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第二章矩阵的相似变换 1方阵的相似对角化 2线性变换及其矩阵表示 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 方阵多项式 定义 多项式 称 为方阵多项式 性质 若方阵A与B相似 即则 性质 若 则 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 零化多项式 定义 设A为n阶方阵 为多项式 若 例1 设 则 是A的零化多项式 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例2 设 试求U的零化多项式 线性相关 问 任意n阶方阵是否都有零化多项式 故至少存在一个次多项式是A的零化多项式 定性分析 必 2 则A的任何次方阵多项式都可以表示为次数不超过n 1的方阵多项式 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 问 怎样求方阵的零化多项式 定理 Cayley Hamilton 阶方阵A的特征多项式 是A的零化多项式 即有 1 指出了任何阶方阵A都具有次数不超过的零化多项式 Cayley Hamilton定理的意义 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例3 设 试证 例4 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例5 一般结果 阶方阵A的计算问题都可通过计算A的不超过次方阵多项式实现 问 方阵的零化多项式是否唯一 设是A的零化多项式 是任一多项式 则 即都是A的零化多项式 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 最小多项式 定义 设A为阶方阵 称A的次数最小的首一零化多项式为A的最小多项式 记为 最高次项系数为1 例6 设 试求U的最小多项式 问 即初等因子是对应Jordan块的最小多项式 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 定理 设阶方阵A的最小多项式为 则 1 A的任何零化多项式都能被整除 2 A的最小多项式是唯一的 3 是A的特征值 分析设 则 问 具有怎样的结构 其中 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例7 设 求 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 对角块矩阵的最小多项式 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例8 设 求 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 Jordan块的最小多项式 对应的初等因子 一般阶方阵A的最小多项式 设的Jordan标准形为 其中是中基本Jordan块的最大阶数 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例9 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 定理 其中是特征矩阵的第n个不变因子 定理 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 例10 设 求 并问A是否可以对角化 3凯莱 哈密顿定理与最小多项式 有个子Jordan阵 Jordan标准形的基本结构 则的Jordan标准形 设 最大阶数 最小多项式 3凯
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