2008年高考数学(理)试题及答案(四川卷)

20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数数 学学 理工农医类 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 卷第 3 至第 4 页 全卷满 分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的座位号 姓名 并认真核对答题卡上所粘贴的条形码 中 座位号 姓名 科类 与本人座位号 姓名 科类是否一致 2 答第 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干 净后 再选涂其他答案标号 3 答第 卷时 必须用 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写 在试题卷上作答无效 4 考试结束 监考员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件 A B 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 P A BP AP B 如果事件在一次实验中发生的概率是 那么 Ap 3 4 3 VR 次独立重复实验中事件恰好发生次的概率 其中 R 表示球的半径nAk 1 0 1 2 n k kk nn P kC ppkn 第第 卷卷 一 选择题 设集合 则 1 2 3 4 5 1 2 3 2 3 4UAB U AB 2 3 1 4 5 4 5 1 5 复数 2 2 1ii 4 44i 4i 2 tancotcosxxx tan xsin xcosxcot x 直线绕原点逆时针旋转 再向右平移 个单位 所得到的直线为 3yx 0 90 11 33 yx 1 1 3 yx 33yx 1 1 3 yx 设 则的取值范围是 02 sin3cos 若 3 2 3 4 33 3 32 从甲 乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动 要求甲 乙中至少有 1 人参加 则不同的挑选方法共 有 种 种 种 种70112140168 7 已知等比数列中 则其前 3 项的和的取值范围是 na 2 1a 3 S 1 01 3 13 设是球半径上的两点 且 分别过作垂直于的平面 截球面 M NOOPNPMNOM N M OOP 得三个圆 则这三个圆的面积之比为 3 5 6 3 6 8 5 7 9 5 8 9 直线平面 经过平面外一点与都成角的直线有且只有 l A l 0 30 条 条 条 条 10 设 其中 则是偶函数的充要条件是 sinf xx 0 f x 01f 00f 01f 00f 11 设定义在上的函数满足 若 则 R f x 213f xf x 12f 99f 132 13 2 2 13 12 已知抛物线的焦点为 准线与轴的交点为 点在上且 则 2 8C yx FxKAC2AKAF 的面积为 AFK 481632 第第 卷卷 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 展开式中的系数为 34 121xx 2 x 14 已知直线与圆 则上各点到 距离的最小值为 40l xy 22 112Cxy Cl 15 已知正四棱柱的对角线的长为 且对角线与底面所成角的余弦值为 则该正四棱柱的体积等于6 3 3 16 设等差数列的前项和为 若 则的最大值为 n an n S 45 10 15SS 4 a 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 求函数的最大值与最小值 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 18 本小题满分 12 分 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 购买乙种商品的概率为 且购买甲种商品与购0 50 6 买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 求进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种的概率 记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲 乙两种商品中的一种的人数 求的分布列及期望 19 本小题满分 12 分 如图 平面平面 四边形与都是直角梯形 ABEF ABCDABEFABCD 0 90 BADFABBC 1 2 ADBE 1 2 AF 证明 四点共面 C D F E 设 求二面角的大小 ABBCBE AEDB 20 本小题满分 12 分 设数列的前项和为 已知 n an n S 21 n nn babS 证明 当时 是等比数列 2b 1 2n n an 求的同项公式 n a 21 本小题满分 12 分 设椭圆的左右焦点分别为 离心率 右准线为 是 上的两 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 2 2 e l M Nl 个动点 12 0FM F N 若 求的值 12 2 5FMF N a b 证明 当取最小值时 与共线 MN 12 FMF N 12 FF 22 本小题满分 14 分 已知是函数的一个极值点 3x 2 ln 110f xaxxx 求 a 求函数的单调区间 f x 若直线与函数的图象有 3 个交点 求的取值范围 yb yf x b 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数学参考答案数学参考答案 理工农医类 理工农医类 第第 卷卷 一 选择题 B A D A C C 7 D D B 10 D 11 C 12 B 第第 卷卷 二 填空题 13 14 15 16 6 224 三 解答题 17 解 解 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 22 72sin24cos1 cosxxx 22 72sin24cossinxxx 2 72sin2sin 2xx 2 1 sin26x 由于函数在中的最大值为 2 16zu 11 2 max 1 1610z 最小值为 2 min 1 166z 故当时取得最大值 当时取得最小值sin21x y10sin21x y6 18 解 解 记表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲种商品 A 记表示事件 进入商场的 1 位顾客购买乙种商品 B 记表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种 C 记表示事件 进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种 D CA BA B P CP A BA B P A BP A B P AP BP AP B 0 5 0 40 5 0 6 0 5 DA B P DP A B P AP B 0 5 0 4 0 2 10 8P DP D 故的分布列 3 0 8B 3 00 20 008P 12 3 10 8 0 20 096PC 22 3 20 80 20 384PC 3 30 80 512P 所以3 0 82 4E 19 解法一 解法一 延长交的延长线于点 由得DCABGBC 1 2 AD 1 2 GBGCBC GAGDAD 延长交的延长线于FEAB G 同理可得 1 2 G EG BBE G FG AAF 故 即与重合 G BGB G AGA G G 因此直线相交于点 即四点共面 CDEF G C D F E 设 则 1AB 1BCBE 2AD 取中点 则 又由已知得 平面AEMBMAE AD ABEF 故 与平面内两相交直线都垂直 ADBM BMADEADAE 所以平面 作 垂足为 连结BM ADEMNDE NBN 由三垂线定理知为二面角的平面角 BNEDBNM AEDB 213 223 ADAE BMMN DE 故 6 tan 2 BM BNM MN 所以二面角的大小AEDB 6 arctan 2 解法二 解法二 由平面平面 得平面 以为坐标原点 ABEF ABCDAFAB FA ABCDA 射线为轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系ABxAxyz 设 则 ABa BCb BEc 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2B aC a bE acDbFc 0 0 2 2ECbcFDbc 故 从而由点 得 1 2 ECFD EFD ECFD 故四点共面 C D F E 设 则 1AB 1BCBE 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1BCDE 在上取点 使 则DEM5DMME 5 1 5 6 3 6 M 从而 115 636 MB 又 1 2 1 0 DEMB DEMBDE 在上取点 使 则DEN2DNNE 2 2 2 3 3 3 N 从而 222 0 333 NANA DENADE 故与的夹角等于二面角的平面角 MB NA ADEB 10 cos 5 MB NA MB NA MBNA 所以二面角的大小ADEB 10 arccos 5 20 解 解 由题意知 且 1 2a 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 当时 由 知2b 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 所以是首项为 1 公比为 2 的等比数列 1 1 1 210 n a 1 2n n an 当时 由 知 即2b 11 22 nn n an 1 1 2n n an 当时 由由 得2b 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 21 解 解 由与 得 222 abc 2 2 a e c 22 2ab 的方程为 12 22 00 22 FaFa l2xa 设 12 22MayNay 则 1122 3 22 22 FMayF Nay 由得 12 0FM F N 2 12 3 0 2 y ya 由 得 12 2 5FMF N 2 2 1 3 2 2 5 2 ay 2 2 2 2 2 5 2 ay 由 三式 消去 并求得 12 y y 2 4a 故 2 2 2 2 ab 22 222 121212121212 22246MNyyyyy yy yy yy ya 当且仅当或时 取最小值 12 6 2 yya 21 6 2 yya MN6a 此时 12121212 3 22 2 2 2 2 02 22 FMF Nayaya yyaFF 故与共线 12 FMF N 12 FF 22 解 解 因为 210 1 a fxx x 所以 36 100 4 a f 因此16a 由 知 2 16ln 110 1 f xxxx x 2 243 1 xx fx x 当时 1 13 x 0fx 当时 1 3x 0fx 所以的单调增区间是 f x 1 1 3