MATLAB在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建

MATLAB在数字信号处理中的应用：连续信号的采样与重建一、 设计目的和意义随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最好在重建为模拟信号。 采样在连续时间信号与离散时间信号之间其桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号（采样序列）中五失真地恢复原模拟信号，同时由要尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。本次设计中，通过使用用MATLAB对信号f（t）=A1sin(2ft)+A2sin(4ft)+A3sin(5ft)在300Hz的频率点上进行采样，并进行仿真，进一步了解MATLAB在数字信号处理上的应用，更加深入的了解MATLAB的功能。二、 设计原理1、 时域抽样定理令连续信号 xa(t)的傅立叶变换为Xa（j），抽样脉冲序列p(t)傅立叶变换为P（j），抽样后的信号x(t)的傅立叶变换为X(j)若采用均匀抽样，抽样周期Ts，抽样频率为s= 2fs，有前面分析可知：抽样过程可以通过抽样脉冲序列p（t）与连续信号xa（t）相乘来完成，即满足：x(t)p(t),又周期信号f（t）傅立叶变换为：Ff(t)=故可以推得p(t)的傅立叶变换为：P（j）=其中：根据卷积定理可知：X（j）=Xa（j）*P(j)得到抽样信号x（t）的傅立叶变换为：X（j）=其表明：信号在时域被抽样后，他的频率X（j）是连续信号频率X（j）的形状以抽样频率s为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p（t）的傅立叶级数Pn加权。因为只是n的函数，所以X（j）在重复过程中不会使其形状发生变化。假定信号x（t）的频谱限制在-m+m的范围内，若以间隔Ts对xa（t）进行抽样信号X（j）是以s为周期重复。显然，若早抽样过程中s2m条件，X(j)才不会产生混频的混叠，在接收端完全可以有x（t）恢复原连续信号xa（t），这就是低通信号的抽样定理的核心内容。2、 信号的重建从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率：X（j）=Xa(j) s/2则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有：X（j）=X（j）= 让取样信号x（t）通过这一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器：H(j)=T s/2 滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故：Y(j)=X(j)H(j)=Xa(j) 因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号；y(t)=xa(t)从时域上看，上述理想低通滤波器的脉冲响应为：根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为：y（t）= 有上式显然可得：（t-nT）= sin(/T)(t-nT)/( /T)(t-nT)则：上式表明只要满足取样频率高于两倍最高频率，连续时间函数xa（t）就可用他的取样值xa（nT）来表达而不损失任何信息，这时只要把每个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa（t），在每一取样点上，由于只要该取样值所对应的内插函数式不为零，所以各个取样点上的信号值不变。1、用300Hz对信号进行采样源信号为f（t）=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)，用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样图如图1所示,程序如下fs1=300t1=-0.1:1/fs1:0.1fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)figure(1);plot(t1,fa),xlabel(fs1=300Hz时,fa采样时域图) 图1 300Hz采样频率对信号的采样图2、对信号进行快速离散傅立叶变换 将采样信号进行快速离散傅立叶变换（FFT），用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图如图4所示，程序如下：f=40;fs=300N=300;k=0:N-1t=-0.1:1/fs:0.1w1=300*k/Nfa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t)xfa=fft(fa,N);xf1=(xfa);figure(1);plot(w1,xf1),xlabel(fs=300Hz时,fa 经过fft后频谱图.单位:Hz) 图2 300Hz采样后经FFT后的频谱图3.信号的重建 我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复原信号，下图为恢复后的信号。程序如下：Wm=180*pi;Wc=Wm;fs=300;Ws=2*pi*fs;n=-800:800;nTs=n/fs;fa=5.1*sin(2*pi*40*nTs)+1.8*sin(4*pi*40*nTs)+0.8*sin(5*pi*40*nTs)Dt=1/fs;t1=-0.1:Dt:0.1fa1=fa/fs*Wc/pi*sinc(Wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t1-nTs*ones(1,length(t1);figure(1);plot(t1,fa1);axis(-0.1 0.1 -8 8)xlabel(fs=300Hz,fa利用内插由样本重建原信号图); 图3 采样后的信号重建信号图四、设计结果及分析图1与图3是300Hz采样频率对信号采样图以及300Hz采样后对信号的重建。比较两张图可以看出，当fs=300Hz时，满足采样定理。可以很好的通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来。五、体会与总结 从信号处理的角度来看，采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程是离散信号还原成连续信号，采样定理建立了模拟信号与数字信号之间的联系，是信号处理中非常重要的一个定理。如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。相反，如果已知采样频率，采样定理则给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。这次设计增强了我利用MATLAB解决问题的能力，也锻炼了自己查找和利用资料的能力。 经过一个学期的MATLAB软件的学习，让我对MATLAB的功能和应用有了一定的了