寒假黄冈中学高三数学专题复习

第 1 页 共 27 页 寒假黄冈中学高三数学专题复习 目录目录 直接直接证证明 明 间间接接证证明与数学明与数学归纳归纳法法 合情推理与演合情推理与演绎绎推理推理 合情推理与演合情推理与演绎绎推理推理 复数的概念及运算复数的概念及运算 平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算 三角函数的性三角函数的性质质 直接证明 间接证明与数学归纳法 一 选择题 1 用反证法证明命题 如果 a b 那么 时 假设的内容应是 3 a 3 b A B 3 a 3 b 3 a 3 b C 且 D 或不成立 即 成立 3 a 3 b 3 a 3 b 答案 D 2 下列条件 ab 0 ab0 b 0 a 0 b0 且 0 即 a b 不为 0 且同号即可 故有 3 个 b a a b b a a b 答案 C 第 2 页 共 27 页 3 设 S 是至少含有两个元素的集合 在 S 上定义了一个二元运算 即对任意的 a b S 对于有序元素对 a b 在 S 中有唯一确定的元素 a b 与之对应 若对任意 的 a b S 有 a b a b 则对任意的 a b S 下列等式中不恒成立的是 A a b a a B a b a a b a C b b b b D a b b a b b 解析 此题只有一个已知条件 a b a b B 中 a b a b 原式变为 b a b a 成立 C 中相当于已知条件中 a 替换为 b 明显成立 D 中 b a b a 原式变为 a b a b 成立 答案 A 4 设 a b c 是互不相等的正数 则下列不等式中不恒成立的是 A a b a c b c B a2 a 1 a2 1 a C a b 2 D 1 a ba 3a 1a 2a 解析 A a b a c c b a c c b 一定成立 B a2 2 2 a2 a 2 2 1 a2 a 1 a 1 a2 1 a a 1 a a 1 a 2 2 0 a 2 或 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 而 a 2 或 a 2 上式恒成立 1 a 1 a C a b 0 而 a b R 不能使用均值不等式 D 显然成立 答案 C 二 填空题 5 已知函数 f x ax 2a 1 当 x 1 1 时 f x 有正值也有负值 则实数 a 的取值范 围为 解析 由题意得 f x ax 2a 1 为斜率不为 0 的直线 由单调性知 f 1 f 1 0 第 3 页 共 27 页 a 2a 1 2a a 1 0 1 a 1 3 答案 1 a1 时 f x 1 时 f x 0 a 0 且 f 1 a 6 0 a 6 a Z a 6 7 8 都符合要求 答案 7x 6 7 如下图 在杨辉三角形中 从上往下数共有 n n N 行 在这些数中非 1 的数字之和 是 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 解析 所有数字之和 Sn 20 2 22 2n 1 2n 1 除掉 1 的和 2n 1 2n 1 2n 2n 答案 2n 2n 三 解答题 8 试证 当 n N 时 f n 32n 2 8n 9 能被 64 整除 证明 证法一 1 当 n 1 时 f 1 64 命题显然成立 2 假设当 n k k N k 1 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 第 4 页 共 27 页 当 n k 1 时 由于 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即 f k 1 9f k 64 k 1 n k 1 时命题也成立 根据 1 2 可知 对于任意 n N 命题都成立 证法二 1 当 n 1 时 f 1 64 命题显然成立 2 假设当 n k k N k 1 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 由归纳假设 设 32k 2 8k 9 64m m 为大于 1 的自然数 将 32k 2 64m 8k 9 代入到 f k 1 中得 f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 n k 1 时命题也成立 根据 1 2 知 对于任意 n N 命题都成立 9 如下图所示 O 是正方形 ABCD 的中心 PO 底面 ABCD E 是 PC 的中点 求证 平 面 PAC 平面 BDE 证明 PO 底面 ABCD PO BD 又 O 是正方形的中心 BD AC PO AC 0 BD 平面 PAC 又 BD 平面 BDE 所以平面 PAC 平面 BDE 10 已知数列 an 的前 n 项的和 Sn满足 Sn 2an 3n n N 1 求证 an 3 为等比数列 并求 an 的通项公式 2 数列 an 是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列 若存在 求出一组适合 条件的项 若不存在 请说明理由 证明 1 Sn 2an 3n n N a1 S1 2a1 3 a1 3 又由Error 得 an 1 Sn 1 Sn 2an 1 2an 3 第 5 页 共 27 页 an 1 3 2 an 3 an 3 是首项为 a1 3 6 公比为 2 的等比数列 an 3 6 2n 1 即 an 3 2n 1 2 解答 假设数列 an 中存在三项 ar as at r s t 它们可以构成等差数列 由 1 知 ar as at 则 2as ar at 6 2s 1 3 2r 1 3 2t 1 即 2s 1 2r 2t 2s 1 r 1 2t r r s t 均为正整数且 r s t 左边为偶数而右边为奇数 假设不成立 即数列 an 不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列 1 对于任意实数 a b 定义运算 a b a 1 b 1 1 给出以下结论 对于任意实数 a b c 有 a b c a b a c 对于任意实数 a b c 有 a b c a b c 对于任意实数 a 有 a 0 a 则以上结论正确的是 写出你认为正确 的结论的所有序号 解析 按新定义 可以验证 a b c a b a c 所以 不成立 而 a b c a b c 成立 a 0 a 1 0 1 1 a 所以正确的结论是 答案 2 已知数列 an 的各项都是正数 且满足 a0 1 an 1 an 4 an n N 1 2 证明 an an 1 2 n N 证明 证法一 用数学归纳法证明 1 当 n 0 时 a0 1 a1 a0 4 a0 所以 a0 a1 2 命题正确 1 2 3 2 2 假设 n k 1 k N 时命题成立 即 ak 1 ak 2 则当 n k 时 ak ak 1 ak 1 4 ak 1 ak 4 ak 2 ak 1 ak ak 1 ak ak 1 ak 1 2 1 2 1 2 第 6 页 共 27 页 ak 1 ak 4 ak 1 ak 1 2 而 ak 1 ak0 所以 ak ak 1 0 又 ak 1 ak 4 ak 4 ak 2 2 2 所以 n k 时命题成立 1 2 1 2 由 1 2 可知 对一切 n N 时有 an an 1 2 证法二 用数学归纳法证明 1 当 n 0 时 a0 1 a1 a0 4 a0 所以 0 a0 a1 2 1 2 3 2 2 假设 n k 1 k N 时有 ak 1 ak 2 成立 令 f x x 4 x f x 在 0 2 上单调递增 1 2 所以由假设有 f ak 1 f ak f 2 即 ak 1 4 ak 1 ak 4 ak 2 4 2 1 2 1 2 1 2 也即当 n k 时 ak ak 1 2 成立 所以对一切 n N 有 ak ak 1 2 3 已知函数 f x x3 ax b 定义在区间 1 1 上 且 f 0 f 1 设 x1 x2 1 1 且 x1 x2 1 求证 f x1 f x2 2 x1 x2 2 若 0 x1 x2 1 求证 f x1 f x2 1 证明 1 由 f 0 f 1 得 b 1 a b 解得 a 1 故 f x x3 x b 设 x1 x2 1 1 则 f x1 f x2 x x1 x x2 x1 x2 x x1x2 x 1 3 13 22 12 2 因为 1 x1 x2 1 则 0 x 1 0 x 1 1 x1x2 1 所以 2 12 2 1 x x x1x2 3 2 12 2 当且仅当 x1 x2 1 时 右边取等号 x1 x2 右边等号取不到 若 x x x1x2 1 则 x x x1x2 1 0 2 12 22 12 2 x1x2 1 0 x1 x2 0 且 x1x2 1 0 矛盾 左边等号也取不到 所以两边等号均不成立 所以 1 x x x1x2 3 2 12 2 第 7 页 共 27 页 所以 2 x x x1x2 1 2 所以 x x x1x2 1 2 2 12 22 12 2 即 f x1 f x2 2 x1 x2 2 因为 f x 3x2 1 令 f x 0 则 x 由导数的知识容易验证 3 3 当 x 时 f x min b 又 f 1 b 所以当 x 0 1 时 b f x b 3 3 2 3 9 2 3 9 则 b f x1 b b f x2 b 因为 x1 x2 所以 f x1 f x2 所以 f x1 2 3 9 2 3 9 2 3 9 f x2 即 f x1 f x2 又 1 所以 f x1 f x2 若 a b 0 m 0 则与 之间大小关系为 7 10 5 8 9 11 8 10 13 25 9 21 b m a m b a A 相等 B 前者大 C 后者大 D 不确定 答案 B 2 自然数按下表的规律排列 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 第 8 页 共 27 页 则上起第 2 007 行 左起第 2 008 列的数为 A 2 0072 B 2 0082 C 2 006 2 007 D 2 007 2 008 解析 经观察可得这个自然数表的排列特点 第一列的每个数都是完全平方数 并且恰好等于它所在行数的平方 即第 n 行的第 1 个数为 n2 第一行第 n 个数为 n 1 2 1 第 n 行从第 1 个数至第 n 个数依次递减 1 第 n 列从第 1 个数至第 n 个数依次递增 1 故上起第 2 007 行 左起第 2 008 列的数 应是第 2 008 列的第 2 007 个数 即为 2 008 1 2 1 2 006 2 007 2 008 答案 D 3 下列推理是归纳推理的是 A A B 为定点 动点 P 满足 PA PB 2a AB 得 P 的轨迹为椭圆 B 由 a1 1 an 3n 1 求出 S1 S2 S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C 由圆 x2 y2 r2的面积 r2 猜出椭圆 1 的面积 S ab x2 a2 y2 b2 D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析 从 S1 S2 S3猜想出数列的前 n 项和 Sn 是从特殊到一般的推理 所以 B 是归纳推 理 答案 B 4 如下图所示 把 1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可以排 成一个正三角形 试求第七个三角形数是 A 27 B 28 C 29 D 30 第 9 页 共 27 页 解析 a1 1 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 an an 1 n an n n 1 n 2 2 1 a7 28 n n 1 2 7 8 2 答案 B 二 填空题 5 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合 A 中元素 之间的一个关系 满足以下三个条件 1 自反性 对于任意 a A 都有 a a 2 对称性 对于 a b A 若 a b 则有 b a 3 传递性 对于 a b c A 若 a b b c 则有 a c 则称 是集合 A 的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而 直线的 平行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列出三个等价关系 答案 答案不唯一 如 图形的全等 图形的相似 非零向量的共线 命题的 充要条件 等等 6 设正数数列 an 前 n 项和为 Sn 且存在正数 t 使得对所有自然数 n 有 tSn t an 2 则通过归纳猜想可得到 Sn 解析 令 n 1 则 S1 a1 t 令 n 2 则 则 a2 3t ta1 t a1 2t a1 a2 t a2 2 S2 4t 同理 S3 9t 归纳 Sn n2t 答案 n2t 7 在平面上 我们如果用一条直线去截正方形的一个角 那么截下的一个直角三角形 按 图所标边长 由勾股定理有 c2 a2 b2 设想正方形换成正方体 把截线换成如下图的 截面 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O LMN 如果用 S1 S2 S3 表示三个侧面面积 S4表示截面面积 那么你类比得到的结论是 第 10 页 共 27 页 答案 S S S S 2 12 22 32 4 三 解答题 8 已知 sin230 sin290 sin2150 sin25 sin265 sin2125 通过观察上述两个不 3 2 3 2 等式的规律 请写出一个一般性的命题 并给出证明 解答 一般性的命题为 sin2 sin2 60 sin2 120 3 2 证明如下 左边 1 cos 2 2 1 cos 120 2 2 1 cos 240 2 2 cos 2 cos 120 2 cos 240 2 3 2 1 2 cos 2 cos 120 cos 2 sin 120 sin 2 3 2 1 2 cos 240 cos 2 sin 240 sin 2 右边 3 2 所以命题得证 9 如下图所示 点 P 为斜三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱 BB1上一点 PM BB1交 AA1于点 M PN BB1交 CC1于点 N 1 求证 CC1 MN 2 在任意 DEF 中有余弦定理 DE2 DF2 EF2 2DF EFcos DFE 拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面 所成的二面角之间的关系式 并予以证明 证明 1 PM BB1 PN BB1 BB1 平面 PMN BB1 MN 第 11 页 共 27 页 又 CC1 BB1 CC1 MN 2 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 有 S2ABB1A1 S2BCC1B1 S2ACC1A1 2SBCC1B1SACC1A1cos 其中 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角 CC1 平面 PMN 上述的二面角的平面角为 MNP 在 PMN 中 PM2 PN2 MN2 2PN MNcos MNP PM2 CC PN2 CC MN2 CC 2 PN CC1 MN CC1 cos MNP 2 12 12 1 由于 SBCC1B1 PN CC1 SACC1A1 MN CC1 SABB1A1 PM BB1 PM CC1 有 S2ABB1A1 S2BCC1B1 S2ACC1A1 2SBCC1B1 SACC1A1 cos 10 1 找出三角形和空间四面体的相似性质 2 并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半 并且平行第三边 三角形的三条内角平分线交于一点 且这个点是三角形内切圆的圆心 三角形的面积为 S a b c r r 为内切圆半径 1 2 解答 三角形和四面体有下列共同性质 1 三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形 四面体是空间中由平面三角形 所围成的最简单的封闭图形 2 三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形 四面体 可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形 根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质 三角形四面体 三角形的两边之和大于第三边 四面体任意三个面的面积之和大于第四 个面的面积 第 12 页 共 27 页 三角形的中位线等于第三边的一半 并 且平行于第三边 四面体的中位面的面积等于第四个面面 积的 且平行于第四个面 1 4 三角形的三条内角平分线交于一点 且 这个点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点 且这个点是四面体内切球的球心 三角形的面积为 S a b c r r 为三角 1 2 形内切圆的半径 四面体的体积为 V S1 S2 S3 S4 1 3 r S1 S2 S3 S4为四个面的面积 r 为 内切球的半径 1 已知整数的数对列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第 60 个数对是 A 3 8 B 4 7 C 4 8 D 5 7 解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为 2 的数对有 1 个 和为 3 的数对有 2 个 和为 4 的数对有 3 个 和为 5 的数对有 4 个 依此类推和为 n 1 的数对有 n 个 多个数对的排 序是按照横坐标依次增大的顺序来排的 由 60 n n 1 120 n Z n 10 时 n n 1 2 55 个数对 还差 5 个数对 且这 5 个数对的横 纵坐标之和为 12 它们依次是 n n 1 2 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 所以第 60 个数对是 5 7 答案 D 2 一机器狗每秒钟前进或后退一步 程序设计师让机器狗以前进 3 步然后再后退 2 步的规 律移动 如果将此机器狗放在数轴的原点 面向正方向 以 1 步的距离为 1 个单位长 令 P n 表示第 n 秒时机器狗所在位置的坐标 且 P 0 0 那么下列结论中错误的是 A P 3 3 B P 5 1 C P 101 21 D P 103 2 排除 D 2 sin 2 当 x 时 y 1 排除 B 6 6 sin 6 3 答案 C 2 2010 年石家庄模拟 已知在函数 f x sin 图象上 相邻的一个最大值点与一个 3 x R 最小值点恰好在 x2 y2 R2上 则 f x 的最小正周期为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 x2 y2 R2 x R R 函数 f x 的最小正周期为 2R 最大值点为 R 2 3 相邻的最小值点为 R 2 3 代入圆方程 得 R 2 T 4 答案 D 3 函数 f x tan x 0 图象的相邻的两支截直线 y 所得线段长为 则 f的值 4 4 4 是 A 0 B 1 C 1 D 4 解析 由题意知 T 由 得 4 4 4 f x tan 4x f tan 0 4 第 22 页 共 27 页 答案 A 4 2010 年郑州模拟 已知函数 f n cos n N 则的 n 5 f 1 f 2 f 3 f 2 003 f 11 f 22 f 33 值为 A 1 B cos 5 C D 2 1 2 解析 函数 f n 的周期为 10 且 f 1 f 2 f 3 f 10 0 f 1 f 2 f 3 f 2 003 f 1 f 2 f 3 cos cos cos 5 2 5 3 5 又 f 11 f 22 f 33 cos cos cos cos cos cos 11 5 22 5 33 5 5 2 5 3 5 原式 1 答案 A 5 函数 f x 2cos2x 2sinx 1 的最小值和最大值分别为 A 3 1 B 2 2 C 3 D 2 3 2 3 2 解析 f x 2cos2x 2sinx 1 1 2sin2x 2sinx 2 sinx 2 1 2 3 2 1 sinx 1 当 sinx 时 f x max 1 2 3 2 当 sinx 1 时 f x min 3 答案 C 6 2010 年烟台模拟 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数 单位为辆 分 上班高峰期某十字路口的车流量由函数 F t 50 4sin 其中 0 t 20 给出 F t 的单 t 2 位是辆 分 t 的单位是分 则下列哪个时间段内车流量是增加的 A 0 5 B 5 10 C 10 15 D 15 20 第 23 页 共 27 页 解析 由 2k 2k 得 2 t 2 2 4k t 4k k Z 当 k 1 时 3 t 5 答案 C 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 函数 y lg sin x 的定义域为 函数 y sin的单调递增 cos x 1 2 1 2 4 2 3x 区间为 解析 1 要使函数有意义必须有Error 即Error 解得Error k Z 2k x 2k k Z 3 函数的定义域为 x 2k x 3 2k k Z 2 由 y sin得 y sin 1 2 4 2 3x 1 2 2 3x 4 由 2k x 2k 得 3k x 3k k Z 故函数的单调递增区间 2 2 3 4 3 2 9 8 21 8 为 k Z 9 8 3k 21 8 3k 答案 x 2k 0 在区间上的最小值是 2 则 的最小值等 3 4 于 2 2010 年上海模拟 已知 x 是方程 3tan x 的一个解 0 则 63 解析 1 由题意知 T 2 3 T 4 3 2 3 2 第 24 页 共 27 页 的最小值等于 3 2 2 由已知得 3tan 即 tan 6 3 6 3 3 k k Z 6 6 即 k k Z 3 又 0 2 3 答案 1 2 3 2 2 3 9 对于函数 f x Error 给出下列四个命题 该函数是以 为最小正周期的周期函数 当且仅当 x k k Z 时 该函数取得最小值 1 该函数的图象关于 x 2k k Z 对称 5 4 当且仅当 2k x 2k k Z 时 0 f x 其中正确命题的序号是 请 2 2 2 将所有正确命题的序号都填上 解析 画出 f x 在一个周期 0 2 上的图象 由图象知 函数 f x 的最小正周期为 2 在 x 2k k Z 和 x 2k k Z 时 该 3 2 函数都取得最小值 1 故 错误 由图象知 函数图象关于直线 x 2k k Z 对称 5 4 在 2k x 2k k Z 时 0 f x 故 正确 2 2 2 答案 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 已知函数 y f x log si