（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法2第2讲等差数列及其前n项和教学案.docx

第2讲等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列4等差数列的增减性与最值公差d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值；公差d0时，前n项和Sn有最大值5等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，(n，an)在一次函数ypxq的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线ypxq上的均匀排开的一群孤立的点当p0时，anq，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列8，3，2，7，则该数列的第100项为_解析：依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487.答案：4872(必修5P39练习T5改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_解析：由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5180.答案：1803(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5，4，3，则前n项和Sn_解析：由题知公差d，所以Snna1d(75n5n2)答案：(75n5n2)4(必修5P46A组T2改编)设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8_解析：由已知可得解得所以S88a1d32.答案：32易错纠偏(1)忽视等差数列中项为0的情况；(2)考虑不全而忽视相邻项的符号；(3)等差数列各项的符号判断不正确1已知等差数列an中，|a3|a9|，公差d0，则使数列an的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是_解析：由|a3|a9|，d0，a60，a70.所以当n5或6时，Sn取最大值答案：5或62首项为30的等差数列an，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是_解析：由题意知a130，a80，a70.即解得5d5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：130等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题主要命题角度有：(1)求公差d、项数n或首项a1；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和角度一求公差d、项数n或首项a1(2020浙江省高中学科基础测试)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a316，a610，则公差d_；Sn取最大值时的n_【解析】a6a3(63)d，所以10163d，所以d2，因为a3a1(31)d，所以16a12(2)，所以a120，所以Snn221n，当n，由nZ得n10或11时，Sn取最大值【答案】210或11 角度二求通项或特定项已知正项等差数列an的前n项和为Sn，且满足 a1a5a，S763.求数列an的通项公式【解】法一：设正项等差数列an的公差为d，则由题意得即又因为an0，所以a3a12d0，所以所以所以an3(n1)22n1(nN*)法二：设正项等差数列an的公差为d.因为an是等差数列，且a1a5a，所以2a3a，又an0，所以a37.因为S77a463，所以a49.所以da4a32，所以ana3(n3)d2n1(nN*)角度三求前n项和在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【解】(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，a8a90的最大n是_；数列(1n15)中最大的项为第_项【解析】(1)因为n(a1)，由题意知d0，且，得30，a8a90，S16(a1a16)8(a8a9)0的最大n是15.因为等差数列an的前n项和为Sn，且满足a80，a8a90”是“Sn0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的nN*，“an0”能推出“Sn0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，1，不满足条件，不是必要条件，故选A.3已知等差数列an，且3(a3a5)2(a7a10a13)48，则数列an的前13项之和为()A24 B39C104 D52解析：选D.因为an是等差数列，所以3(a3a5)2(a7a10a13)6a46a1048，所以a4a108，其前13项的和为52，故选D.4(2020金华十校联考)在数列an中，若a12，且对任意正整数m，k，总有amkamak，则an的前n项和Sn()An(3n1) B.Cn(n1) D.解析：选C.依题意得an1ana1，即有an1ana12，所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列，an22(n1)2n，Snn(n1)，选C.5若数列an满足a115，且3an13an2，则使akak10的k值为()A22 B21C24 D23解析：选D.因为3an13an2，所以an1an，又a115，所以数列an是首项为15，公差为的等差数列，所以an15(n1)n，且an为递减数列，令ann0，得n23.5，可知使akak10的k值为23.6(2020温州十校联合体期初)已知等差数列an的前n项和为Sn，则()A若S9S8，S9S10，则S170，S180，S18S8，S8S10C若S170，S180，a180，a180，S18S8，且S9S8a9得a90，又S9S10，S10S9a10，则a100，S189(a10a9)符号不确定，A错误；B在等差数列an中，S170，且S180，S189(a10a9)0，a10a9，所以等差数列an的公差dS8，S10S8a9a100，a180，S189(a1a18)9(a2a17)0，D错误故选B.7已知等差数列an的公差d0，且a3a9a10a8.若an0，则n_解析：因为a3a9a10a8，所以a12da18da19d(a17d)，解得a14d，所以an4d(n1)d(n5)d，令(n5)d0(d0)，可解得n5.答案：58在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时，Sn取得最大值，说明所以所以1d.答案：9已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意nN*，均有an，Sn，a成等差数列，则an_解析：因为an，Sn，a成等差数列，所以2Snana，当n1时，2S12a1a1a，又a10，所以a11，当n2时，2an2(SnSn1)anaan1a，所以(aa)(anan1)0，所以(anan1)(anan11)0，又anan10，n2，所以anan11，n2，所以an是等差数列，其公差为1，因为a11，所以ann(nN*)答案：n10已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55.(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值解：(1)由题知，解得，故an2n7(nN*)(2)由an2n70，得n，因为nN*，即n3，所以当n3时，an2n70，当n4时，an2n70.易知Snn26n，S39，S55，所以T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313.11(2020嵊州模拟)已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)设函数yf(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：因为f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，所以an3n8，因为an1an3(n1)8(3n8)3，所以数列an为等差数列(2)由题意知，bn|an|3n8|，所以当1n2时，bn83n，Snb1bn；当n3时，bn3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7.所以Sn综合题组练1下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：选D.由an1and0，知数列an是递增数列，可知p1是真命题；由(n1)an1nan(n1)(a1nd)na1(n1)da12nd，仅由d0是无法判断a12nd的正负的，因而不能判定(n1)an1，nan的大小关系，故p2是假命题；显然，当ann时，1，数列是常数数列，不是递增数列，故p3是假命题；数列的第n1项减去数列的第n项an13(n1)d(an3nd)(an1an)3(n1)d3ndd3d4d0，所以an13(n1)dan3nd，即数列an3nd是递增数列，p4是真命题2(2020金华市东阳二中高三调研)设数列an的前n项和为Sn，且a1a21，nSn(n2)an为等差数列，则an()A. B.C. D.解析：选A.设bnnSn(n2)an，则b14，b28，因为bn为等差数列，所以bn4n，即nSn(n2)an4n，Snan4.当n2时，SnSn1anan10，所以anan1，即2，又因为1，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以(nN*)，即an(nN*)，故选A.3已知等差数列an满足a90，且a8|a9|，数列bn满足bnanan1an2(nN*)，bn的前n项和为Sn，当Sn取得最大值时，n的值为_解析：设等差数列an的公差为d，因为a9|a9|，所以d0，a8a90.所以当n8时，an0；当n9时，an0，当n9时，anan1an20，而a7a8a90，又a7a8a9a8a