山东省济宁市任城区济东中学九年级数学上册课件：《一元二次方程》（鲁教版）

1 知道一元二次方程的定义 能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2 bx c 0 a 0 2 分析 揭示实际问题的数量关系 并把实际问题转化为一元二次方程数学模型 3 会用试验的方法估计一元二次方程的解 寻找数量关系列方程 整理成等式右边为0的形式 一元二次方程的定义及一般形式 例1 下列方程哪些是一元二次方程 是的将其化为一般形式 并分别指出它们的二次项 一次项 常数项及二次项 一次项的系数 1 x2 4 2 1 x2 3 x 1 x 2 3 4 x2 4 x 2 2 思路点拨 根据一元二次方程的定义判断 自主解答 一元二次方程有 1 3 1 x2 4 x2 4 0 二次项为x2 其系数为1 常数项为 4 3 x 1 x 2 3 x2 3x 1 0 二次项为x2 其系数为1 一次项为 3x 其系数为 3 常数项为 1 一元二次方程必须满足三个条件 1 是整式方程 2 只含有一个未知数 3 未知数的最高次数是2 1 下列方程是一元二次方程的是 A x2 1 x x 1 B y2 x 1 C x2 1 0 D x2 1 解析 选C 选项A整理后为一元一次方程 选项B为二元方程 选项D为分式方程 2 一元二次方程4x2 7 5x中二次项是 一次项系数是 常数项是 解析 一元二次方程4x2 7 5x整理成一般形式是4x2 5x 7 0 答案 4x25 7 一元二次方程的判定要紧扣定义的三个方面 一元二次方程的项及系数的判断要化为一般形式后再判断 不要忘了项的符号 列一元二次方程 例2 用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙 墙的长度不限 的矩形菜园ABCD 菜园面积为400平方米 为求菜园的长与宽 如果设与墙平行的篱笆AB的长度为x米 则可列方程为 如果设与墙垂直的篱笆长度为x米 则可列方程为 思路点拨 自主解答 如果设与墙平行的篱笆AB的长度为x米 则与墙垂直的篱笆长度为米 可列方程为 x 400 如果设与墙垂直的篱笆长度为x米 则与墙平行的篱笆AB的长度为 60 2x 米 可列方程为 60 2x x 400 答案 x 400 60 2x x 400 列方程的关键是要分析数量关系 如本题的数量关系为三边的长的和为60米 两邻边的乘积为400平方米 3 一个矩形长比宽多4 面积为21 设矩形宽为x 则方程为 化为一般形式为 解析 矩形宽为x 则长为x 4 所以面积为x x 4 即x x 4 21 化为一般形式为 x2 4x 21 0 答案 x x 4 21x2 4x 21 0 4 一个等腰直角三角形 斜边比直角边长2cm 设斜边为xcm 列方程为 化为一般形式为 解析 斜边为xcm 则直角边为 x 2 cm 根据勾股定理可得方程 x 2 2 x 2 2 x2 化为一般形式为x2 8x 8 0 答案 x2 x 2 2 x 2 2x2 8x 8 0 长方形的面积 长 宽 斜边的平方 两直角边的平方和 一元二次方程的解 例3 4分 关于x的一元二次方程 a 2 x2 x a 2 0的一个根为0 求a的值 解题导引 本题考查了方程的解 其方法是将x 0代入原方程 然后再结合二次项系数不为0求解即可 规范解答 把x 0代入原方程得 a 2 解得a 2 2分又根据一元二次方程的定义知a 2 0 则a 2 4分 忽略了二次项系数不等于0的隐含条件是本题常见的错误 根据方程根的定义 将方程的根代入原方程 方程的两边应相等 从而确定某些字母的取值 5 下列四个数中是方程x2 x 56的根的是 A 7 B 8 C 0 D 9 解析 选B 将A B C D四个选项中的数值代入方程验证即可 6 关于x的方程x2 kx 6 0的一个根为x 3 则实数k的值为 A 1 B 1 C 2 D 2 解析 选A 将x 3代入方程x2 kx 6 0得32 k 3 6 0 解得k 1 判断一元二次方程的解的方法是分别将选项中的未知数的值代入原方程 看左右两边是否相等 相等则是 否则不是 1 下列方程中 关于x的一元二次方程是 A 3 x 1 2 2 x 1 B C ax2 bx c 0 D x2 2x x2 1 解析 选A 选项B为分式方程 选项C不一定保证二次项系数不等于0 选项D整理后为一元一次方程 2 方程2x2 6x 9的二次项系数 一次项系数 常数项分别为 A 6 2 9 B 2 6 9 C 2 6 9 D 2 6 9 解析 选C 原方程化为一般形式后为2x2 6x 9 0 则二次项系数 一次项系数 常数项分别为2 6 9 3 已知一元二次方程x2 px 3 0的一个根为 3 则p 解析 把x 3代入原方程 得9 3p 3 0 解得p 4 答案 4 4 把方程化成一般形式 并写出它的二次项系数 一次项系数和常数项 解析 原方程整理 得3 x 1 2 18x 2 3x2 6x 3 18x 2 3x2 24x 1 0 所以此方程的二次项系数为3 一次项系数为 24 常数项为1 一 选择题 每小题4分 共12分 1 下列说法中正确的个数是 x2 1是一元二次方程 2x2 2 x 1 x 1 是一元二次方程 x2 2不是一元二次方程 因为左边x2 不是整式 2x2 x y 1不是一元二次方程 因为方程中含有两个未知数x y A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 解析 选B 正确 2 方程2 x2 1 1 3x x 1 中二次项系数 一次项系数和常数项分别是 A 1 3 1 B 1 3 1 C 1 3 1 D 3 3 1 解析 选A 2 x2 1 1 3x x 1 整理 得 x2 3x 1 0 即x2 3x 1 0 归纳整合 将一元二次方程整理为一般形式时 一般情况下需要将二次项系数化为正数 3 若ax2 5x 3 0是一元二次方程 则不等式3a 6 0的解集是 A a 2 B a 2且a 0 D a 解析 选C 由3a 6 0得解集为a 2 又ax2 5x 3 0是一元二次方程 则a 0 二 填空题 每小题4分 共12分 4 若方程kx2 x 3x2 1是一元二次方程 则k的取值范围是 解析 整理kx2 x 3x2 1 得 k 3 x2 x 1 0 其为一元二次方程 k 3 0 即k 3 答案 k 3 5 若关于x的一元二次方程 m 3 x2 2x m2 9 0的常数项为0 则m的值为 解析 由常数项为0 得m2 9 0 解得m 3 当m 3时 m 3 0 不合题意 应舍去 故m 3 答案 3 6 2010 大连中考 如图是一张长9cm 宽5cm的矩形纸板 将纸板四个角各剪去一个同样的正方形 可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒 设剪去的正方形边长为xcm 则可列出关于x的方程为 解析 根据长方体盒子的底面积 长 宽得答案 长为 9 2x cm 宽为 5 2x cm 答案 9 2x 5 2x 12 三 解答题 共26分 7 8分 小明在写作业时 一不小心 把方程3x2 x 5 0的x前的系数用墨水盖住了 但查答案知道该方程的根是x 5 你能帮助小明求出被覆盖的系数吗 解析 能 设被覆盖的系数为b 则方程为3x2 bx 5 0 把x 5代入方程得3 52 b 5 5 0 解得b 14 所以被覆盖的系数为 14 8 8分 2010 佛山中考 教材或资料会出现这样的题目 把方程化为一元二次方程的一般形式 并写出它的二次项系数 一次项系数和常数项 现把上面的题目改编为下面的两个小题 请解答 1 下列式子中 有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式 答案只写序号 x2 2x 4 x2 2x 4 0 2 方程化为一元二次方程的一般形式后 它的二次项系数 一次项系数 常数项之间具有什么关系 解析 1 2 若设它的二次项系数为a a 0 则一次项系数为 2a 常数项为 4a 拓展延伸 9 10分 如图所示用火柴棒摆出的一系列三角形图案 设每边上的火柴棒