添加辅助线的方法

添加辅助线的方法 一 从图形考虑 1 在三角形中 已知一条中线 常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形 或把一边延长一倍造中位线 或取另一边的中点作成中位线 2 在三角形中 若已知两条或三条中线时 则常连结两个中点作成中位线或 延长某一中线到它的三分之一处 使之与重心 两个顶点构成平行四边形 3 在等腰三角形中 常引底边上的高或顶角的平分线 在直角三角形中 则 常引斜边上的中线或高 4 在梯形中 常过顶点作高或与腰平行的线段 若已知各边中点 则作中位 线 5 在圆中 常作直径所对的圆周角 垂直于弦的半径 或直径 过切点的 半径 若两圆相切 则常作它的公切线和连心线 此外 还可根据共圆条件作 一些辅助圆 二 从要证的结论考虑 1 要证线段的和 差 倍 分或比较大小时 常用延长或截取方法进行等量 代换 2 要证线段 角相等时 常找全等形进行等量代换 3 要证四条线段成比例时 常作平行线找相似形 4 要证面积相等时 常平移变换找等积形 三 从添辅助线的作用考虑 1 作平行线有利于造成线段 角相等 有利于造成相似形 平行四边形 全 等形 等积形 2 作垂线有利于造成平行线 直角三角形 3 作圆有关线段和角 有利于用圆的有关性质和有关定理 如何添加辅助线 归纳的方法是很多的 还可用如下的口诀加以记忆 辅助线如何添 找出规律凭经验 题中有角平分线 可向两边作垂线 线段垂直平分线 可与两端把线连 三角形中两中点 连结则成中位线 三角形中有中线 则把中线一倍延 成比例 证相似 通常要作平行线 作线原则有一条 证题线段别割断 圆外若有一切线 切点圆心把线连 如果两圆内外切 经过切点作切线 两圆相交于两点 一般要作公共弦 是直径 成半圆 想作直角把线连 作等角 添个圆 证明题目少困难 辅助线是虚线 画图注意莫改变 辅助线的添法灵活多变 归纳只是一种形式 要灵活掌握 灵活运用 这里只 是介绍了常规的一些辅助线的作法 具体问题要具体分析 要多在实际问题中 去操练 才能形成自己的能力 梯形添加辅助线常用方法例析梯形添加辅助线常用方法例析 梯形作为特殊的四边形 在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决 于是 梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点 为此 笔者根据教学中的经验 归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀 这里介绍给大家并举例说明之 梯形问题中 转化很重要 平移对角线 平移梯形腰 作出梯形高 延长两腰来相交 中位线要想到 一腰中点等积变 例 1 如图 1 已知在梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 求证 AB CD 图 1 证明 过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E 因为 DE AC 所以 又因为 AD BC 所以四边形 ACED 为平行四边形 所以 AC DE 又因为 AC BD 所以 BD DE 所 以 所以 在和中 所以 所以 AB DC 例 2 如图 2 已知梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 求证 图 2 证明 过点 D 作 DE AB 交 BC 于一点 E 因为 AB DE 所以 又因为 AD BC 所以四边形 ABED 为平行四边形 所以 AB DE 又因为 AB DC 所以 DE DC 所以 所以 例 3 如图 3 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 DC 6 求梯形 的面积 S 图 3 解 过点 A D 分别作 垂足分别为 E F 在中 因为 所以 所以 在中 因为 所以 AE BE 因为 AD BC 所以 四边形 AEFD 为矩形 所以 所以 所以 例 4 已知 如图 4 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 求证 梯形 ABCD 为轴对称图形 图 4 证明 延长 BA CD 交于点 E 过点 E 作 交 BC 于 G 交 AD 于 F 因为 所以 又因为 AD BC 所以 因为 所以 即 EG 垂直平分 AD BC 又因为 所以梯形 ABCD 关于 EG 对称 所以梯形 ABCD 为轴对称图形 例 5 如图 5 已知梯形 ABCD 中 AD BC E 为 AB 的中点 且 求证 图 5 证明 取 CD 中点 M 连结 EM 因为 EM 为梯形 ABCD 的中位线 所以 又因为 所以 所以为 所以 例 6 如图 6 已知在梯形 ABCD 中 AD BC M N 为腰 AB DC 的中点 求证 1 MN BC 2 图 6 证明 连结 AN 并延长 交 BC 的延长线于点 E 因为 所以 所以 又 所以 MN 是的中位线 所以 MN BC 因为 所以 平面几何是初中教学的重要组成部分 它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用 又是继续 学习数学和其他学科的基础 但许多初中生对几何证实题感到困难 尤其是对需要添加辅助线的证实题 往往束手无策 定义 为了证实的需要 在原来图形上添画的线叫做辅助线 关于添加辅助线的问题 这是初中生学习平面几何难点之一 也是平面几何教学中的一个重点 但 是由于诸多方面的因素的影响 许多学生在完成几何作业或考试答卷中经常出现辅助线的作法和叙述上的 错误 例如 如图 已知 O 的半径为 5 弦 AB CD AB 6 CD 8 求 AB 和 CD 的距离 这道题的辅助线如图 可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法 1 作 AB 和 CD 的垂线段 MN 2 过 O 点作直线 MN 垂直 AB 和 CD 3 过 O 点作 AB 和 CD 的垂直平分线 MN 4 作 OM AB 并延长交 CD 于 N 5 连结 AB CD 的中点 MN 并使之通过 O 点 6 连结 MN 使 MN AB MN CD 经过分析 几种叙述方法都是错误的 而这种种错误 归纳起来大致有以下两个原因 1 不会使用几何作图的规范用语 2 违反了几何作图的基本要求 3 违反了几何作图的基本原则 那么 如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢 一 注重培养学生的几何语言的表达能力 从学生的开始学习几何时就应引入和应用规范用语 突出几何语言 非凡在学习尺规作图时 更就突出作 图规范用语和练习 否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误 下面介绍几种常用的辅助线 的正确叙述方法 连结 如图连结 AC BD 交于 O 点 作平行线 如图 过 D 点作 DG AE 交 BC 于 G 作垂线 如图分别过 A D 两点作 AE BC DF BC 垂足分别为 E F 延长 如图延长 AC 交 O 于 F 连结 DF 二 加强添加辅助线的教学与研究 关于添加辅助线的问题 这是初中学生学习平面几何的难点之一 要在教学中循序渐进练习学生 可以通过精选例题 让学生开阔 眼界 灵活思路 把握规律 提高能力 在添辅助线时 必须使学生明确辅助线要添得合理 必须符合基 本作图要求 如证实 三角形内角和定理 要证实这个定理应先以 CA 为一边 在 ABC 外部作 ACE BAC 再 延长 BC 然后只要证实 ECD ABC 就行了 根据这样分析 故先作 BC 延长边 CD 并在 ABC 外 部以 CA 为一边 CE 为另一边作 ACE BAC 然后即可证 BAC ABC ACB 180 此外还可 以让学生把握多种方法添辅助线 教学时 要注重强调添加辅助线是手段 而不是目的 它是沟通已知和未知的桥梁 不能见到题目 就无 目的地添加辅助线 一则没用 二则辅助线越多 图形越乱 反而妨碍思考问题 同时 还应注重常见的 辅助线的教学 使学生体会到许多辅助线的添加是有规可循的 从而进一步提高分析问题能力 不断引导 学生总结一些带有规律性结论 有助于拓宽思路 丰富联想 而达到融会贯通的目的 教学时 要注重强调添加辅助线强调一条辅助线只能提供一个条件 如作高只能提供垂直而不能提供过中 点等 三 注重培养学生了解几何问题的思考方法 防止添加辅助线的盲目性 很多学生不能够把握正确的思考方法 经常是不着边际的添加一些不恰当的辅助线 不仅不能有助于解题 反而使图形复杂化 影响了对习题的解答 怎样解决这个问题呢 仔细的分析一下 不难发现 不同的问 题需要添加不同的辅助线 相同的问题思考方法不同 辅助线的添加又不同 所以说正确的添加辅助线依 靠于问题本身对问题有一个正确的思考方法 因此 学生对一些问题的思考方法就显得很重要了 例如 有这样一个习题 矩形 ABCD 中 E 是 DC 上的一点 且 AE AB BF AE 于 F 求证 EF EC 这个题目的证实本身可以不添加辅助线 直接证实 ABF EAD 从而 AF DE 又因为 DC AB AE 即可以得出结论 但是不同的学生对同一个问题的思考方法不同 因而出现几种添加辅助线的方法 验证 EF EC 可以它们所在的三角形全等 因而需要将它们构建到两个全等的三角形中去 所以连接 B E 验证 EF CE 可以证它们是一个等腰三角形的两条腰 所以连结 F C 上述几种方法有繁有简 但都能顺利地得出结论 所以采用不同的思考方法 对同一个问题就有了不同的 辅助线的添加方法 四 帮助学生找到添加辅助线的规律 怎样才能正确地添加辅助线呢 我帮助学生总结了以下规律口诀 人说几何很困难 难点就在辅助线 辅助线 如何添 把握定理和概念 还要刻苦加钻研 找出规律凭经验 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形里面作高线 平移一腰试试看 平行移动对角线 补成三角形常见 证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证实有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 切线长度的计算 勾股定理最方便 要想证实是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 要想作个外接圆 各边作出中垂线 还要作个内接圆 内角平分线梦圆 假如碰到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 要作等角添个圆 证实题目少困难 辅助线 是虚线 画图注重勿改变 假如图形较分散 对称旋转去实验 基本作图很关键 平时把握要熟练 解题还要多心眼 经常总结方法显 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 分析综合方法选 困难再多也会减 虚心勤学加苦练 成绩上升成直线 几何证题难不难 关键常在辅助线 知中点 作中线 中线处长加倍看 底角倍半角分线 有时也作处长线 线段和差及倍分 延长截取证全等 公共角 公共边 隐含条件须挖掘 全等图形多变换 旋转平移加折叠 中位线 常相连 出现平行就好办 四边形 对角线 比例相似平行线 梯形问题好解决 平移腰 作高线 两腰处长义一点 亦可平移对角线 正余弦 正余切 有了直角就方便 非凡角 非凡边 作出垂线就解决 实际问题莫要慌 数学建模帮你忙 圆中问题也不难 下面我们慢慢谈 弦心距 要垂弦 碰到直径周角连 切点圆心紧相连 切线常把半径添 两圆相切公共线 两圆相交公共弦 切割线 连结弦 两圆三圆连心线 基本图形要熟练 复杂图形多分解 以上规律属一般 灵活应用才方便 五 注重总结常见添加辅助线的方法 在平时的教学中教会学生思考问题的方法是极为重要的 总结一些常见的辅助线的添加办法也有助于学生 解决问题 在几年的教学中总结以下几点 1 定义类 和角平分线有关的问题 通常可以作这个角的两边的平行线 例如 ABC 中 AD 是 BAC 的角平分线 与 BC 交于 D 求证 AB AC BD CD 这个习题的证实方法很多 但均离不开添加 BAC 的两边的平行线 过 D 做 DE AC 与 AB 交于 E 过 D 做 DF AB 与 AC 交于 F 过 B 做 BH AC 与 AD 交于 H 过 C 做 CG AB 与 AD 的延 长线交于 G 如遇垂直平分线的问题 往往构成等腰三角形 利用等腰三角形的性质解题 例 已知在三角形 ABC 中 BD CE 分别是 AC AB 边上的高 G 为 ED 的中点 求证 FG ED 分析 G 是 ED 的中点 要证实 FG ED 说明 FG 必为 ED 的垂直平分线 自然考虑添加辅助线 DF 与 EF 只要证得 DF 与 EF 相等 就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论 梯形问题 梯形没有平行四边形 矩形等非凡四边形那么多性质 所以有关梯形的证实 计算题 常 有一定的难度 假如能巧借辅助线 则能有效地化难为易 移腰 移动一腰 例 1 梯形两底长分别为 14cm 和 24cm 下底与腰的夹角分别是 60 和 30 求较短腰长 解析 如图 1 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 14cm BC 24cm B 60 C 30 过点 A 作 AE DC 交 BC 于 E 得到平行四边形 AECD 和 ABE 故 AE DC AD EC C AEB 30 图 1 这样 梯形的两腰 两底之差 下底与腰的两个夹角都集中于 Rt ABE 中 于是得到较短腰 移动两腰 例 2 如图 2 梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 AD BC 的中点 且 EF BC 求证 B C 图 2 分析 过点 E 作 EM AB EN DC 分别交 BC 于点 M N 梯形两腰 下底与腰的两个夹角集中于 EMN 中 由 E F 分别是 AD BC 的中点轻易得到 又由 EF BC 得 EM EN 故 EMN ENM 所以 B C 移对角线 例 3 如图 3 已知梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 对角线 AC BD 互相垂直 梯形的两底之和为 8 求梯形的高与面积 图 3 解析 过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E 过点 D 作 DM BC 于点 M 这样得到平行四边形 ACED 所以 AC DE AD CE 由 AC BD 得 BD DE 这样将两对角线 两底和 两对角线夹角集中于 BDE 中 轻易得到 DM 为等腰直角 BDE 的 BE 边上 的高 所以 即梯形的高为 4 故 移底 例 4 如图 4 梯形 ABCD 中 AB CD E 为腰 AD 的中点 且 AB CD BC 求证 BD CE 图 4 分析 延长 CE 交 BA 的延长线于点 F 因为点 E 为 AD 的中点 可得 DCE AFE 故 CE FE CD AF 由 AB CD BC 得 BC BF 故 BE CE 例 5 如图 5 在梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB CD E F 分别是 AC 和 BD 的中点 求证 图 5 分析 连接 DE 并延长交 AB 于点 G 易得 AGE CDE 故 DC GA DE EG 从而得 作高 例 6 如图 6 在梯形 ABCD 中 AB CD 两条对角线 AC 20cm BD 15cm 梯形高为 12cm 求梯形 ABCD 的面积 图 6 解析 此题有两种解法 法一 如图 6 分别过点 C D 作 CE AB 于点 E DF AB 于点 F 得矩形 DCEF 在 Rt ACE 中 AC 20cm CE 12cm 可得 AE 16cm 同理 BF 9cm 显然 BF AE AB CD 25 可求梯形面积为 法二 如图 7 过点 D 作 DE CA 交 BA 的延长线于点 E 过点 D 作 DF BA 于点 F 在 Rt DEF 中 DE AC 20cm DF 12cm 由勾股定理可得 EF 16cm 同理 FB 9cm 所以 AB CD AB AE EF FB 25 进而求得梯形面积为 图 7 通过添加辅助线 将梯形问题转化为非凡平行四边形和非凡三角形问题 从而解决问题 梯形添加辅助线 的规律可归纳为以下几点 1 当两腰具备非凡关系时 移腰 构造等腰三角形或直角三角形 2 当涉及面积时 作高 构造直角三角形 3 当涉及腰的中点时 可添加辅助线构造全等三角形 4 当涉及两底的和或差时 可灵活利用上述三点 将两底移到同一直线上 涉及到圆的辅助线可以归纳如下 遇有直径 常把圆上的一个点和直径的两个端点连接 构成直角三角形 有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接 两圆相切或相交 则可以按以下规律进行 相切做条公垂线 相交做条共弦 相切相交连心线 必定 过切点 垂直公共弦 和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线 例如 如图四边形 ABCD 是圆的外切四边形 其周长是 S E F 分别是 AD BC 的中点 求证 4EF S 证实方法 连接 AC N 是 AC 和 EF 的交点 若 N 是 AC 的中点 则 EF DC AB 四边形 ABCD 是梯 形 那么 EF 是梯形 ABCD 的中位线 则有 4EF 2 AB BC CD DA S 若 N 不是 AC 中点则可以做出 AC 的中点 M 连接 EM FM 则有 2EM DC 2FM AB 从而可以得出 4 2 S 而在三角形 EMF 中 EF EM MF 可得 4EF S 2 暗示类 截长补短 一条线段等于另外两条线段的和差 例如 已知 Rt ABC 中 C 90 AC BC AD 是 BAC 的角平分线 求证 AB BC CD 方法一 截长 在 AB 上截取 AE 等于 AC 连接 DE 从而就有了 AED ACD 可得 DE DC 因为 C 90 从