解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建 浙江省东阳中学 322100 解析几何作为高中数学的重要内容之一 研究问题的主要方法是坐标法 解题的基本过程是 首先用代数语言 坐标及 其方程 描述几何元素及其关系 将几何问题代数化 解决代数问题 得到结果 分析代数结果的几何意义 最终解决几何 问题 解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察 分析问题 解决问题的能力 需要熟练掌握数形结合与转换的思想 同时还要具有较强的运算能力 所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点 在近几年的全国数学联赛中一试 试题中 一般有一或两道填空题和一道解答题 分值在 30 分左右 占一试总分值的四分之一 其重要性不言而喻 下面笔者 结合自己的教学实践 提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略 与同仁们探讨 一 用函数 变量 的观点来解决问题 函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型 抓住问题中引起变化的主变量 并用一个具体的量 斜率或点 的坐标等 来表示它 同时把问题中的的因变量用主变量表示出来 从而变成一个函数的问题 这就是解决问题的函数观点 在解析几何问题中 经常会碰到由于某个量 很多时候是线或点 的变化 而引起图形中其它量 面积或长度等 的变化的 情况 所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法 例 1 2010 全国高中数学联赛试题 已知抛物线上的两个动点和 其中且 2 6yx 11 A x y 22 B xy 12 xx 线段的垂直平分线与轴交于点 求 面积的最大值 12 4xx ABxCABC 分析 通过对题目的分析可以发现线段 AB 中点的横坐标已经是定值 只有纵坐标在变化 可以把 AB 中点的纵坐标作为主 变量 这样只要把的面积表示成以 AB 中点的纵坐标的函数即可 这是问题就转化为求函数的最值问题 ABC 解析 设线段 AB 的中点 M 坐标为 则 0 2 y 则直线 AB 的斜率 1212 22 1212120 63 66 yyyy k yyxxyyy 线段 AB 的中垂线方程 易知线段 AB 的中垂线与轴的交点为定点 0 0 2 3 y yyxx 5 0 C 直线 AB 的方程 联立抛物线方程消去可得 1 0 0 3 2 yyx y x 22 00 22120 yy yy 由题意 是方程 1 的两个实根 且 所以 12 y y 12 yy 22 000 44 212 02 32 3 yyy 弦长 2 2222 00 12121200 2 1 1 4 9 12 393 yy AByyyyy yyy 点 C 5 0 到直线 AB 的距离 2 0 9 hCMy 则 222222 000000 1111 9 12 9 9 9 242 2332 ABC SAB hyyyyyy 222 3 000 992421114 7 3233 yyy 当且仅当 即 点或 22 00 9242 yy 0 5 y 635635 57 57 33 AB 时等号成立 所以面积的最大值为 635635 57 57 33 AB ABC 14 7 3 评析 在解答过程中用韦达定理代入消元转化 蕴含了 设而不求 的解题策略 把面积 S 表示为中点坐标的函数 同 0 y 时注意的取值范围 体现了函数问题首先关注定义域 在对函数求最值的过程中运用了基本不等式 其实也可设 0 y 2 转化为一个 的三次函数 利用导数求最值也是一种常用技巧 2 0 9 9 21 yt tt 例 2 2009 全国高中数学联赛试题 设直线 其中 为整数 与椭圆交于不同两点 与 l ykxm km 22 1 1612 xy AB 双曲线交于不同两点 问是否存在直线 使得向量 若存在 指出这样的直线有多少条 若 22 1 412 xy CDl0ACBD 不存在 请说明理由 分析 通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的 所以其余各量均可用 所以我们这里可用一个二元函数 k m k m 来表示 本题就转化为解二元方程 f k m ACBD 0 f k m 解析 由消去化简整理得 22 1 1612 ykxm xy y 222 3484480kxkmxm 设 则 11 A xy 22 B xy 12 2 8 34 km xx k 2 22 1 84 344480kmkm 由消去化简整理得 22 1 412 ykxm xy y 222 32120kxkmxm 设 则 34 C xy 44 D xy 34 2 2 3 km xx k 2 22 2 24 3120kmkm 因为 所以 此时 0ACBD 4231 0 xxxx 4231 0yyyy 由得 1234 xxxx 22 82 343 kmkm kk 所以或 由上式解得或 20km 22 41 343kk 0k 0m 当时 由 和 得 因是整数 所以的值为 0k 2 32 3m mm3 2 1 0123 当 由 和 得 因是整数 所以 0m 33k k1k 01 于是满足条件的直线共有 9 条 评析 如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时 可先把这个因变量表示为一个两元函数 如题设中有其他条件能找 到这两个变量间的关系 那只需用一个两来表示另一个量 这时就可转化为一元函数 这也体现了解析几何中 设而不求 的思想 如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系 我们可直接对二元函数进行处理 二 用平面几何的知识来解决问题 解析几何是用坐标法把几何问题代数化 用代数的方法来解决几何问题 但说到底解析几何还是几何 在解决某些解析 几何问题的时候 如果其平面几何背景非常明显的时候 我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题 例 3 2012 全国高中数学联赛试题 抛物线的焦点为 F 准线为 A B 是抛物线上的两个动点 且满足 2 2 0 ypx p l 设线段 的中点 M 在 上的投影为 N 则的最大值是 3 AFB l MN AB 分析 根据梯形的中位线定理和抛物线的定义 MN AF BF 结合 可用余弦定理得出等量关系 3 AFB 解析 由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中 由余弦定理得 2 AFBF MN AFB 222 2cos 3 ABAFBFAFBF 2 3AFBFAFBF 22 3 2 AFBF AFBF 2 2 2 AFBF MN 当且仅当时等号成立 故的最大值为 1 AFBF MN AB 评析 一些解析几何客观题 往往需要借助圆锥曲线的定义和平 面几何的一些性质进行解题 例 4 2005 全国高中数学联赛试题 过抛物线 y x2一点 A 1 1 3 作抛物线的切线交 x 轴于 D 交 y 轴于 B C 在抛物线上 E 在线段 AC 上 F 在线段 BC 上 且 1 EC AE 2 FC BF 1 2 1 线段 CD 与 EF 交于 P 当 C 在抛物线上移动时 求 P 的轨迹方程 分析 通过初略计算可知 D 为 AB 的中点 而题设中有很多的线段比例关系 可考虑用三角形的面积之比来解决问题 解析 AB 的方程为故 D 是 AB 的中点 0 2 1 1 0 12DBxy 令则 1 1 2211 CF CB t CE CA t CP CD 3 21 tt 因为 CD 为的中线 ABC 22 CBDCADCAB SSS 所以 2 3 2 3 2 11 2 1 22 1 2121 21 2121 tttt tt ttS S S S S S CBCA CFCE tt CBD CFP CAD CEP CAB CEF 是的重心 P ABC 设因点 C 异于 A 则故重心 P 的坐标为 2 00 xxCyxP 1 0 x 消去得 33 11 3 2 3 1 3 10 2 0 2 000 xx yx xx x 0 x 13 3 1 2 xy 故所求轨迹方程为 3 2 13 3 1 2 xxy 评析 从函数的观点进行分析 易发现点 C 的横坐标为主变量 P 点的横坐标和纵坐标均表示成的函数 在消去参数 0 x 0 x 就得到点 P 的轨迹方程 思路虽然简单 但由于本题所含字母较多 进行代数运算时运算量大且容易出错 如果我们能够 0 x 分析其平面几何背景 运用平面几何的知识 就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目 三 用极坐标知识来解决解析几何问题 解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系 用这个点在两坐标轴上的射影来确定 而极坐标是用角度和距离 很多 x y 时候就是长度 这两个量来确定一个点的位置 其几何意义很明显 如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表 示出来 那么建立一个极坐标系进行运算 会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多 例 5 2008 江苏省数竞赛试题 A B 是椭圆上的两个动点 满足 1 求证 22 1 94 xy 0OA OB 为定值 2 动点 P 在线段 AB 上 满足 22 11 OAOB 0OP AB 求证 点 P 在定圆上 分析 由可知 所以 而0OA OB OAOB 90AOB OAOB 能用距离 长度 直接给表示出来 这里的问题都可以用角度和距离来表示 可 以考虑建立极坐标系来解决 解析 1 如图以原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系x 设 则点 OAa OBbAOx cos sin A aa 则点 cos sin sin cos 22 B bbbb 点 A B 在椭圆上 把点坐标带入椭圆方程可得 2222 2 2 cossin1cossin 1 9494 a a 同理可得 两式相加可得 为定值 22 2 1sincos 94b 22 111113 9436ab A B P O 4 2 由知 所以0OP AB OPAB 22 OAOBab OPABOAOBOP AB ab 为定值 所以 P 在以 O 为圆心 半径的定圆上 22 136 1311 ab 36 13 评析 本题也可利用 设他们的斜率分别为 以为主变量进行运算 但用来表示比较麻烦 OAOB 1 k k k OAOBk 如能观察到用角度和距离两个量非常简洁的表示 选用极坐标系 则解题可事半功倍 OAOB 例 6 2012 全国高中数学联赛试题 在平面直角坐标系中 菱形的边长为 且 求证 xOyABCD46OBOD 为定值 2 当点 A 在半圆 OAOC 22 2 4xy 上运24x 动时 求点的轨迹 C 分析 根据图中的菱形和等腰三角形的性质可知 O A C 三点共线 结合菱形的 对角线垂直可知边长关系 第 1 小题用平面几何方法可快速求解 由点 O A C 三点共线知三点的角度是一样的 只有长度不一样 加上 1 的结论可知 AO 与 OC 的长度 之积为定值 20 第 1 小题可以用极坐标 求解 解析 1 因为 OBODABADBCCD 所以三点共线 如图 连结 则垂直平分线段 设 O A CBDBDAC 垂足为 于是有K OA OCOKAKOKAK 22 OKAK 定值 2222 OBBKABBK 22 22 6420OBAB 2 以原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 x 设 则由 1 的结论可得 12 44 AC 12 20 而点 A 所在的半圆的极坐标方程为 4cos 44 所以 带入 可得 1 4cos 2 5 cos 44 在转化为直角坐标 22 cos5 sin5tan 5 5 xy 故点 C 的轨迹为线段 5 55 xy 高中数学竞赛中的解析几何题的解题策略多种多样 还有很多方法和技巧 比如说用直线的参数方程来求解某些有关定 点到动点距离的问题会比较方便 用曲线的参数方程在化两元为一元的问题上有很多的优势等 我们只有掌握一些常用的技 巧和方法 在做题的时候根据题设和结论的背景和特征 选择合适的方法 才能快速准确的解决解析几何问题 同步练习 1 已知椭圆方程 过椭圆左焦点 F 的一条动弦 AB 其斜率 并且 22 22 1 0 xy ab ab 3 4 4 3 k 求的取值范围 22 340 abAFBF 解析 由知 所以椭圆方程可化为 22 340ab 2 3ac bc 222 3412xyc 设直线 AB 联立椭圆方程消去可得 xmyc x 222 34 690mymcyc 5 设 则由得 1122 A x yB xyAFBF 1 2 y y 结合 消去得 2 1212 22 69 3434 mcc yyyy mm 12 y y 22 22 2 1 44436 16 4 343491 21 3 m mk m 再解关于的不等式组可得 或 137 73 37 713 2 如图 已知 A B 分别为椭圆的左右顶点 Q 为椭圆的右准线与轴的交点 过 Q 的直线与椭圆交 22 22 1 0 xy ab ab x 于点 C D C 在 Q D 之间 直线 AD 与 BC 相交于点 P 求点 P 的轨迹方程 解析 记椭圆的右焦点为 F 连接 CF DF PF 其中 DF 交椭圆与点 G PF 交 DQ 与 E 根据椭圆的第二定义 1 CQCF DQDF FQ 为DFC 中的外角平分线 DFC则 2 CFQQFGDFA 而 AFacAQ FBacQB 所以 A F B Q 为调和点列 而 D E C Q 四点共线 所以 D E C Q 也是调和点列 则 由 1 式得