拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性-2014-04-08.doc

拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性摘要矩阵是高等代数的重要内容，线性组合是高等代数的重要知识点，关于幂等矩阵的线性组合的可逆性问题在统计学和密码学中具有十分广泛的应用，本文针对拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性问题进行了研究。首先，对于矩阵理论的相关知识进行了研究，指出了幂等矩阵的概念以及幂等矩阵的相关性质。幂等矩阵由于其m次幂是其自身的特殊性使得幂等矩阵有了更多的性质，对于其研究使得对于幂等矩阵有了更加深刻的了解。其次，对于拟-3幂等矩阵线性组合可逆性的条件进行了研究，给出了值域空间和零空间的概念，在此基础上讨论了拟3-幂等矩阵可逆性的条件，并且指出幂等矩阵线性组合的可逆性条件是一个十分重要的内容，从理论上回答了那些幂等矩阵的线性组合是可逆的。最后，对于拟-3幂等矩阵线性组合的可逆性进行了研究，给出了在幂等矩阵前提下的矩阵的相似和矩阵等价之间的充要关系，同时给出了拟-3矩阵判断的充要条件，指出对于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的研究可以有效的锻炼学生的三种思维能力，即逻辑思维能力、分析问题的能力以及总计问题的能力。本文的研究对于有效的促进幂等矩阵在统计学和密码学中的应用具有一定的参考价值。关键字：幂等矩阵；可逆性；线性组合IIIABSTRACTMatrix is the important content of higher algebra, linear combination is one of the important knowledge points, higher algebra about idempotent matrix of the linear combination of reversible in statistics and cryptography has very extensive application, this paper proposed a 3 - idempotent matrix of the linear combination of reversibility problem is studied. First of all, to the matrix theory of knowledge is studied, pointed out that the concept of idempotent matrix and the properties of idempotent matrix. Idempotent matrix due to the particularity of its m power is its idempotent matrix has more nature, for its research makes for idempotent matrix have a deeper understanding. Second, for quasi - 3 idempotent matrix of linear combination of reversible conditions are studied, it gives the concept of domain space and the zero space, on the basis of the quasi 3 - idempotent matrices is discussed reversible conditions, and points out that the linear combination of idempotent matrix reversible condition is a very important content, are answered theoretically the idempotent matrix of linear combination is reversible. Finally, the quasi - 3 idempotent matrix the reversibility of the linear combination are studied, under the precondition of idempotent matrix are given similar matrix and matrix and the relationship between equivalent charge to judgment of necessary and sufficient conditions are given at the same time - 3 matrix, pointed out that for 3 - the study of the linear combination of reversible idempotent matrix can effectively exercise the three kinds of thinking ability of students, namely, logical thinking ability, the ability to analyze and total problem. This paper studies to effectively promote the idempotent matrix in the application of statistical and cryptography has a certain reference value.Keywords: Idempotent matrix; Reversible; A linear combination目录摘要IABSTRACTII1 绪论11.1 研究背景11.2 研究意义11.3 本文的主要工作12 矩阵理论的相关知识22.1 幂等矩阵的概念22.2 幂等矩阵的性质23 逆3-幂等矩阵线性组合可逆性的条件43.1 预备知识43.2 主要结论53.3 研究总结74 拟3-幂等矩阵线性组合的可逆性84.1 预备知识84.2 主要结论94.3 研究总结95 结论10参考文献10致谢111 绪论1.1 研究背景矩阵是高等代数中一个十分重要的组成部分，矩阵理论在统计学、密码学以及系统理论中有着十分广泛的应用。许多的统计学、密码学以及系统理论学问题常常可以转化为矩阵的线性组合问题进行求解，关于矩阵的线性组合问题的研究越来越受到广大数学研究者的重视。幂等矩阵是矩阵中一类十分特殊的矩阵，其自身的m次幂依旧是其自身。由于幂等矩阵的这些特殊性使得幂等矩阵在许多的领域有了更加广泛的应用，其中关于幂等矩阵线性组合的可逆性问题也逐渐成为了人们关注的问题。本文针对拟-3幂等矩阵的线性组合可逆性问题进行了研究，期待对于有效的推动幂等矩阵的应用具有一定的参考价值。假设矩阵和矩阵为n阶矩阵，矩阵为矩阵和矩阵的线性组合，即，其中标量和标量为非零的复数。对于其可逆性的研究就是当矩阵和矩阵为幂等可交换矩阵的时候，那么其线性组合的可逆性问题。关于该问题可以有效的培养学生的逻辑思维能力，将高等代数中的矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同等问题有效的联系起来，将高等代数的相关理论紧密的联系在一起，有效的确保整个理论自成体系。1.2 研究意义幂等矩阵是矩阵中一类十分特殊的矩阵，正式由于其特殊性在统计学以及密码学等得到了十分广泛的应用。矩阵的拟一直是矩阵研究的重点，矩阵的拟就如同是标量中的数的倒数一样，但是关于矩阵的拟的求解却是一个十分麻烦的过程。线性组合是高等代数中的重要概念，关于幂等矩阵的线性组合的拟是一个十分复杂的问题，逐渐的引起来越来越多的人的关注和研究。关于线性组合的幂等矩阵的拟的研究涉及了高等代数中的许多重要的知识点，对于该问题的研究可以使得学生对于线性组合、幂等矩阵、矩阵的拟、矩阵的特征值、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同等概念有更加全面的认识和了解。本文针对拟-3幂等矩阵的线性组合的可逆性的研究对于有效的去理解这些问题，有效的培养学生的逻辑思维能力具有重要的意义。1.3 本文的主要工作幂等矩阵是矩阵中一类非常特殊的矩阵，本文针对拟3-幂等矩阵的线性组合的可逆性问题进行了研究，主要包括三个方面的内容：(1) 对于矩阵理论的相关知识进行了研究，指出了幂等矩阵的概念以及幂等矩阵的相关性质。幂等矩阵由于其m次幂是其自身的特殊性使得幂等矩阵有了更多的性质，对于其研究使得对于幂等矩阵有了更加深刻的了解；(2) 对于拟-3幂等矩阵线性组合可逆性的条件进行了研究，给出了值域空间和零空间的概念，在此基础上讨论了拟3-幂等矩阵可逆性的条件，并且指出幂等矩阵线性组合的可逆性条件是一个十分重要的内容，从理论上回答了那些幂等矩阵的线性组合是可逆的；(3) 对于拟-3幂等矩阵线性组合的可逆性进行了研究，给出了在幂等矩阵前提下的矩阵的相似和矩阵等价之间的充要关系，同时给出了拟-3矩阵判断的充要条件，指出对于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的研究可以有效的锻炼学生的三种思维能力，即逻辑思维能力、分析问题的能力以及总计问题的能力。2 矩阵理论的相关知识2.1 幂等矩阵的概念矩阵是高等代数中的一个重要的概念，许多的问题经过转化都可以转化为矩阵的求解问题。从数学的角度来讲矩阵就是由纵横的二维数据形成的可以进行四则运算的表格。矩阵最早在方程组求解问题中得到应用，并且对于线性方程组求解理论的推广起到了十分重要的推动作用。幂等矩阵是矩阵的一种特殊情况，对于幂等矩阵的严格定义如下：定义1：设矩阵A为n阶方阵，如果矩阵A满足()，那么称矩阵A为t-幂等矩阵。对于t-幂等矩阵而言，当t=2时，称矩阵A为幂等矩阵；对于t-幂等矩阵而言，当t=3时，称矩阵A为立方幂等矩阵，也称为3-幂等矩阵。很显然，对于t-幂等矩阵而言，其0，1，t-1次方根均为其t-幂等矩阵的特征值。由于幂等矩阵的特殊性，幂等矩阵相比较一般的矩阵具有更多的性质，下面针对幂等矩阵的性质进行讨论。2.2 幂等矩阵的性质对于幂等矩阵而言，在许多数学问题的研究中具有十分广泛的应用前景。幂等矩阵具有许多非常重要的性质，深刻的理解这些性质对于幂等矩阵的应用和研究都具有重要的作用。性质1：设矩阵A为t-幂等矩阵，那么矩阵A的伴随矩阵和矩阵均为t-幂等矩阵。性质2：拟3-矩阵A为幂等矩阵的充分必要条件是rank(A)+rank(A-E)=3。证明过程如下：必要性：由于矩阵A为拟3-幂等矩阵，因此。又因为矩阵A为3阶矩阵，因此。由高等代数矩阵秩的相关结论，可知 (1)由此，可以得出rank(A)+rank(A-E)=3。充分性：设齐次线性方程组的解空间为，齐次线性方程组的解空间为。根据高等代数其次方程组解空间理论可知齐次线性方程组和齐次线性方程组的公共解为，因此解空间为和解空间为的交集。不妨假定空间为，那么，可以得出 (2)根据高等代数其次线性方程组求解理论，可以知道，齐次线性方程组解空间的维数为，齐次线性方程组解空间的维数为。由此，可以得到 (3)因此，空间为整个3维向量空间。，那么，其中向量，。由于，因此 (4)即所有属于空间的向量均是齐次线性方程组的解。根据向量的任意性可知，空间是齐次线性方程组的解空间，因此 (5)从而可以得到，即矩阵A为幂等矩阵。综上可知，拟3-矩阵A为幂等矩阵的充分必要条件是rank(A)+rank(A-E)=3。性质3：设矩阵A、B为拟3-幂等矩阵。(1) 如果为幂等矩阵，那么。(2) 如果，那么。证明：(1) 由于矩阵A、B、为拟3-幂等矩阵，因此，。由于，因此 (6)因此，。因此，。(2) 由于矩阵A、B为拟3-幂等矩阵，因此，。因此，。幂等矩阵是矩阵研究中的一个非常重要的矩阵，在矩阵的特征值求解、矩阵的对角化、矩阵的相似性等问题的研究中具有重要的作用，本文对于幂等矩阵相关性质的研究对进一步的了解幂等矩阵具有一定的参考价值。3 逆3-幂等矩阵线性组合可逆性的条件3.1 预备知识为了本文研究的需要，本文所讨论是在复数域范围内。记为矩阵的值域，为矩阵的零空间，为在复数域C上的拟3-幂等矩阵的集合。所谓线性组合就是将一些抽象的向量各自乘上一个标量(系数)以后在进行加法运算的过程，它是高等代数中一个十分重要的概念。对于矩阵的线性组合而言，对于形如的矩阵被称为是矩阵A和矩阵B的线性组合。当系数或者系数为0时，那么此时矩阵的线性组合称为是平凡的线性组合，反正称为是非平凡的线性组合。设矩阵A和矩阵B属于集合P，且，那么幂等矩阵A和B的非平凡线性组合为 (7)在进行问题的研究之前，需要给出两个引理，其证明过程参考R.A. Hom 和C.R. Johnson合著的矩阵分析。引理1：设矩阵A为定义在复数域上的n阶矩阵，那么矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的零空间。引理2：设矩阵A为定义在复数域上的n阶幂等矩阵，那么矩阵E-A也为定义在复数域的n阶幂等矩阵，并且矩阵E-A的值域和矩阵A的零空间等价，即R(E-A)=N(A)。3.2 主要结论矩阵的拟是矩阵中的一个十分重要的概念，关于幂等矩阵的线性组合的拟在许多的问题中具有十分广泛的应用。所谓线性组合就是将一些抽象的向量各自乘上一个系数之后在进行相加的运算过程中，线性组合是一个十分重要的概念。关于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的条件具有以下的几条结论。结论1： 假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，且满足对于任意的非零复数，使得可逆，那么对于复数的非平凡线性组合都是可逆矩阵。对于该问题的证明过程如下：证明：假定，且，那么如果为的零空间，则有，经过等式转化可以得到 (8)对于式(8)而言，两边分别左乘矩阵和矩阵，同时由于矩阵和矩阵为幂等矩阵，即，那么可以得到 (9) (10)对比(8)、(9)和(10)，根据，那么可以得到 (11) (12)对于复数的非平凡线性组合进行平方运算，可以得到 (13)将式(11)、(12)代入式(13)，将化简整理可以得到 (14)根据已知条件，在等式(14)两边分别乘以矩阵的逆矩阵，可以得到 (15)对于式(15)而言，两边同时乘以矩阵，可以得到 (16)根据式(16)可以得到，将其代入等式(9)可以得到，由此可以得到，。根据式(11)和式(12)，可以得到。再根据式(16)可以得到，并且，因此可以得到，于是矩阵的零空间为0，即。于是可以得到可逆。综上可知，假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，且满足对于任意的非零复数，使得可逆，那么对于复数的非平凡线性组合都是可逆矩阵。结论2：假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，对于任意的非零复数，其矩阵可逆与矩阵、可逆是等价命题，其中矩阵为3阶单位矩阵。对于该问题的证明需要从两个两面进行证明，一方面是根据矩阵可逆，可以证明矩阵、可逆；另一方面是根据矩阵、可逆，可以证明矩阵可逆。具体的证明过程如下。证明：假定为矩阵的零空间元素，那么有，。因此可以得到如下矩阵等式。由于矩阵可逆，因此，从而可以得到矩阵的零空间为，于是矩阵为可逆矩阵。同理可以得到，如果矩阵可逆，那么矩阵为可逆矩阵。接下来证明：如果矩阵、可逆，那么矩阵为可逆矩阵。假定为矩阵的零空间元素，那么可以得到。两边同时乘以矩阵，且考虑到，那么，于是可以得到 (17)由于矩阵和矩阵均可拟，因此根据式(17)可以得到，于是矩阵可逆。综上可知：假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，对于任意的非零复数，其矩阵可逆与矩阵、可逆是等价命题，其中矩阵为3阶单位矩阵。结论3：假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，矩阵可逆与矩阵、可逆是等价命题，其中矩阵为3阶单位矩阵。关于该问题的证明是一件十分容易的事情，很显然该结论为定理2的推广，假定定理2中的非零复数，均为1，那么就可以得到结论3的证明过程。结论4：假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，那么矩阵可逆的充分必要条件是矩阵以及矩阵可逆。证明：计算矩阵和矩阵的乘机，如下可以得到因此矩阵可逆的充分必要条件是矩阵以及矩阵可逆。于是结论得到了证明。关于该问题的证明是一件十分有趣的事情，其充分必要性的证明是可以互拟的过程。此时可以直接进行证明，而无需重新进行分析计算了。为了更好的、更加充分的认识到这样一点的重要性，必须进过一定的训练才可以。为了有效的发挥学生学习的主观能动性，对于结论4可以进一步的降低要求的范围，即假定矩阵A和矩阵B为定义在复数域内的两个拟3-幂等矩阵，且系数、系数，满足系数，系数，且，那么矩阵可逆的充分必要条件是和可逆。3.3 研究总结幂等矩阵是矩阵中一类非常重要的矩阵，关于其矩阵的拟的研究更是非常常见。针对线性组合可逆性的条件进行了研究，对于一些常用的概念进行了总结。对于拟3-幂等矩阵而言，其非线性组合常常通过来表达，即表示两个幂等矩阵的非平凡线性组合。在非平凡线性组合中，包含有三个方面的意思。首先是系数和系数均不能为零。如果系数或者系数为零，那么此时原有的线性组合就会变成一个单一的向量乘以一个标量，很显然此时是可逆的。其次是系数和系数的和不能为零，即，对于幂等矩阵而言，如果系数和系数满足，那么该线性组合成为非平凡线性组合，反正称之为平凡线性组合。最后就是必须是两个幂等矩阵，对于幂等矩阵的个数可以适当的推广。4 拟3-幂等矩阵线性组合的可逆性4.1 预备知识统计学是数学的一种十分重要的分支，在统计学中，投影算子在很多的统计学问题解决中都起到了十分重要的作用，更为特别的是投影斜算子是回归分析中对于变量进行估计的特别有用的工具之一。例如在高等代数的研究中，在研究二次型是不是服从某一分部的时候，常常需要用到矩阵是拟3-幂等矩阵的性质。在高等数学中，那么矩阵的等价是一个十分常见的概念，即如果矩阵A和矩阵B是等价矩阵，记为，需要满足的是存在可逆矩阵U和V，使得 (18)在高等数学中另外一个重要的概念就是矩阵的相似，即如果矩阵和矩阵相似，那么存在可逆矩阵，使得，那么称为矩阵A和矩阵B相似。矩阵的许多性质在数学问题的解决中具有十分广泛的应用。设矩阵，且矩阵和矩阵为拟3-幂等矩阵，那么矩阵的可逆性问题。关于该问题的研究首先给出如下的两个引理：引理1：假设矩阵和矩阵为复数域上的阶矩阵，并且满足，其中，那么矩阵的充要条件是。关于该引理的证明可以参考文献1。该引理将矩阵的相似和矩阵的等价之间的关系在幂等矩阵中很好的体现了出现，即在幂等矩阵中矩阵的等价和矩阵的相似是完全等同的。引理2：假设矩阵为定义在复数域上的阶可对角化的矩阵族，那么矩阵是可换族等价于矩阵是同时可对角化族。4.2 主要结论拟3-幂等矩阵线性组合的可逆性是幂等矩阵研究中的一个十分重要的方面，对于培养学生的逻辑思维能力和创新能力具有十分重要的意义。下面将给出拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的相关的结论。结论1：设矩阵和矩阵为拟-3幂等矩阵，矩阵为矩阵和矩阵的线性组合，即，那么矩阵的充分必要条件是。关于该问题重点给出了矩阵是拟3-幂等矩阵的等价条件，其证明过程如下。证明：因为矩阵和矩阵均为幂等可交换的矩阵，因此根据引理2可以得出他们可以同时做到对角化，那么就存在可逆的矩阵使得矩阵和矩阵为对角矩阵。假定和的对角元分别为矩阵和矩阵的特征值，那么就可以得到 (18)于是可以得到。那么矩阵的幂等性等价为 (19)由于幂等矩阵的特征值只有0，1，-1，于是当矩阵的秩为时，对于所有的均有。根据式(19)可以知道矩阵的幂等性可以等价为，于是矩阵的充分必要条件是。4.3 研究总结关于拟-3幂等矩阵线性组合可逆性的研究是一个十分有趣的问题，可以将许多的矩阵知识在幂等矩阵的前提下得到有效的统一。幂等矩阵本质上来讲就是一个矩阵的次幂和矩阵的本身相等。通过本部分的研究可以有效的锻炼学生的三种思维能力。首先是逻辑思维能力，逻辑思维能力是一项十分重要的思维能力，学生只有具有比较强的逻辑思维能力才能更好的去分析和理解该问题。关于幂等矩阵的可逆性和标量中一些数的和然后求解其除数十分类似，但是所不同的是矩阵是向量，不满足交换律，这就要求学生去深刻的领悟到这一点，根据极强的逻辑思维能力进行问题的分析和判断，从而得出正确的结论；其次是分析问题的能力，对于一个具体的问题而言，必须结合相关的理论进行分析，找出问题的已知条件和问题的结论之间的关系，结合相关的理论进行问题的分析。最后就是总结问题的能力，拟-3幂等矩阵涉及高等代数中很多的理论知识，将矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同等之间的相互统一进行了有效的分析，对于学生深刻的把握这些具有十分重要的价值。5 结论矩阵是一个十分重要概念，幂等矩阵是矩阵中的一类特殊的矩阵，本文针对拟-3幂等矩阵的线性组合的可逆性问题进行了研究，首先对于矩阵理论的相关知识进行了研究，指出了幂等矩阵的概念以及幂等矩阵的相关性质。幂等矩阵由于其m次幂是其自身的特殊性使得幂等矩阵有了更多的性质，对于其研究使得对于幂等矩阵有了更加深刻的了解；然后对于拟-3幂等矩阵线性组合可逆性的条件进行了研究，给出了值域空间和零空间的概念，在此基础上讨论了拟3-幂等矩阵可逆性的条件，并且指出幂等矩阵线性组合的可逆性条件是一个十分重要的内容，从理论上回答了那些幂等矩阵的线性组合是可逆的；最后对于拟-3幂等矩阵线性组合的可逆性进行了研究，给出了在幂等矩阵前提下的矩阵的相似和矩阵等价之间的充要关系，同时给出了拟-3矩阵判断的充要条件，指出对于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的研究可以有效的锻炼学生的三种思维能力，即逻辑思维能力、分析问题的能力以及总计问题的能力。本文的研究对于拟3-幂等矩阵线性组合可逆性的研究具有一定的理论参考价值，同时对于有