10+材料力学第六章弯曲变形

工程力学EngineeringMechanics 第六章弯曲变形 6 挠度和转角 6 挠曲线的近似微分方程 6 用积分法求梁的变形 6 5梁的刚度校核 6 4用叠加法求梁的变形 1 梁的挠度曲线 梁轴线变形后所形成的光滑而连续的曲线 2 梁的变形可以用以下两个位移度量 挠度 梁横截面形心的竖向位移y 向下的挠度为正 转角 梁横截面绕中性轴转动的角度q 顺时针转动为正 以图示悬臂梁为例 6 1挠度和转角 转角方程 小变形下 转角与挠度的关系 tan f x 简支梁 实例 车床主轴 变形过大 会使齿轮啮合不良 轴与轴承产生非均匀磨损 产生噪声 降低寿命 影响加工精度 吊车梁 变形过大会出现小车爬坡现象 引起振动 3 计算变形的目的 刚度校核 解超静定梁 调整施工措施 目录 6 2挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时 得到 忽略剪力对变形的影响 由数学知识可知 略去高阶小量 得 所以 式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定 由弯矩的正负号规定可得 弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反 所以挠曲线 小挠度 的近似微分方程为 M为正 挠曲线向下凸 二阶导数为负 M为负 挠曲线向上凸 二阶导数为正 由上式进行积分 就可以求出梁横截面的转角和挠度 式中C 为积分常数 由梁的边界 变形连续条件确定 6 3用积分法求梁的变形 1 积分法 2 支承条件与连续条件 1 支承条件 2 连续条件 挠曲线是一条光滑而连续的曲线 X 0 解 建立坐标系如图所示 x处弯矩方程为 例1图示B端作用集中力 的悬臂梁 求其挠曲线方程 目录 x FAy F M Fl M x 例 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程 解 1 求支反力 6 4用叠加法求梁的变形 从上节可知 梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系 于是 可以用叠加法来计算梁的变形 几个荷载共同作用下梁任意横截面上的变形 等于每个荷载单独作用时该截面的变形的叠加 即梁在几个荷载同时作用时 其任一截面处的转角或挠度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角或挠度的代数和 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得 例3图示悬臂梁 其弯曲刚度EI为常数 求B点转角和挠度 1 在F作用下 2 在q作用下 3 在F和q共同作用下 6 5梁的刚度校核 在工程中 对梁的设计除满足强度条件外 梁的位移也需加以控制 从而保证其正常工作 在土建工程中 通常对梁的挠度加以控制 例如 挠度与梁的跨长的比值 梁的刚度条件为 通常情况下 强度条件满足 刚度条件一般也满足 但是 当位移限制很严 或按强度条件所选截面过于单薄时 刚度条件也起控制作用 许用挠度 许用转角 例4一简支梁荷载如图示 已知材料的许用应力 160MPa 许用挠度 y L 500 弹性模量E 200GPa 试选择工字钢的型号 解 1 作出梁的弯矩图 2 根据弯曲正应力强度条件 要求 3 梁的刚度条件为 解得 由型钢表中查得 22a工字钢的弯曲截面系数Wz 3 09 l0 4m3 惯性矩Iz 3 40 10 5m4 可见 选择 22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求 提高梁刚度的措施 2 调整跨长和改变结构 增加支承使跨长缩短 如将简支梁改为外伸梁等 1 增大梁的弯曲刚度EI 主要增大截面惯性矩I值 在截面面积不变的情况下 采用适当形状 尽量使面积分布在距中性轴较远的地方 例如 工字形 箱形等 3 改善荷载的作用方式 如将集中载荷变为分布载荷