教学设计《三角函数的应用》临猗县耽子初中张娜.doc

三角函数的应用学习目标 1.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 2. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用；发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. 3.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望. 培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 学习重点 体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.学习难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学过程一、回顾与思考1、直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2、互余两角之间的三角函数关系？3、同角之间的三角函数关系？4、30、45、60角的三角函数值是多少？二、创设情境、引入课题直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题航海问题：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：三角函数的应用)三、引导探究，合作交流 请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.分析：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25处.示意图如下.根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较. 解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里). 这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险.测量问题如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 分析：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC. 解：在RtADC中，tan30=，即AC在RtBDC中，tan60=,即BC，又AB=AC-BC50 m，得 -=50. 解得CD43(m)， 即塔CD的高度约为43 m. 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.四、解决问题，共同提升楼梯改造问题：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40减至35，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m) 请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法) 分析：在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画示意图(如右图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.ACB是原楼梯的倾角，ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为： 如图，ABDB，ACB40，ADB35，AC4m.求AD-AC及DC的长度. 解：由条件可知，在RtABC中,sin40，即AB4sin40m，原楼梯占地长BC4cos40m. 调整后,在RtADB中，sin35，则ADm.楼梯占地长DB=m.调整后楼梯加长AD-AC-40.48(m)，楼梯比原来多占DCDB-BC= -4cos400.61(m).钢缆问题如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少? 解：在RtCBD中，CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m). 在RtEDB中，DB=5 m，BE=BC+EC2+5sin40(m). 根据勾股定理，得DE=7.96(m). 所以钢缆ED的长度为7.96 m.五课堂小结 六 当堂检测、1.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD 6 m，坡长CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135. (1)求ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3) 2 如图, 小明想测量塔CD的高度.她在A处仰望塔