方程与方程组

第1课时一次方程 组 及其应用第2课时一元二次方程及其应用第3课时分式方程及其应用第4课时一元一次不等式 组 及其应用 第二单元方程 组 与不等式 组 第二单元方程 组 与不等式 组 第1课时一次方程 组 及其应用 中考考点清单考点 一元一次方程及其解法考点 二元一次方程 组 及其解法考点 一次方程 组 的实际应用 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 常考类型剖析类型一二元一次方程组的解法类型二一次方程 组 的实际应用 第二单元方程 组 与不等式 组 一元一次方程 一个 1 返回目录 考点 一元一次方程及其解法 第二单元方程 组 与不等式 组 一元一次方程的解法 等式的性质性质 等式两边都a加上 或减去 所得结果仍是式 即若a b 则a c b c 性质 等式两边都乘以 或除以 所得结果仍是等式 即若a b 则ac bc 同一个数 或 式 同一不为0的数 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 解一元一次方程的一般步骤 最小公倍数 系数化为1 合并同类项 移项 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 考点 二元一次方程 组 及其解法 二元一次方程含有 个未知数 并且含未知数的每一项都是 的方程 二元一次方程组把两个含有相同未知数的二元一次方程 或者一个二元一次方程 一个一元一次方程 联立起来组成的方程组 两 一次 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 二元一次方程 组 的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解 适合二元一次方程组中每一个方程的一组未知数的值 叫做这个方程组的一个解 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 4 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是 消去一个未知数 简称为 得到一个一元一次方程 代入消元法 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示 然后把它代入到另一个方程中 便得到了一个二元一次方程 加减消元法 如果两个方程中有一个未知数的系数相等 或互为相反数 那么把这两个方程相 或相加 否则 先把其中一个方程乘以适当的数 将所得方程与另一个方程相减 或相加 消元 链接例题 第二单元方程 组 与不等式 组 考点 一次方程 组 的实际应用 高频考点 列方程 组 解实际问题的步骤 审 即审清题意 分清题中的已知量 未知量 设 即设关键未知数 列 即找出适当等量关系 列方程 组 解 即解方程 组 验 即检验所解答案是否正确或是否符合题意 答 即规范作答 注意单位名称 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 一元一次方程 组 解实际问题的常见类型 工作时间 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 船速 水速度 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 类型一二元一次方程组的解法 例 13成都 解方程组 解 由 得 3x 6 x 2 把x 2代入 得 2 y 1 y 1 原方程组的解为 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 一题多解 由 得y 2x 5 把 代入 式中得x 2x 5 1 即3x 6 x 2 把x 2代入 式中 解得y 1 原方程组的解为 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 方法指导 对于二元一次方程组的解法 其主导思想为 消元转化 即将 二元 通过消元转化为 一元 方程来求解 一般地 方程组中若有一个未知数的系数是 或 可考虑用代入消元法 若有一个未知数的系数相同或互为相反数 可考虑用加减消元法 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 11永州 解方程组 解 2得 5y 15 y 3 把y 3代入 中 得x 5 原方程组的解为 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 类型二一次方程 组 的实际应用 例 13济南 某寄宿制学校有大 小两种类型的学生宿舍共50间 大宿舍每间可住8人 小宿舍每间可住6人 该校360名住宿生恰好住满50间宿舍 求大 小宿舍各有多少间 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 信息梳理 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 解 设大宿舍有x间 小宿舍有y间 根据题意 得 解方程组得答 大宿舍有30间 小宿舍有20间 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 一题多解 设大宿舍有x间 则小宿舍有 50 x 间 根据题意得8x 6 50 x 360 解得x 30 50 x 20 间 答 大宿舍有30间 小宿舍有20间 归纳总结 一般地若题目中涉及A与B两种事物 已知A与B一共有多少 及A是B的倍数 或A B之间存在倍数关系的 可用一次方程求解 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题2 12长沙 以 开放崛起 绿色发展 为主题的第七届 中博会 已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕 作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个 其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目个数多51个 求湖南省签订的境外 省外境内的投资合作项目分别有多少个 若境外 省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元 7 5亿元 求在这次 中博会 中 东道主湖南省共引进资金多少亿元 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 思路分析 1 本题中的相等关系有两个 境外与省外境内投资合作项目共348个 境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个 据此可列出二元一次方程组或一元一次方程来解决这个问题 2 由 1 中的两种项目可以直接计算出引进的总资金 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个 其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目个数多51个 求湖南省签订的境外 省外境内的投资合作项目分别有多少个 解 1 设境外投资合作项目个数为x个 省外境内投资合作项目为y个 根据题意得解得 2 133 6 215 7 5 2410 5 亿元 答 1 境外投资合作项目为133个 省外境内投资合作项目为215个 2 东道主湖南省共引进资金2410 5亿元 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 练习 资源与评价第15页例题4 例5 第2课时一元次二次方程及其应用 中考考点清单考点 一元二次方程及其解法考点 一元二次方程根的判别式及根与系数关系考点 一元二次方程的应用 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 常考类型剖析类型一一元二次方程的解法类型二一元二次方程根的判别式类型三一元二次方程根与系数的关系类型四一元二次方程的实际应用 第二单元方程 组 与不等式 组 一元二次方程及相关概念 如果一个方程通过移项可以使右边为 而左边是只含有 个未知数的 次多项式 这样的方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 a b c是常数且a 其中a b c分别叫作二次项系数 一次项系数 常数项 返回目录 考点 一元二次方程及其解法 第二单元方程 组 与不等式 组 一元二次方程的解法 例题链接 第二单元方程 组 与不等式 组 1 一元二次方程根的判别式 关于的一元二次方程的根的判别式为 0一元二次方程有两个不相等的实数根 0一元二次方程有两个相等的实数根 0一元二次方程没有实数根 例题链接 考点 一元二次方程根的判别式及根与系数关系 第二单元方程 组 与不等式 组 一元二次方程根与系数关系 设方程的两根分别为则如若是一元二次方程的两根 则 例题链接 第二单元方程 组 与不等式 组 考点3一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 组 解应用题步骤一样 即审 设 列 解 验 答六步 列一元二次方程解应用题中 经济类和面积类问题是常考内容 增长率等量关系 B 设a为原来量 m为平均增长率 n为增长次数 b为增长后的量 则 当m为平均下降率 n为下降次 b为下降后的量时 则有 例题链接 第二单元方程 组 与不等式 组 面积问题常见图形归纳如下 第一 如图 所示的矩形ABCD长为a 宽为b 空白部分都为 则阴影的面积表示为 第二 如图 所示的矩形ABCD长为 宽为 阴影道路的宽为 则空白部分的面积为 第三 如图 所示的矩形ABCD长为b 宽为a 阴影道路的宽为 则 块空白部分面积的和可以转化为 图 图 图 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 类型一一元二次方程的解法 例 解方程 解 则或所以 点评与拓展 解一元二次方程有四种方法 一般地 当方程左边是一个完全平方形式 右边是零时 考虑直接开平方法 当方程左边多项式可因式分解 右边为零 或等号两边含有未知数的公共因式时 可考虑用因式分解法 当方程既不易用直接开方法 又不易用因式分解时 可选用公式法 配方法一般不选取 除非有特殊说明时再应用 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 例2 13十堰 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 则a的值是 4 4 1 1 解析 根据题意得 解得a 1 类型二一元二次方程根的判别式 D 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 12岳阳 若关于 的一元二次方程有实数根 则k的取值范围是 解析 根据一元二次方程有实根 则需满足两个条件 即由此可得 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 类型三一元二次方程根与系数的关系 例3 13攀枝花 设是方程的两个实数根 则的值为 解析 由是方程的两个实数根 由根与系数的关系知 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 归纳总结 解决关于一元二次方程的代数式求值问题时 常用到根与系数的关系 常见的变形形式有 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题2 13荆州 已知关于的方程 求证 无论 为何实数 方程总有实数根 若此方程有两个实数根且求k的值 思路分析 确定判别式的范围即可得出结论 根据根与系数的关系表示出继而根据题意可得出方程 解出即可 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 证明 当时 方程是一元一次方程 有实数根 当时 方程是一元二次方程 无论 为何实数 方程总有实数根 解 此方程有两个实数根 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 湖南中考面对面 类型四一元二次方程的实际应用例 13昆明 如图 在长为100米 宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路 剩余部分进行绿化 要使绿化面积为7644 则道路的宽应为多少米设道路的宽为x米 则可列方程为 A B C D 例4题图 D 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 解析 绿化的面积是7644 也就是图中空白的四个矩形的面积之和 如果我们把四个小矩形重新拼在一起 那么又会形成一个新的矩形 而新的矩形的长为米 宽为米 又因为矩形的面积为长乘以宽 所以根据题意可列方程 易错警示 求面积的时候不要用大矩形的面积减去道路的面积 这样会比较复杂且选项中没有这个等式的方程 即使做对也不易选出正确的答案 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题3 13广东 雅安地震牵动着全国人民的心 某单位开展了 一方有难 八方支援 赈灾捐款活动 第一天收到捐款10000元 第三天收到捐款12100元 如果第二天 第三天收到捐款的增长率相同 求捐款增长率 按照 中收到捐款的增长速度 第四天该单位能收到多少捐款 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 信息梳理 设捐款增长率为 信息整理如下 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 解 设捐款增长率为答 捐款增长率为10 12100 0 1 13310 元 答 第四天该单位能收到13310元捐款 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 第3课时分式方程及其应用 中考考点清单考点 分式方程的概念及其解法考点 分式方程的应用 常考类型剖析类型一解分式方程类型二分式方程的实际应用 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 分式方程的概念分母中含有 的方程 叫做分式方程 分式方程的解法 解分式方程的步骤 考点1分式方程的概念及其解法 未知数 例题链接 第二单元方程 组 与不等式 组 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 增根 使分式方程的分母为零的根 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 用分式方程解实际问题的一般步骤 设未知数 找等量关系 列分式方程 解分式方程 检验 一验分式方程 二验实际问题 答 考点2分式方程的应用 例题链接 第二单元方程 组 与不等式 组 用分式方程解实际问题的一般类型分式方程的应用题主要涉及工程问题 工作量问题 行程问题等 每个问题中涉及到三个量的关系 只有这种关系的情境 如果工作总量或路程是已知条件 另外的两个量又分别具有某种等量关系 常可以建立分式方程模型来解决 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 例 13无锡 方程的解为 解析 分式方程两边同乘以便能转化为一元一次方程 解之得 代入最简公分母得有意义 方法规律 解分式方程的基本思想是 转化思想 方程两边都乘以最简公分母 把分式方程转化为整式方程求解 解分式方程一定注意要代入最简公分母验根 类型一解分式方程 C 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 13茂名 解分式方程 解 经检验是分式方程的解 常考类型剖析 返回考点 例 13湘潭 2013年 月20日8时 四川省芦山县发生7 0级地震 某市派出抢险救灾工程队赴芦山支援 工程队承担了2400米道路抢修任务 为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区 实际施工速度比原计划每小时多修40米 结果提前2小时完成 求原计划每小时抢修道路多少米 类型二分式方程的实际应用 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 信息琉理 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 解 设原计划每小时抢修米 由题意得 解得 经检验是原分式方程的解 答 原计划每小时抢修道路200米 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 13深圳 小朱要到距家1500米的学校上学 一天 小朱出发10分钟后 小朱的爸爸立即去追小朱 且在距离学校60米的地方追上了他 已知爸爸比小朱的速度快100米 分 求小朱的速度 若设小朱速度是米 分 则根据题意所列方程正确的是 A B C D B 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 解析 小朱与爸爸都走了1500 60 1440 小朱速度为米 分 则爸爸速度为米 分 小朱多用时10分钟 可列方程为 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 第4课时一元一次不等式 组 及其应用 中考考点清单考点 不等式的概念及其性质考点 一元一次不等式及其解法考点 一元一次不等式组及其解集考点 一元一次不等式 组 的应用 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 常考类型剖析类型一解一元一次不等式类型二解不等式组及在数轴上表示解集类型三不等式 组 的实际应用 第二单元方程 组 与不等式 组 考点 不等式的概念及其性质 返回目录 不等式 用不等号连接起来的式子 第二单元方程 组 与不等式 组 不等式的性质 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 一元一次不等式只含有 个未知数 并且未知数的次数都是 的不等式 叫做一元一次不等式 一元一次不等式的一般形式 解一元一次不等式的一般步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 1 例题链接 考点2一元一次不等式及其解法 第二单元方程 组 与不等式 组 一元一次不等式的解集表示 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 湖南中考面对面 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 考点 一元一次不等式组及其解集 一元一次不等式组由几个含有相同未知数的一元一次不等式组合在一起 叫做一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的 叫做这个不等式组的解集 解一元一次不等式组的步骤 分别求出不等式组中各个不等式的解集 利用数轴求出这些解集的公共部分 即是这个不等式的解集 公共部分 例题链接 第二单元方程 组 与不等式 组 一元一次不等式组的解集表示 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 求不等式 组 的整数解的方法 先要求出各不等式的解集 找出它们的公共部分 即求出不等式组的解集 然后再将其解集正确表示在数轴上 如图 因为解集的端点值都是空心圆圈 即端点值取不到 其整数解只能是 和 两个 如图 因为解集的端点值都是实心圆点 即端点在解集范围内 故其整数解应包括端点值 即 图 图 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 如图 虽然端点值在解集范围内 但因为不是整数 其整数解不可从端点来取 而要从其解集中与最接近的整数开始取 故解集的整数解有 和 图 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 考点 一元一次不等式 组 的应用 例题链接 列不等式解决实际问题的常考类型及基本思路列不等式 组 解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系 如最大利润 最优方案等 对于此类问题 一般解法与思路是 第二单元方程 组 与不等式 组 通过阅读并理解题意 找出题中的不等关系词 如题设中提到的 不超过 至少 等 根据不等关系列出不等式或不等式组 求解所列不等式 组 得出其解集 确定方案数 即确定不等式 组 的整数解个 确定最优方案 可有两种方法 其一是直接用题设数据 计算每种方案的费用 其二是借助一次函数的增减性计算 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 关键词解决不等式实际应用问题时常用关键词与不等号的对比表 返回目录 第二单元方程 组 与不等式 组 类型一解一元一次不等式 例 不等式的解集是 A B C D 解析 移项得系数化为 得 D 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 在数轴上表示不等式x 5 1的解集 正确的是 解析 不等式x 5 1 解得x 4 表示在数轴上如图所示 变式题1解图 B 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 类型二解不等式组及在数轴上表示解集 例2 13遂宁 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来 例2题图 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 解 由得 由得 这个不等式的解集是将其解集表示在数轴上 如图所示 例2题解图 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 方法总结 解一元一次不等式组的步骤 求出这个不等式组中各个不等式的解集 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分 即求出了这个不等式组的解集 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 13河南 不等式组的最小整数解为 1 0 解析 本题考查了不等式组的解法和特殊解的确定 先解不等式组中每一个不等式的解集 再确定不等式组的解集 最后确定其最小整数解 解得如图 所以不等式组的解集为整数解为 1 最小整数解为 变式题2解图 B 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 变式题 12湘西州 解不等式组 解 由 得由 得故此不等式组的解集为 返回考点 第二单元方程 组 与不等式 组 例 13贵港 在