微分中值定理的证明、推广以及应用.doc

微分中值定理的证明、推广以及应用 及其应用 数学091班：龙超 指导教师：马菊霞 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘 要：拉格朗日中值定理与柯西中值定理都是罗尔中值定理，在本篇论文里，给出罗尔中值定理的其它多种推广来扩大其应用。本文也举例说明了和性质,并给出了第二型曲面积分计算的几种方法。 关键词：拉格朗日中值定理，柯西中值定理，罗尔中值定理 The Extension and Application of The Differential Mean-value Theorem ABSTRACT：The Lagrange mean-value theorem and the Cauchy mean-value theorem are extension of the Rolle mean-value theorem. In this article the Rolle mean-value theorem has been concluded and deduced in few more forms application to expand the use of the Rolle mean-value theorem. Also the article has demonstrated of the application of differential mean-value theorem. KEYWORDS：Lagrange mean-value theorem,Cauchy mean-value theorem ,Rolle mean-value theorem 1 引言 在数学分析课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理,是连接函数与导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要数学工具,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值,因此讨论微分中值定理的推广具.为加深学生对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,本文归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式及在解题中的一些应用。 2 微分中值定理的推广 2.1 推广一 f(x)?limf(x)?A,其中A为有限值,或?,若函数f(x)满足：在(a,b)内可导；lim? x?a x?b 或?,则至少存在一点?(a,b).使f(x)?0。 证明：(1) 设A为有限值时,对函数f(x)做连续延拓,定义 F(x)?Ax?a,b f(x)x?(a,b) ， 易知F(x)在a,b上满足罗尔中值定理条件, 故在开区间(a,b)内至少存在一点?,使F?(?)?f?(?)?0。 (2)设A?,由于f(x)在(a,b)内连续,有极限的定义,对充分大的C?0,存在x0?(a,b),使f(x0)?C， 则直线y?C与y?f(x)至少有2个交点M1(x1,f(x1)与M2(x2,f(x2), 即f(x1)?f(x2)?C,x1,x2?(a,b)不妨设x1?x2, 易知f(x)在x1,x2?(a,b)上满足罗尔中值定理, 故存在?(x1,x2)?(a,b),使f?(?)?0。 (3)设A?,类似可证 还可以把罗尔定理中的有限区间推广到无限区间。 2.2 推广二 若函数f(x)满足：在a,?)上连续;在(a,?)内可导; limf(x)?f(a),则至少存在一点?(a,?),使f?(?)?0， x? 证明 令t? 1 ,将x?a,?)变换成t?(0,1, x?a?1 t?0 ?(t)?,设f(?(t)?g(t),从而g(t)在(0,1上 记x?a?1?(t),则有?(1)?a,lim? 可导,且有 t?0? 1 t limg(t)?limf(?(t)?limf(x)?f(a)?f(?(1)?g(1)? t?0 x? 定义g(t)在0,1上,其中g(0)?g(1),由罗尔定理, 存在?(0,1),使得g(?)?0， ?(?)?,则f?(?)?(?)?0.又?(?)? 1 ? 2 ?0,所以f?(?)?0,?(a,?)。 注 类似可以证明若f(x)在(?,?)上可导,且limf(x)?limf(x),则至少存在一点 x? x? ?(?,?),使f?(?)?0。 2.3 推广三 f(x)?limf(x)?A,若函数f(x)满足： 对lim在区间a,?)上连续；在区间a,?）上? x?a x?b 可导；lim?M,则至少存在一点?(?,?),使得f?(?)? x? M?f(a) 。 2 (?1?a) 证明:令 11 ?t,即x?a?1?(t)当x?a,?)时,0?t?1,?(1)?a, x?a?1t t?0 t?0 t?0 lim?(t)?,f(x)?f(?(t)?g(t),limg(t)?lim?(t)?limf(x)?M补充定义 t?0 g(0)?limg(t)?M，则g(t)在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 t?0 一点?(0,1)，使g(?)? g(1)?g(0) ，即g?(?)?f(a)?M记?(?),g?(?)?f?(?)?(?)而 1?0 ?(?)? 1 ?2 ?(?1?a)2， 2 故至少存在一点?(a,?)使得?(?1?a)f?(?)?f(a)?M。 3.微分中值定理的应用 3.1导数极限定理 例1设函数f(x)满足： （1）在x?a的某?邻域(a?,a?)内连续, （2）limf?(x)?K, x?a 则f(x)在x?a处可导,且f?(a)?K， 证 明：先对f(x)在x,a?(a?,a上应用拉格朗日中值定理,有 f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),x,a?(a?,a, 从而有 f?(a)?lim? x?a x?a f(x)?f(a)f?(?)(x?a) ?lim?lim?f?(?) x?a?ax?ax?a 由 limf?(x)?K f?(?)?K, 故f?(a)?lim? x?a ?(a)?K, 同理可证f? 同理f?(a)?K。 此结论说明了,若有限导数f?(x)在某区间存在,则在区间没一点连续,它或是连续,或是第二间断点。 3.2 讨论方程根的存在性 例2 设f(x)在0,1上可导,且对任何x?(0,1)都有f?(x)?1,又0?f(x)?1。试证在(0,1)内方程f(x)?x?0有唯一实根。 1上利用零点定理易证。 证明（存在性）令F(x)?f(x)?x在0， （唯一性）反证法：假设有两个实根x1,x2使得f(x1)?x1,f(x2)?x2不妨设x1?x2,在 x1,x2?(0,1)上对f(x)利用拉格朗日中值定理, 有 f?(?)?f(x2)?f(x1)?x2?x1?1,?(x1,x2), x2?x1 x2?x1 这与f?(x)?1矛盾,故结论得证。 3.3 证明不等式 例3 设0?a?b,证明lnb?lna?证 设f(x)?lnx,则f?(x)? 2a(b?a) 。 a2?b2 1 对f(x)?lnx在x?a,b上利用拉格朗日中值定,有 x lnb?lna? 2 2 b?a ? ,?a,b, 由a?b?2ab,知 12a?2,而a?b,从而有 2ba?b 1 ? ? 2a(b?a)12a lnb?lna?2,即。 222 a?bba?b 3.4 函数的单调性 例4 证明：若函数f(x)在0,a)可导,f?(x)单调增加,且f(0)?0,则函数调增加。 证明 对任意x1,x2?(0,a),且x1?x2,则f(x)在0,x1与x1,x2均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在,c1?(0,x1),c2?(x1,x2)使 f(x) 在(0,a)也单x f?(c1)?f?(c2)? f(x1)?f(0) , x1?0f(x2)?f(x1) , x2?x1 由于f?(x)单调增加,且f(0)?0,所以 f(x1)f(x2)?f(x1) , ? x1x2?x1 从而 f(x1)f(x2) , ? x1x2 即函数 f(x) 在(0,a)也单调增加。 x 4 小结 通过对微分中值定理的研究与学习，并在所学的知识上进行一系列的推广与应用使我已经弄懂了微分中值定理的内容。做到了想到问题，并提出问题，再到列出问题，再到分析问题，以至于最后的解决问题，真可谓是一步一步循序渐进的过程。在写论文时还对数学公式的应用有更深的练习，确实一分耕耘一份收获。在对微分中值定理的推广方面肯定还做到的不足，并且应用的很不是到位，这些都是我在做这件事情中存在的问题。问题不可怕，怕的是不知道自己有哪些问题，所以这些必将成为我以后做事情的益处，因为我会在这些方面更加的认真、自习以至最后成功。 本文有两稿 本 科 第一稿毕 业 论文（数学） 13 微分中值定理的推广及应用 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application 学 院 （系）： 数计院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 学 号： 指 导 教 师（职称）： 完 成 日 期：xx.05 湖南师大 微分中值定理的推广及应用 数理学院 摘 要 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用. 关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理 The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application Mathematical Institute Abstract: In this paper, the differential mean value theorem of the general license based on the method, gives a new proof method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence of root and so on several aspects of the application. Key words: Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermats theorem 目 录 0 绪论?1 1 微分中值定理及相关的概念?1 2 微分中值定理普遍的证明方法?2 2.1 费马定理?2 2.2 罗尔中值定理?2 2.3 拉格朗日中值定理?3 2.4 柯西中值定理?4 3 中值定理的推广?4 3.1 关于三个中值定理新的证明方法?4 3.2 微分中值定理的推广?6 3.3 微分中值定理的弱逆定理? 10 4 微分中值定理的应用?11 4.1 利用微分中值定理证明等式?11 4.2 利用微分中值定理证明不等式?14 4.3 讨论方程根的存在性 ?15 结束语?18 参考文献?18 致谢?18 0绪论 微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容. 1 微分中值定理及相关概念 所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基 本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念. 定义1 (最小值或最大值) 设f(x)在I上有定义错误！未找到引用源。,若存在x0?I使任意x?I, f(x0)?f(x)(f(x0)?错误！未找到引用源。f(x),则错误！未找到引用源。称为f(x)的最小值(最大值).x0为最小值点(最大值点). 定义2 (极小值或极大值) 设错误！未找到引用源。在任意错误！未找到引用源。上有定义,若存在x0?I,?0,任意 未找到引用源。 (f(x)?f(x0),则f(x0)称x?(x0?,x0?),都有f(x)?f(x0)错误！ 为错误！未找到引用源。的一个极小值(极大值),x0称为极小值点(极大值点). 定义3 (极限的局部保号性) 若limf(x)?limg(x)错误！未找到引用源。,则存在x?x0x?x0 ?0,任意x?(x0?, x0?),使得f(x)?g(x)错误！未找到引用源。. 定义4 (函数单调性) 函数f(x)在定义域内,当x1?x2时,有 f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2) 则称f(x)单调递增(严格单调递增).当x1?x2时,有 f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2), 则称f(x)单调递减(严格单调递减). 定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸). 定义6(凹性) 若y?f(x)的一阶导数f?(x)在?a,b?上单调递增(或递减),则称f(x) 在?a,b?是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹). 2 微分中值定理普遍的证明方法 2.1 费马定理 定理1 设错误！未找到引用源。在区间K有定义.若错误！未找到引用源。是函数错误！未找到引用源。的极值点,且错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。处可导,则错误！未找到引用源。. 费马定理的几何意义:若将函数错误！未找到引用源。的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定理具有几何意义:对曲线错误！未找到引用源。上,若有一点(x0,f(x0)1存在切线,且错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。极值点.则这一点处的切线平行于x轴. 微分中值定理推广及其应用 目录 一、引言. 2 二、微分中值定理及其证明. 2 2.1罗尔定理. 3 2.2拉格朗日中值定理. 3 三、微分中值定理的应用. 4 3.1证明方程根的存在性. 4 3.2证明不等式. 5 3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题. 6 3.4求极限. 7 3.5用来证明函数恒为常数. 7 3.6中值点存在性的应用. 8 3.6.1一个中值点的情形. 8 3.6.2.2 泰勒公式法. 10 四小结：. 11 致谢. 12 参考文献：. 12 微分中值定理推广及其应用 【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。 【关键词】罗尔定理 拉格朗日中值定理 推广 应用 一、引言 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。 二、微分中值定理及其证明 为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、 拉格朗 日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具. 2.1罗尔定理 若函数f满足如下条件： （）f在闭区间?a,b?上连续； （）f在开区间?a,b?内可导； （）f?a?f?b?, 则在?a,b?内至少存在一点?使得f?0 罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线. 证明：因为f在?a,b?上连续，所以有最大值M与m表示，现分两种情况来讨论： （1）若m?M,则f在?a,b?上必为常数，从而结论显然成立. （2）若m?M,则因f?a?f?b?使得最大值M与最小值m至少有一个在?a,b?内某点?处取得，从而?是f的极值点，由条件f在开区间?a,b?内可导，f在点?处可导，故由费马定理推知f?0 注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立. 先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理. 2.2拉格朗日中值定理 若函数f满足如下条件： （）f在闭区间?a,b?上连续； f?b?f?a? （1） b?a 显然，特别当f?a?f?b?时为罗尔定理。 （）f在开区间?a,b?内可导； 则在?a,b?内至少存在一点?使得f? 这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形. 证明：做辅助函数 f?b?f?a?x?a?显然，F?a?F?b?(=0),且F在?a,b?上满足F?x?f?x?f?b?b?a 罗尔定理的另两个条件，故存在?(a,b)使F?f? 既得到所要证明的（1）式. f?b?f?a?0，移项b?a 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y?f?x?上至少存在一点p?,f?，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入辅助函数F?x?，正是曲线y?f?x?与直线 f?b?f?a?x?a?AB?y?f?a?. b?a? 三、微分中值定理的应用 3.1证明方程根的存在性 把要证明的方程转化为f?x?0的形式.对方程f?x?0用下述方法： （1） 根的存在定理若函数f?x?在区间?a,b?上连续，且f?a?f?b?0，则至少 存在一点?a,b?，f?0. （2） 若函数f?x?的原函数F?x?在?a,b?上满足罗尔定理的条件，则f?x?在?a,b? 内至少有一个零值点. （3） 若函数f?x?的原函数F?x?在x0处导数也存在，由费马定理知F?x0?0即 f?x0?0. （4） 若函数f?x?的原函数F?x?在x0处导数也存在，由费马定理知F?x0?0即 f?x0?0. （5） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理， 有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性. 例 若f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导?a?0?，证明在?a,b?内方程 222x?fb?fa?b?a