高等数学 隐函数PPT课件

第四节 一 隐函数的导数 二 由参数方程确定的函数的导数 三 相关变化率 机动目录上页下页返回结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一 隐函数的导数 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 函数为隐函数 则称此 隐函数求导方法 两边对x求导 含导数的方程 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 解 方程两边分别对x求导数 所以 例2 求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的隐函数 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例3 求由方程 所确定的隐函数 的导数 并求出 写出通过曲线 上 点 的切线方程 解 方程两边对x求导 得 解得 所以 即 例4 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 机动目录上页下页返回结束 例5 求由方程 二阶导数 确定的隐函数的 机动目录上页下页返回结束 解 方程两边分别对x求导数 所以 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 对数求导法 对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法 求导简便些 1 对幂指函数 都可导 两边取对数 化成了隐函数 然后按隐函数求导法 求出的导数 即 例6 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 机动目录上页下页返回结束 2 有些显函数用对数求导法求导很方便 例如 两边取对数 两边对x求导 机动目录上页下页返回结束 例7 设 对x求导 两边取对数 机动目录上页下页返回结束 求导数 机动目录上页下页返回结束 练习 设 求 解 两边取对数得 方程两边分别对x求导数 二 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 机动目录上页下页返回结束 若上述参数方程中 二阶可导 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 利用新的参数方程 可得 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例8 已知椭圆的直角坐标方程为 求 及 写出椭圆的参数方程 解 椭圆的参数方程为 为求 列出参数方程 例9 已知椭圆的参数方程为 机动目录上页下页返回结束 求椭圆在 相应的点处的切线方程 解 椭圆上的对应点为 此点切线斜率为 切线方程为 机动目录上页下页返回结束 例10 设曲线方程为 当 时所对应的点 与法线方程 解 求曲线 处的切线方程 看成为 是 如果把曲线 的函数 求 点的坐标为 点切线斜率为 机动目录上页下页返回结束 处的 即 切线方程为 即 法线方程为 例11 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 即轨迹的切线方向 设 为切线倾角 则 机动目录上页下页返回结束 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 在刚射出 即t 0 时 倾角为 达到最高点的时刻 高度 落地时刻 抛射最远距离 速度的方向 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例12求由摆线 所确定的函数 的二阶导数 解 例13 设 且 求 解 练习 P112题8 1 解 机动目录上页下页返回结束 例14设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 机动目录上页下页返回结束 三 相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法 找出相关变量的关系式 对t求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动目录上页下页返回结束 例15 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速率为 当气球高度为500m时 观察员 视线的仰角增加率是多少 解 设气球上升t分后其高度为h 仰角为 则 两边对t求导 已知 h 500m时 机动目录上页下页返回结束 思考题 当气球升至500m时停住 有一观测者以 100m min的速率向气球出发点走来 当距离为500m 时 仰角的增加率是多少 提示 对t求导 已知 求 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 作业 P111 1121 3 2 3 4 4 2 7 1 8 2 求其反函数的导数 解 方法1 方法2 等式两边同时对求导 备用题