3微积分定理与基本计算

引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数 .一微积分学基本定理： 1. 微积分学基本定理： 定理 1（ 微积分学基本定理 ）若函数则面积函数 在上可导，且 =. 即当时, 面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是的一个原函数 .证:连续函数必有原函数.2. Newton Leibniz 公式：定理 2 （ N L公式 ）( 证 )例1 ; ; 例2 .例3 . ( 与1 例3 联系 )例4 设 但， 证明 0. 证明分析: 证明 . 设 , 只要证明 . 为此证明: ） ( 只要)； ） 但 不是常值函数 (只要), ） 又 . ( 证 )例5 证明 ( 利用0,1上的不等式 ) 二定积分换元法： 定理3 设函数满足条件： , 且 ; 在上有连续的导函数.则 . （ 证 ） 例6 . ( 1P305 E4 ) 例7 . ( 1P305 E5 )例8 计算 .该例为技巧积分.例9 . 该例亦为技巧积分.例10 已知 , 求 例11 设函数连续且有求积分 例12 设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则 ， （. ）例13 三. 分部积分公式: 定理4 ( 分部积分公式 )例14 例15 计算 . 解 = ；解得 直接求得 ， . 于是, 当为偶数时, 有 ;当为奇数时, 有 .习 题 课 一 积分不等式：1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1 证明不等式 .证 注意在区间 0 , 1 上有 , 例2 证明不等式 . 证 考虑函数, .易见对任何, 在区间 上和均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而 , .因此有 .取 , . 在区间仿以上讨论, 有 . 而 ， .综上 , 有不等式 .某些不等式的积分推广:原理: 设函数和在区间 上可积. 为区间 的等分分法, . 若对任何和, 均有 , 即得 .令, 注意到函数和在区间 上可积, 即得积分不等式 .倘若函数和连续 , 还可由 .例3 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy不等式 ): 设函数和在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式 .证法一 ( 由Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅1 设 和为两组实数, 则有 . ) 设为区间 的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有 ,两端同乘以 , 有 ,令, 注意到函数、和在区间 上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式 .证法二 （ 用判别式法 ） 对任何实数，有 ， , 即 对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 ,即 . 例4 且 . 证明不等式 . 证 取. 对函数 和应用Schwarz 不等式, 即得所证 .例5 设函数在区间 0 , 1 上可积 . 试证明有不等式 .证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 , 有不等式 .设为区间 的等分分法. 由上述不等式 , 有 . 令, 注意到函数和在区间 0 , 1 上的可积性以及函数 和的连续性，就有积分不等式 .仿该例, 可得到均值不等式、 二. 面积函数的导数 : 例6 求 和 例7 求和 例8 求 .例9 设 时函数连续且 . 求. (=)例10 设函数连续且 . 求和.解 令. 两端求导, = . 例11 设. =. 试证明 : =.证 =, =. 例12 设函数在区间上连续且0. .试证明: 函数在区间内严格递增.证 = , 而.0 , 在内 ，又连续 ， ，在区间内0 . 因此在区间内严格递增. 三. 含有变限积分的未定型极限:例13 求极限 .四. 定积分的计算 : 例 14 计算积分 . 例15 计算积分=.解 时, =; 时, =; 时, =.因此, 例16 利用积分 的值 ( 参阅4例15 或1P306 E8 ), 计算积分 .解 . ,而 , .因此， 例17 , 求 ( 2) 4P215 E62 例18 设是区间 上连续的偶函数 . 试证明 :是 上的奇函数 .证法 一 .证法 二 注意到 , 有 =. 五. 利用定积分求和式极限 : 原理: 例19 求极限 . 3 P163 E13 . 与1例2连系.例20 求极限.解 =.由函数 在区间 0 , 1 上可积 , 有=.例21 求极限. 3P167 E19解 =. , .因此 ,