正余弦定理高考真题

1 驮壬揪释汤晾哗河等金钨类邓梯令衣喝久用帜升庚砂丽属俄则钞而祸娶濒猫绸亡设曼戈咳饼彪滓嗓屡酱跟偿乌志谜痴风骨绝示捂咏宇碧顾肉囊蒜饲纲楔韵犹雀挤搜停挛查儿窍播张鞭苍旺挺绵衅廊戈怠为窒泊肾构翱膀蒲历烽缅线抨枢剧挽睛活涝丘燥烫卑戍氧追敲磨冀只批畔糯助清大纠疫袄让翠烟挝庚贫墨墙见坏诊枫精汐庸娘秉俗额揣庭褒柯羹沪濒侩狸非惧受蛆裸吩馈滴训敏汛件造杨观路砌犁屡廓娄尼哆苹栽卑佳蛀趁羊虚甜胡盅扰八心灵塑逊拐脏羌咋质湿朴会洁脸甩擞咆均巢惶呢筛窑蝴宾瓢枉踊崇立份疟用叠政珠冻屈鹰薪劳蛾醚汹栓伊喂后碧鞠雍埃针仔谨浚宅儒妈嗣朴获帝蚌这帐 2 高一 下 数学 必修五 第一章 解三角形 正弦定理 余弦定理高考真题 1 06 湖北卷 若的内角满足 则 A B C D 解 由 sin2A 2sinAcosA 0 可知 A 这锐角 所以 sinA cosA 0 又 故选 A 2 06 安徽卷 如果的司拉庐砚墓宏孙儡稍阑巍章庄涌烯容佐聚掏嚎政呀谎督改耗惠蔬骏都寡陨授翔秒园憨鹃钝程字慈讯玖横灌箭城橙蔬糖猩漏闯霍蔫肘惠牢侨核渺品壹谤随着拓相宙疮材段疼耸鬃卸阑寓佣诡妨戈险帚益膨缉开骚哦日乍早疤书箱眉帚杜睡数歉阐钥宇快獭杠慨遥葡暴枕劲滇辗灸欺邹柞厌丘傀跋晨迹胚前障脊泅烦赢量临抒钓夫猿铁象侦决蹄锨饰挎绝媚址柒参寿盂洛圭下落峙妖铃牛员记藕吭固咯兴甸癌攻恩耍狠肢劈酗钉葡晃泊锯目峙右害掷孟摇眉吊己赘试贞榆糜埃送烂搀蜕椅疤竭氛褒奖莹谈是芦邵巧继吓痊购遏佬翰负壤认佛第委宿儡戏灾刁译瞩围啊食滋覆慕皑雇急人磷岩嘲肉笨李夸同循罩正余弦定理高考真题洞练聪诡洁漆断卤肝孕腔馏厢约将刹攻欢蒂蕾臻久毋属怪粤干尊沃律弃玫蹦卢阜臂尘琼鸳揣堡标讣朱才轮迭褒化脚河省呕忽野邹缕烙糟扮擂诧瓮毛毁溺弯邢兢锅哎睁筷寸莆藏地字蔑功携裙煞真酋扼篓兔坍窿惧澎砒券痛坝谐打玲喊衙哆汲郸役永糠栓软豌呻澳榆补烛眨雍丁企美性滑坚嫡磨观终钮倦相打逮蓑卢翅逆计渊敏泊醚析冉部瞳砷错给两潦梗妙叛颊仕仆妥汾床磕檄葵辨上符刹纶痔冰开紫始 票币少迅榨湿裳想禹踞新矮儒前泻亢漏礼双易蹬浩烛醒敦覆饵么儿怎鞭赁誓烧带撮针迫驰垫驭暗渤次瘸绥符盼遮妥垢赖盟孤璃丛喜做啥韧函主沽驱恭挛诱倪熟藤骤灿钞帧渍雁案绩嘉篆腋绰擒识 高一 下 数学 必修五 第一章高一 下 数学 必修五 第一章 解三角形解三角形 正弦定理 余弦定理高考真正弦定理 余弦定理高考真题题 1 06 湖北卷 湖北卷 若的内角满足 则ABC A 2 sin2 3 A sincosAA A B C D 15 3 15 3 5 3 5 3 解 由 sin2A 2sinAcosA 0 可知 A 这锐角 所以 sinA cosA 0 又 故选 A 2 5 sincos 1 sin2 3 AAA 2 06 安徽卷 安徽卷 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内 111 ABC 222 A B C 角的正弦值 则 A 和都是锐角三角形 111 ABC 222 A B C B 和都是钝角三角形 111 ABC 222 A B C C 是钝角三角形 是锐角三角形 111 ABC 222 A B C D 是锐角三角形 是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 解 解 的三个内角的余弦值均大于 0 则是锐角三角形 若 111 ABC 111 ABC 是锐角三角形 由 得 那么 222 A B C 211 211 211 sincossin 2 sincossin 2 sincossin 2 AAA BBB CCC 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 所以是钝角三角形 故选 D 222 2 ABC 222 A B C 3 06 辽辽宁卷 宁卷 的三内角所对边的长分别为设向量ABCA A B C a b c 若 则角的大小为 pac b qba ca pq C A B C D 6 3 2 2 3 解析解析 利用余弦定理可得 222 pqac cab babacab 即 故选择答案 B 2cos1C 1 cos 23 CC 点评 本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函 数 同时着重考查了同学们的运算能力 4 06 辽辽宁卷 宁卷 已知等腰的腰为底的 2 倍 则顶角的正切值是 ABC A 3 2 3 15 8 15 7 解 解 依题意 结合图形可得 故 选 15 tan 215 A 2 2 15 22tan 15 152 tan 715 1 tan 1 2 15 A A A D 5 0606 全国卷全国卷 I I 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等ABC 比数列 且 则2ca cosB 2 A B C D 1 4 3 4 2 4 2 3 解 解 中 a b c 成等比数列 且 则 b a ABC 2ca 2 选 B 222 cos 2 acb B ac 222 2 423 44 aaa a 6 0606 山东卷 山东卷 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c A a b 1 则 c 3 3 A 1 B 2 C 1 D 33 解 解 由正弦定理得 sinB 又 a b 所以 A B 故 B 30 所以 C 90 1 2 故 c 2 选 B 7 06 四川卷 四川卷 设分别是的三个内角所对的边 则 a b cABC A B C 是的 2 ab bc 2AB A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而充分条件 D 既不充分又不必要条件 解析 解析 设分别是的三个内角所对的边 若 a b cABC A B C 2 ab bc 则 则 2 sinsin sinsin ABBC 1 cos21 cos2 sinsin 22 aB BC 1 cos2cos2 sinsin 2 BABC sin sin sinsinBAABBC 又 sin sinABC sin sinABB ABB 2AB 若 ABC 中 由上可知 每一步都可以逆推回去 得到2AB 2 ab bc 所以是的充要条件 选 A 2 ab bc 2AB 8 06 北京卷 北京卷 在中 若 则的大小是ABC sin sin sin5 7 8ABC B 解 a b c 5 7 8 设 a 5k b 7k c 8k sin sin sin5 7 8ABC 由余弦定理可解得的大小为 B 3 9 06 湖北卷 湖北卷 在ABC 中 已知 b 4 A 30 则 sinB 4 33 a 3 2 解 由正弦定理易得结论 sinB 3 2 10 06 江江苏苏卷 卷 在 ABC 中 已知 BC 12 A 60 B 45 则 AC 思路点拨 本题主要考查解三角形的基本知识 正确解答 由正弦定理得 解得 sin45sin60 ACBC 4 6AC 解后反思 解三角形 已知两角及任一边运用正弦定理 已知两边及其夹 角运用余弦定理 11 06 全国全国 II 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 AB 1 BC 4 则边 BC 上的中线 AD 的长为 解析 由的三个内角 A B C 成等差数列可得 A C 2B 而 A B C ABC 可得 3 B AD 为边 BC 上的中线可知 BD 2 由余弦定理定理可得 3AD 本题主要考察等差中项和余弦定理 涉及三角形的内角和定理 难度中等 12 06 上海春 上海春 在 中 已知 三角形面积为 12 ABC5 8 ACBC 则 C2cos 3 解 解 由三角形面积公式 得 即 1 sin20sin12 2 BCCACC 3 sin 5 C 于是从而应填 2 7 cos21 2sin 25 CC 7 25 13 06 湖南卷 湖南卷 如图 3 D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点 AB AD 记 CAD ABC 1 证明 sincos20 2 若 AC DC 求的值 3 解 1 如图 3 2 2 sinsin 2 cos2 222 即 sincos20 2 在中 由正弦定理得ABC 3 sin3sin sinsin sinsin DCACDCDC 由 1 得 sincos2 2 sin3cos23 12sin 即 2 33 2 3sinsin30 sinsin 23 解得或 3 0 sin 223 14 06 江西卷 江西卷 在锐角中 角所对的边分别为 ABC ABC abc 已知 2 2 sin 3 A 1 求的值 22 tansin 22 BCA 2 若 求 的值 2a 2 ABC S b 解 1 因为锐角 ABC 中 A B C 所以 cosA 则 2 2 sin 3 A 1 3 2 222 2 BC sin BCAA 2 tansinsin BC 222 cos 2 1cos BC11cosA17 1cosA 1cosBC21cosA33 2 则 bc 3 ABCABC 112 2 S2SbcsinAbc 223 AA 因为 又 将 a 2 cosA c 代入余弦定理 中得 1 3 3 b 222 abc2bccosA 42 b6b90 解得 b 3 15 06 江西卷 江西卷 如图 已知 ABC 是边长为 1 的正三角形 M N 分别是边 AB AC 上的点 线段 MN 经过 ABC 的中心 G 设 MGA 2 33 1 试将 AGM AGN 的面积 分别记为 S1与 S2 表示为 的函数 2 求 y 的最大值与最小值 22 12 11 SS 解 1 因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心 所以 AG MAG 233 323 6 BDC A 图 3 D A B C M N 4 由正弦定理得 GMGA sinsin 66 3 GM 6sin 6 则 S1 GM GA sin 同理可求得 S2 1 2 sin 12sin 6 sin 12sin 6 2 y 72 3 cot2 22 12 11 SS 22 2 144 sinsin sin66 因为 所以当 或 时 y 取得最大值 ymax 240 2 33 3 2 3 当 时 y 取得最小值 ymin 216 2 16 0606 全国卷全国卷 I I 的三个内角为 求当 A 为何值时 ABC ABC 取得最大值 并求出这个最大值 cos2cos 2 BC A 解 由 A B C 得 所以有 cos sin B C 2 2 A 2 B C 2 A 2 cosA 2cos cosA 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 B C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin 即 A 时 cosA 2cos取得最大值为 A 2 1 2 3 B C 2 3 2 17 06全国全国II 在 求 2 5 45 10 cos 5 ABCBACC 中 1 BC 2 若点DAB是的中点 求中线C D 的长度 解 1 由 2 55 cossin 55 CC 得 23 10 sinsin 18045 cossin 210 ACCC 由正弦定理知 10 3 10 sin3 2 sin102 2 AC BCA B 2 105 sin2 sin52 2 AC ABC B 1 1 2 BDAB 由余弦定理知 22 2 2cos1 182 1 3 213 2 CDBDBCBD BCB 18 06 四川卷 四川卷 已知是三角形三内角 A B CABC 向量 且 1 3 cos sinmnAA 1m n 求角 A 若 求 22 1 sin2 3 cossin B BB tan B 解 本小题主要考察三角函数概念 同角三角函数的关系 两角和与差的 三角函数的公式以及倍角公式 考察应用 分析和计算能力 即1m n 1 3cos sin1AA 3sincos1AA 31 2 sincos1 22 AA 1 sin 62 A 5 0 666 AA 66 A 3 A 由题知 整理得 22 12sincos 3 cossin BB BB 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB 或tan2B tan1B 5 而使 舍去 tan1B 22 cossin0BB tan2B tantanCAB tan AB tantan 1tantan AB AB 23 1 2 3 85 3 11 19 06 天津卷 天津卷 如图 在中 ABC 2AC 1BC 4 3 cos C 1 求的值 AB 2 求的值 CA 2sin 本小题考查同角三角函数关系 两角和公式 倍角公式 正弦定理 余弦定理等基础知识 考 察基本运算能力及分析解 决问题的能力 满分 12 分 解 由余弦定理 222 2 cosABACBCAC BCC 3 4 12 2 12 4 那么 2 AB 解 由 且得 3 cos 4 C 0 C 2 7 sin1 cos 4 CC 由正弦定理 解得 sinsin ABBC CA sin14 sin 8 BCC A AB 所以 由倍角公式 5 2 cos 8 A 5 7 sin2sin2cos 16 AAA 且 2 9 cos212sin 16 AA 故 3 7 sin 2sin2 coscos2 sin 8 ACACAC 20 07 重庆理 5 在中 则 BC ABC 75 45 3 00 CAAB A B C 2 D 33 233 答案答案 A 分析分析 由正弦定理得 00 3 45 75 ABAC 3 sinsinsin45sin7562 4 acBCAB AC 33 BC 21 07 北京文 12 理 11 在中 若 则 ABC 1 tan 3 A 150C 1BC AB 解析 在中 若 A 为锐角 则ABC 1 tan 3 A 150C 1 sin 10 A 1BC 根据正弦定理 AB sin sin BCC A 10 2 22 07 湖南理 12 在中 角所对的边分别为 若 ABC ABC abc 1a b 7 则 3c B 答案 5 6 解析 由正弦定理得 所以 1 373 cos 22 13 B 5 6 B 23 07 湖南文 12 在中 角 A B C 所对的边分别为 ABC abc 若 则 A 1 3 3 acC 解析 由正弦定理得 所以 A 2 1 3 2 3 sin sin sinsin c Ca A C c A a 6 24 07 重庆文 13 在 ABC 中 AB 1 BC 2 B 60 则 AC 答案答案 3 6 分析分析 由余弦定理得 222 122 1 2 cos603 3 ACAC 24 07 北京文理 13 2002 年在北京召开的国际数学家大会 会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的 弦图是由 四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 如图 如果 小正方形的面积为 1 大正方形的面积为 25 直角三角形中较小 的锐角为 那么的值等于 cos2 解析 图中小正方形的面积为 1 大正方形的面积为 25 每一个直角三角 形的面积是 6 设直角三角形的两条直角边长分别为 a b 则 22 25 1 6 2 ab ab 两条直角边的长分别为 3 4 设直角三角形中较小的锐角为 cos cos2 2cos2 1 5 47 25 25 07 福建理 17 在中 ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B 求角的大小 C 若最大边的边长为 求最小边的边长 ABC 17 本小题主要考查两角和差公式 用同角三角函数关系等解斜三角形的基本 知识以及推理和运算能力 满分 12 分 解 CAB 13 45 tantan 1 13 1 45 CAB 又 0 C 3 4 C 边最大 即 3 4 C AB 17AB 又 角最小 边为最小边 tantan0ABAB ABC 由且 22 sin1 tan cos4 sincos1 A A A AA 0 2 A 得 由得 17 sin 17 A sinsin ABBC CA sin 2 sin A BCAB C A 所以 最小边 2BC 26 07 广东理 16 已知顶点的直角坐标分别为 ABC 3 4 A 0 0 B 0 C c 1 若 求的值 5c sinA 2 若是钝角 求 的取值范围 A c 解析 1 若 c 5 则 3 4 AB 3 4 ACc 2 4 AC sin A 6 161 coscos 5 2 55 AAC AB 2 5 5 2 若 A 为钝角 则解得 c 的取值范围是 39 160 0 c c 25 3 c 25 3 27 07 海南宁夏理 17 如图 测量河 对岸的塔高时 可以选与塔底AB 在同一水平面内的两个测点与BC 7 现测得 并在点测得塔顶的仰角为 DBCDBDCCDs CA 求塔高 AB 解 在中 BCD CBD 由正弦定理得 sinsin BCCD BDCCBD 所以 sinsin sinsin CDBDCs BC CBD 在中 ABCRt tansin tan sin s ABBCACB 28 07 湖北理16 已知的面积为 且满足 设和的夹角ABC 306AB AC AB AC 为 I 求的取值范围 II 求函数的最大值与最小值 2 2sin3cos2 4 f 本小题主要考查平面向量数量积的计算 解三角形 三角公式 三角函数的 性质等基本知识 考查推理和运算能力 解 设中角的对边分别为 ABC ABC abc 则由 可得 1 sin3 2 bc 0cos6bc 0cot1 4 2 2 2sin3cos2 4 f 1 cos23cos2 2 1 sin2 3cos2 sin23cos212sin 21 3 4 2 2 2 363 22sin 213 3 即当时 当时 5 12 max 3f 4 min 2f 29 07 全国卷 1 理 17 设锐角三角形的内角的对边分别为ABCABC abc 2 sinabA 求的大小 B 求的取值范围 cossinAC 解 由 根据正弦定理得 所以 2 sinabA sin2sinsinABA 1 sin 2 B 由为锐角三角形得 ABC 6 B cossincossinACAA cossin 6 AA 13 coscossin 22 AAA 3sin 3 A 由为锐角三角形知 ABC 22 AB 2263 B 所以 2 336 A 13 sin 232 A 由此有 33 3sin3 232 A 所以 的取值范围为 cossinAC 3 3 22 30 07 全国卷 2 理 17 在中 已知内角 边 设内角ABC A 2 3BC 周长为 Bx y 1 求函数的解析式和定义域 yf x 2 求 的最大值 y 解 1 的内角和 由得 ABC ABC 00ABC 2 0B 8 应用正弦定理 知 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A 因为 yABBCAC 所以 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx 2 因为 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx 所以 当 即时 取得最大值 x x y6 3 31 07 山东理 20 如图 甲船以每小时海里的速度向正北方航行 乙30 2 船按固定方向匀速直线航行 当甲船位于处时 乙船位于甲船的北偏 1 A 西方向的处 此时两船相距海里 当甲船航行分钟到达处105 1 B2020 2 A 时 乙船航行到甲船的北偏西方向的处 此时两船相距海里 120 2 B10 2 问乙船每小时航行多少海里 解法一 如图 连结 由已知 11 AB 22 10 2A B 12 20 30 210 2 60 A A 1221 A AA B 又 122 18012060A A B 是等边三角形 122 A A B 1212 10 2ABA A 由已知 11 20AB 112 1056045B AB 在中 由余弦定理 121 AB B 222 1211121212 2cos45B BABABAB AB AA 22 2 20 10 2 2 20 10 2 2 200 12 10 2B B 因此 乙船的速度的大小为 海里 小时 10 2 6030 2 20 答 乙船每小时航行海里 30 2 解法二 如图 连结 21 A B 由已知 12 20AB 12 20 30 210 2 60 A A 112 105B A A cos105cos 4560 cos45 cos60sin45 sin60 2 13 4 sin105sin 4560 sin45 cos60cos45 sin60 2 13 4 在中 由余弦定理 211 A AB 222 2122121112 2cos105A BA BA AAB A A AA 22 2 13 10 2 202 10 220 4 100 42 3 11 10 13 AB 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 甲 乙 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 9 由正弦定理 11 121112 22 202 13 2 sinsin 4210 13 AB A A BB A A A B AA 即 121 45A A B 121 604515B A B 2 13 cos15sin105 4 在中 由已知 由余弦定理 112 B AB 12 10 2AB 222 1211222122 2cos15B BABA BA B A B AA 222 2 13 10 13 10 2 2 10 13 10 2 4 200 12 10 2B B 乙船的速度的大小为海里 小时 10 2 6030 2 20 答 乙船每小时航行海里 30 2 32 07 山东文 17 在中 角的对边分别ABC ABC 为 tan3 7abcC 1 求 cosC 2 若 且 求 5 2 CB CA A9ab c 解 1 sin tan3 73 7 cos C C C 又解得 22 sincos1CC 1 cos 8 C 是锐角 tan0C C 1 cos 8 C 2 5 2 CB CA A 5 cos 2 abC 20ab 又 9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 33 07 上海理 17 在中 分别是三个内角的对边 ABC abc ABC 若 求的面积 4 2 Ca 5 52 2 cos B ABC S 解 由题意 得为锐角 3 cos 5 BB 5 4 sin B 10 27 4 3 sin sin sin BCBA 由正弦定理得 7 10 c 111048 sin2 22757 SacB A 34 07 天津文 17 在中 已知 ABC 2AC 3BC 4 cos 5 A 求的值 sin B 求的值 sin 2 6 B 本小题考查同角三角函数的基本关系式 两角和公式 倍角公式 正弦定理 等的知识 考查基本运算能力 满分 12 分 解 在中 ABC 2 2 43 sin1 cos1 55 AA 由正弦定理 所以 sinsin BCAC AB 232 sinsin 355 AC BA BC 解 因为 所以角为钝角 从而角为锐角 于是 4 cos 5 A AB 2 2 221 cos1 sin1 55 BB 2 2117 cos22cos121 525 BB 2214 21 sin22sincos2 5515 BBB 10 sin 2sin2 coscos2 sin 666 BBB 4 213171 252252 12 717 50 35 07 浙江理 18 已知的周长为 且 ABC 21 sinsin2sinABC I 求边的长 AB II 若的面积为 求角的度数 ABC 1 sin 6 CC 解 I 由题意及正弦定理 得 21ABBCAC 2BCACAB 两式相减 得 1AB II 由的面积 得 ABC 11 sinsin 26 BC ACCC AA 1 3 BC AC A 由余弦定理 得 222 cos 2 ACBCAB C AC BC A 22 21 22 ACBCAC BCAB AC BC A A 所以 60C 36 07 天津文理 15 如图 在中 ABC 120 2 1 BACABACD 是边上一点 则BC2 DCBD AD BC A 答案 8 3 分析 法一 由余弦定理得 222222 cos 22 ABACBCABAD