因此在外，所以5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ）A. B. 为任意常数 C. D. 为任意常数7.设是随机变量，且，则（ ）A. B. C. D8.设随机变量,，给定，常数c满足，则( )（9）设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则 。(10)已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。（11）设。（12）。（13）设A=(aij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则A。（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则PYa+1|Ya=三解答题： （15）（本题满分10分）计算，其中f(x)解：使用分部积分法和换元积分法(16)(本题10分)设数列an满足条件：S（x）是幂级数（1）证明：（2）求(I)证明：由题意得 即 (II) 解：为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为从而 ，于是 ，由，得所以（17）（本题满分10分）求函数.解答：先求驻点，令，解得为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数在点处，因为,所以不是极值点。类似的，在点处，因为，所以是极小值点，极小值为(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在（）存在19.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。（1） 求曲面的方程；（2） 求的形心坐标。解：20.（本题满分11分）设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。第20题解：令，则 ，则由得，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是 所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。又 ,所以 21.（本题满分11分）设二次型，记，。（1） 证明二次型f对应的矩阵为；（2） 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。证明：（3）22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为令随机变量（1） 求Y的分布函数；（2） 求概率.23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。（1） 求的矩估计量；（2） 求的最大似然估计量。中域2013考研数学数学二真题解析（完整版）一、选择题1.设cos x-1=x sin ，其中，则当x0时，是（ ）(A)比x高阶的无穷小 (B)比x低阶的无穷小 (C)与x同阶但不等价的无穷小 (D)与x等价的无穷小答案：（C）解：。2.设函数y=f(x)由方程cos(xy)+ln y-x=1确定，则=( )(A)2 (B)1(C)-1 (D)-2答案：（A）解：3.设函数f(x)= F(x)=则( )(A)x=是函数F(x)的跳跃间断点 (B) x=是函数F(x)的可去间断点(C) F(x)在x=处连续但不可导 (D) F(x)在x=处可导答案：（C）解：由定积分的几何意义， 而， ， 在处不可导。故在处连续但不可导。4.设函数f(x)=若反常积分f(x)dx收敛，则（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：（B）解：显然（A）（C）排除。当时，发散，故（D）不对。应选（B）。5.设，其中函数f可微，则（ ）(A) (B)(C) (D)答案：（A）解：，。6.设是圆域在第k象限的部分，记，则（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：（B）解：所以选（B）。7.设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价答案：（B）解：，即C的列向量组可由A的列向量组线性表示。,A的列向量组可由C的列向量组线性表示，因此（B）。8.矩阵相似的充分必要条件为（ ）(A)a=0,b=2 (B)a=0,b为任意常数(C)a=2,b=0 (D)a=2,b为任意常数答案：（B）解：A和B相似.则A和B的特征值相同.A和B的特征值为1=0. 2=b. 3=2.|A-2E|= a=0且， 当a=0时，反之.二、填空题9.答案：解： 。10.设函数则y=f(x)的反函数在处的导数答案：解：即，。11.设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围平面图形的面积是 答案：解：。12.曲线上对应于t=1的点处的法线方程为_答案：解：，法线为，即。13.已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件的解为y=_答案：解：设该方程为，为的解，故通解为，由得，故。14.设A=是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为的代数余子式，若,则A=_答案：-1解：。设，。三、解答题：1523小题，共94分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.当解：，且由，故。16设D是由曲线绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy=10Vx,求a的值。解：，。17.设平面区域D由直线x=3y，y=3x与x+y=8围成.计算。解：由得， 由得18设奇函数f(x)在-1,1上具有二阶导数，且f(1)=1.证明：（1）存在（2）存在。证明：（1）为奇函数，于是。令，使。而，。（2）为偶函数，。令，使。而且，。19.求曲线短距离.解：设为曲线上一点，令，由得当时，到原点的距离为，然后考虑边界点，即，它们到原点的距离都是1. 因此最小值为1，最大值为。20.设函数（1）求f(x)的最小值.（2）设数列xn满足证明。解析：（1)， ， 在内最小值为。（2），故。 又 故存在。令，故。21设曲线L的方程为（1）求L的弧长。（2）设D是由曲线L，直线x=1,x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.解：（1），。（2）。22.设，。解：令，则， ，则由得，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是 ，所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。即 ,所以 所以 （其中为任意常数）。23.设二次型(1) 证明二次型f对应的矩阵为(2) 若.解：2013硕士研究生入学考试数学三真题及答案解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：（D）解析：（A）（B）（C）（D）如：（2）函数的可去间断点的个数为（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3答案：（B）解析： f(x)= f(x)= 而f(0),f(1)无定义，故x=0,x=1为可去间断点.（3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ）（A）（B）（C）（D）答案：（B）解析：故应选B。（4）设为正项数列，下列选项正确的是（ ）（A）若收敛（B）收敛，则（C）收敛，则存在常数,使存在（D）若存在常数，使存在，则收敛答案：（D）解析：因为收敛，存在，则收敛。故应选D。（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价答案：（B）解析：B可逆.A(b1bn)=C=(c1cn)Abi=Ci.即C的列向量组可由A的列向量组表示.AB=CA=CB-1=CP.同理：A的列向量组可由C的列向量组表示.（6）矩阵与相似的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）答案：（B）解析：A和B相似，则A和B的特征值相同.A和B的特征值为1=0. 2=b. 3=2.|A-2E|= a=0且 当a=0时，反之对于.（7）设是随机变量，且,则（ ）（A）（B）（C）（D）答案：（A）解析：（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则 ( )（A）（B）（C）（D）答案：（C）解析：二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线和在点处有公共的切线，则_。答案：-2解析：（10）设函数由方程确定，则_。答案：2-2ln2解析：（11）求_。答案：ln2解析:0+=0-ln（12）微分方程通解为_。答案：解析：（13） 设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若。答案：解析：取行列式得：若(矛盾)（14） 设随机变量X服从标准正态分布,则= _。答案：2e2解析：三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分） 当时，与为等价无穷小，求与的值。解析：（16）（本题满分10分） 设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。解析：由题意可得：因为： 所以（17）（本题满分10分） 设平面内区域由直线及围成.计算。解析：与的交点为，与的交点为。（18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。解析：（1）总收入总成本总利润边际利润（2）当P=50时的边际利润为，其经济意义为在P=50时，价格每提高1元，总利润减少2000元。（3）由于，在递增，在递减，当P=40时，总利润最大。（19）（本题满分10分） 设函数在上可导，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在使得证明：（1）因为，对于，存在,使得当时，因此，由连续函数的介值性，存在，使得。（2）由拉格朗日中值定理，存在使得（20）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 解析：令，则 ，则由得，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是 所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。又 ,所以 所以 （其中为任意常数）。（21）（本题满分11分） 设二次型，记 。（I）证明二次型对应的矩阵为；（