数字信号处理教程 程佩青 课后题答案

精品文档 1欢迎下载 第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 2 2 任意序列 x n 与 n 线性卷积都等于序列本身 x n 与 n n0 卷积 x n n0 所以 1 结果为 h n 3 结果 h n 2 2 列表法 x m h nm n 1110000y n 0 11 1112 21113 311113 4011112 50011111 4 3 3 已知 通过直接计算卷积和的办法 试确10 1 anuanh n 定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应 nh 4 判断下列每个序列是否是周期性的 若是周期性的 试确定其周期 6 n 3 13 sin 87 3 cos n j enxcAnxb nAnxa 分析 序列为或时 不一定是周期序列 cos 0 nAnx sin 0 nAnx nm m mn nyn 2 3 1 25 0 0 1 当 3 4 nm n m mn nyn225 0 1 当 a a anyn a a anyn nhnxny anuanh nunx m m nn m m n 1 1 1 1 10 1 1 时当 时当 解 精品文档 2欢迎下载 当整数 则周期为 0 2 0 2 为为互素的整数 则周期 有理数当 2 0 QQP Q P 当无理数 则不是周期序列 0 2 nx 解 1 周期为 14 0 14 2 3 2 周期为 6 0 6 2 13 2 不是周期的 0 2 12 7 1 121212 12 T x ng n x n T ax nbxng n ax nbxng nax ng nbxn aT x nbT xn 所以是线性的 T x n m g n x n m y n m g n m x n m 两者不相等 所以是移变的 y n g n x n y 和 x 括号内相等 所以是因果的 x 括号内表达式满足小于 等于 y 括号内表达式 系统是因果的 y n g n x n g n x n x n 有界 只有在 g n 有界时 y n 有 界 系统才稳定 否则系统不稳定 3 T x n x n n0 线性 移不变 n n0 0 时系统是因果的 稳定 5 线性 移变 因果 非稳定 7 线性 移不变 非因果 稳定 8 线性 移变 非因果 稳定 8 精品文档 3欢迎下载 不稳定 是因果的 时当 解 1 1 0 1 0 0 1 22 n nh nhn 稳定 是因果的 时 当 3 8 1 4 1 2 1 11 1 2 3 1 1 2 1 11 2 1 1 1 0 1 0 0 2 n nh nhn 不稳定 是因果的 时 当 210 333 0 0 3 n nh nhn 稳定 是非因果的 时 当 2 3 333 0 0 4 210 n nh nhn 系统是稳定的 系统是因果的 时 当 7 10 3 03 03 0 0 0 5 210 n nh nhn 系统不稳定 系统是非因果的 时 当 21 3 03 0 0 0 6 n nh nhn 系统稳定 系统是非因果的 时 当 1 0 0 7 n nh nhn 精品文档 4欢迎下载 第二章第二章 Z Z 变换变换 1 求以下序列的 z 变换 并画出零极点图和收敛域 7 分析 Z 变换定义 n 的取值是的有值范围 n n znxzXnxZ nx Z 变换的收敛域是满足的 z 值范围 Mznx n n 解 解 1 由 Z 变换的定义可知 zz a zaz a za z a az 0 1 1 1 1 零点为 极点为 即 且收敛域 解 解 2 由 z 变换的定义可知 n n n znuzX 2 1 n n n zazX n n nn n n zaza 0 1 n n nn n n zaza 01 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 az a za za azaz a z a az az 2 1 2 nunx n 2 1 2 nunx n 1 2 1 3 nunx n 1 1 4 n n nx 为常数 00 0 sin 5 nnnnx 10 cos 6 0 rnunArnx n 1 1 aanx n 精品文档 5欢迎下载 0 2 1 n nn z 1 2 1 1 1 z 2 1 1 1 2 1 z z 即 收敛域 0 2 1 zz零点为 极点为 解解 3 n n n znuzX 1 2 1 1 2 1 n nn z 1 2 n nn z z z 21 2 1 2 1 1 1 z 2 1 12 zz即 收敛域 0 2 1 zz零点为 极点为 解解 4 1 1 n n z n zX 1 1 1 n n zn ndz zdX 2 1 1 1 zz z n n 1 z 1 2 1 3 nunx n 1 1 4 n n nx 精品文档 6欢迎下载 的收敛域为故 的收敛域相同 的收敛域和因为 1 1 ln 1ln ln zzX dz zdX zX z z zzzX z 1 0 零点为 极点为 zz 解 解 5 设 sin 0 nunny 则有 1 cos21 sin 2 0 1 0 1 z zz z znyzY n n 而 nynnx zY dz d zzX 1 cos21 sin 1 22 0 1 0 21 z zz zz 因此 收敛域为 1 z zzzz ezez jj 0 1 1 00 零点为 极点为二阶 极点为 解解 6 1 cos21 cos cos cos21 sin sin cos21 cos1 cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 00 00 0 z zz z zz z zz z zY nunnun nunn nunny 设 的收敛域为则 而的收敛域为则 cos21 cos cos 1 22 0 1 0 1 rzzX zrrz rzA r z YAzX nyArnxzzY n 7 Z u n z z 1 为常数 00 0 sin 5 nnnnx 10 cos 6 0 rnunArnx n 精品文档 7欢迎下载 Z nu n 2 z 1 1 dzz dz zz 2 2 23 Z n u n z 1 1 dzzz dzzz 零点为 z 0 j 极点为 z 1 1 1 21 1 12 3 1 1 1121 2 1 z 2 z 1124 11 44 1 1 111 4 3 z 4 z 81153 1 1515 X zz z z X zX z zz z za X zX z aza zz 用长除法留数定理部分分式法求以下的反变换 分析 分析 长除法 对右边序列 包括因果序列 H z 的分子 分母都要按 z的降幂排列 对左边序列 包括反因果序列 H z 的分子 分 母都要按z的升幂排列 部分分式法 若X z 用z的正幂表示 则按X z z 写成部分分 式 然后求各极点的留数 最后利用已知变换关系求z反变换可得 x n 留数定理法 号 负号 数时要取 用围线外极点留 号 负号 必取 用围线内极点留数时不 现的错误 这是常出 相抵消 来和不能用 消 的形式才能相抵的表达式中也要化成因而 注意留数表示是 2 1 1 1 Re 1 1 1 11 kk k n k n k k n zzzz zzzzX zz zzXzz zz zzXs 1 1 i i 长除法 长除法 12 1 2 1 1 1 4 1 1 2 1 1 zz z zX 2 1 2 1 zz而收敛域为 极点为 按降幂排列 分母要为因果序列 所以分子因而知 nx 21 4 1 2 1 1zz 1 1 2 1 1 1 2 1 1 z z 精品文档 8欢迎下载 21 1 4 1 2 1 2 1 zz z 2 4 1 z 0 21 2 1 4 1 2 1 1 n n n z zzzX 所以 2 1 nunx n 1 1 ii ii 留数定理法 留数定理法 设 c 为 c n dzz z j nx 1 1 2 1 1 1 2 1 内的逆时针方向闭合曲线 2 1 z 当时 0 n 在 c 内有 nn z z z z 2 1 1 1 1 2 1 1 1 一个单极点 2 1 z 则 0 2 1 2 1 Re 2 1 n z z snx n n z 是因果序列由于 nx 0 0 nxn时 故 2 1 nunx n 所以 1 1 iii iii 部分分式法 部分分式法 2 1 2 1 1 1 4 1 1 2 1 1 12 1 z z zz z zX 精品文档 9欢迎下载 因为 2 1 z 所以 2 1 nunx n 2 2 i i 长除法 长除法 4 1 4 1 zz而收敛域为由于极点为 因而 是左边序列 所以要按 的 nxz 升幂排列 2 112288zz z zz 82 2 4 1 2 287 7 zz z 32 2 11228 28 zz z 1 1 2 478 478 112288 n nn n nn z z zzzX 所以 1 4 1 7 8 nunnx n 2 2 ii ii 留数定理法留数定理法 内的逆时针方向闭合曲线 4 1 2 1 1 为设 zcdzzzX j nx c n 时 当 0 n 在 c 外有一个单极点 1 n zzX 4 1 z 精品文档 10欢迎下载 0 4 1 7 Re 4 1 1 n zzXsnx n z n 时 当 0 n 在 c 内有一个单极点 1 n zzX0 z 0 8 Re 0 1 nzzXsnx z n 内无极点在时 当 0 1 czzXn n 0 0 nnx则 综上所述 有 1 4 1 7 8 nunnx n 2 iii 2 iii 部分分式法 部分分式法 4 1 78 4 1 2 z z zz z z zX 则 1 4 1 1 7 8 4 1 7 8 z z z zX 因为 则是左边序列 4 1 z nx 所以所以 1 4 1 7 8 nunnx n 3 i 3 i 长除法 长除法 因为极点为 由可知 为 a z 1 a z 1 nx 因果序列 因而要按 的降幂排列 z 2 2 1 1 1 1 11 z a a a z a a aa a z azaz 1 1 1 1 1 1 1 z a a aa a a a 精品文档 11欢迎下载 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 z a a a z a a a z a a a 则 1 1 1 1 n n n z aa a a zX 所以 1 1 1 1 nu aa an a nx n 3 ii 3 ii 留数定理法留数定理法 a zdzzzX j nx c n 1 c 2 1 1 为 设 内的逆时针方向闭合曲线 1 1 1 1 0 0 1 1 Re Re 0 1 0 c 0 0 1 1 1 1 Re 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 nu aa an a nx nx nxn a a a a zzXszzXsx a zz zzXn n aa a z a z az a zzXsnx a zczzX n n nn n n n n n z a z a z a z 所以 此时 是因果序列 时 由于当 两个单极点 内有在时 当 一个单极点内有在 时 当 3 iii 3 iii 部分分式法 部分分式法 az a z a azz az z zX 1 1 1 2 精品文档 12欢迎下载 则 1 1 1 1 1 z a a aazX 所以 1 1 nu aa ananx n 1 1 1 1 nu aa an a n 4 4 1 4 1111 3535 z X zAB z zzzz A 5 8 A 5 8 B 3 8B 3 8 53 1188 35 5 13 1 1 8 38 5 nn zz X z zz x nunu n 5 对因果序列 初值定理是 如果序列为 时 问相应 lim 0 zXx z 0 n 0 nx 的定理是什么 讨论一个序列 x n 其 z 变换为 0 X zx的收敛域包括单位圆 试求其值 分析 分析 这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值 把序列分成因果序列 zX 0 x 和反因果序列两部分 它们各自由求表达式是不同的 将它们各自的 zX 0 x 相加即得所求 0 x 0 lim 2 1 0 0 0 0 2 0 xzX zxzxx znxzX nxn z n n 所以此时有 有时当序列满足解 若序列的 Z 变换为 nx 21 1 2 5 1 24 19 12 7 zz z zX 精品文档 13欢迎下载 2 1 2 2 1 3 2 4 2 1 2 24 19 12 7 2 5 1 24 19 12 7 21 21 2 21 1 zzzX zXzX z z z z zz zz zz z zX 的极点为 由题意可知 X Z 的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为 2 2 1 z 3 1 0 0 0 3 1 2 1 3 lim lim 0 0 24 lim lim 0 0 21 22 0 1 0 1 2 1 xxx z z zXx z z zXx nx nnx zz zz 为因果序列 时为有值左边序列 为则 6 有一信号 它与另两个信号和的关系是 ny 1 nx 2 nx 其中 1 3 21 nxnxny 2 1 1 nunx n 已知 利用 z 变换性质求 3 1 2 nunx n 1 1 1 az nuaZ n az y n 的 z 变换 Y z 解 解 精品文档 14欢迎下载 z3 2 1 z 3z z 3 1 1 2 1 z z 3 1 1 2 1 1 1 1n x 3 13 3 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 2 1 1 1 55 1 3 21 21 1 22 11 22 1 3 1 3 1 1 22 1 11 z z z zZ nZ xY z n x nxy n z z z zzXnx z z zXnx z z zzXznx z zXnx z zXnx Z Z Z ZZ 所以 而 8 若是因果稳定序列 求证 21 nxnx 2 1 2 1 2 1 2121 deXdeXdeXeX jjjj 分析 分析 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 deeXeXnxnx njjj 2 1 2121 而 2 1 0 0 0 21 2121 deXeX xx n nxnx jj 再利用的傅里叶反变换 代入n 0 即可得所需结果 21 nxnx 证明证明 deeXeX eXeXeY zXzXzY nxnxny njjj jjj 2 1 21 21 21 21 则设 2 1 21 nxnx ny deeY njj 精品文档 15欢迎下载 0 0 2 1 21 0 0 21 021 21 xx knxkx nxnx deXeX n n k n jj deeXnx deeXnx njj njj 2 1 2 1 22 11 deXx j 2 1 0 11 deXx j 2 1 0 22 2 1 2 1 2 1 21 21 deXdeX deXeX jj jj 10 分析 分析 利用序列傅里叶变换的定义 它的导数以及帕塞瓦公式 2 12 2 n j nxdex 解 解 4 0 2 6 0 00 x deeXdeXb nxenxeXa jjj nn njj 由帕塞瓦尔公式可得 c n nxdeX j 2 2 2 28 d n njj enxeX n nj j enxjn d edX 精品文档 16欢迎下载 即 d edX nxjnDTFT j 由帕塞瓦尔公式可得 316 490256491019 2 2 2 22 2 2 n n nxn nxjnd d edX j 13 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统 已知它 nx ny 满足 并已知系统是稳定的 试求其单位抽 1 3 10 1 nxnynyny 样响应 分析 分析 在Z变换域中求出 然后和题 12 c 一样分解成部分分式分别 H zY zX z 求Z反变换 解 对给定的差分方程两边作 Z 变换 得 1 1 10 3 1 101 3 33 z Y zY zzY zX z Y zz H z X z zzzz 则 3 1 3 21 zz极点为 为了使它是稳定的 收敛区域必须包括单位圆 故为 1 3 z 3 即可求得 3 1 1 3 8 3 nununh n n 14 研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统 该系统不限定为因果 稳定 系统 利用方程的零极点图 试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案 1 2 5 1 nxnynyny 解 对题中给定的差分方程的两边 作 Z 变 换 得 精品文档 17欢迎下载 2 5 1 zXzzYzYzYz 因此 zX zY zH zz 2 5 1 1 2 1 2 zz z 其零点为 0 z 极点为 2 1 z 2 1 2 z 因为该系统不限定为因果 稳定系统 所以其收敛域情况有三种 分别如 左图所示 收敛域情况有 零极点图一 2 z 零极点图二 2 2 1 z 零极点图三 2 1 z 注 如果想要参看具体题解 请先选择方案 然后单击 解答 按键即可 1 按 12 题结果 此处 z1 2 z2 1 2 可知当收敛区域为 则系统是非稳定的 但是因果的 其单位抽样响应 2 z 为 精品文档 18欢迎下载 1 21 21 nuzz zz nh nn 22 3 2 nu nn 2 同样按 12 题 当收敛区域为 则系统是稳定的但是非因果的 2 2 1 z 其单位抽样响应为 1 1 21 12 nuznuz zz nh nn 2 1 1 2 3 2 nunu n n 12 zzz 其中 2 1 z 2 1 2 z 3 类似 当收敛区域为时 则统是非稳定的 又是非因果的 2 1 z 其单位抽样响应为 1 1 1 21 12 nuznuz zz nh nn 1 22 3 2 nu nn 其中 2 1 2 21 zz 第三章第三章 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 1 如下图 序列 x n 是周期为 6 的周期性序列 试求其傅立叶级数的系数 精品文档 19欢迎下载 5 0 6 2 6 5 0 X n nkj nk n enxWnxk 解 kjkjkjkjkj eeeee 5 6 2 4 6 2 3 6 2 2 6 2 6 2 1068101214 计算求得 339 5 33 4 0 3 33 2 339 1 60 0 jXjXX jXjXX 并作图表示试求 设 2 64 kXnxkX nxnxnRnx 5 0 6 2 6 5 0 n nkj nk n enxWnxkX 解 kj kjkj eee 3 2 3 1 计算求得 3 5 1 4 0 3 1 2 3 1 4 0 jXXX XjXX 464 1 04 3 2 0 nn x nh nR nx nx nh nh n n x nh n 设令 其它 试求与的周期卷积并作图 解 在一个周期内的计算值 4 分析 此题需注意周期延拓的数值 如果 N 比序列的点数多 则需补零 如 果 N 比序列的点数少 则需将序列按 N 为周期进行周期延拓 混叠相加形成新 序列 先周期延拓再翻褶 移位 x n 5为周期序列 1 0 2 3 1 mnhnhnxny mnhnhnxny 精品文档 20欢迎下载 x n 6为周期序列 1 1 3 2 0 0 x n 6R6 n 为 6 点有限长序列 1 0 0 2 3 1 x n 3R3 n 为 3 点有限长序列 3 1 3 x n 3 5R5 n 为 5 点有限长序列 3 2 0 1 1 x n 7R7 n 为 7 点有限长序列 1 1 3 2 0 0 0 8 解 1 x n x n 4 0 m x m x nm x m x nm n 1021300y n 0 11 1010 22014 312012 43120110 50312014 6003120113 700031206 83129 2 x n x n 4 5 5 0 x m x nmRn m x m 55 x n mR n n 10213f n 0 131205 10131213 22013110 31201311 43120110 3 3 x n x n 与线性卷积结果相同 后面补一个零 10 求 f n x n 6n4 0 3n0 1 n nx 1 04 1 56 n y n n y n 解 f n x n y n 7 6 0 7 nRmnymx m 精品文档 21欢迎下载 x m mny n 1234000f n 0 111 1 1 1 10 1 1 111 1 1 14 2 1 1 111 1 1 2 3 1 1 1 111 1 10 4 1 1 1 1 111 10 51 1 1 1 1 11 8 611 1 1 1 1 1 4 第四章第四章 快速傅立叶变换快速傅立叶变换 运算需要多少时间 计算需要多少时间 用 问直拉点的 用它来计算每次复加 速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的 FFT DFT x n 512s 5 s 50 1 解 解 直接计算 复乘所需时间 复加所需时间 用 FFT 计算 复乘所需时间 复加所需时间 3 sNT N 01152 0 512log105log105 22 512 6 22 6 1 sTTT sNNT 013824 0 002304 0 512log512105 0log105 0 21 2 6 2 6 2 sTTT sNNT 441536 1 130816 0 1512 512105 0 1 105 0 21 66 2 sNT31072 1 512105 105 2626 1 精品文档 22欢迎下载 运算量 复数乘法次数 乘 1 j 不计算在内 要减去系数为 1 j 的 即 即 8 4 1 2 4 8 1 2 4 10 0 4 N WW NN 复数加法次数为 64 次 第五章第五章 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 精品文档 23欢迎下载 1 用直接 I 型及典范型结构实现以下系统函数 21 21 4 06 02 8 02 43 zz zz zH 分析 分析 注意系统函数H z 分母的 项的系数应该化简为 1 0 z 分母的系数取负号 即为反馈链的系数 2 1 iz i 解 21 21 2 03 01 4 01 25 1 zz zz zH 2 03 0 1 4 01 25 1 21 21 zz zz 1 1 0 zX zY za zb zH N n n n M m m n 3 0 1 a2 0 2 a 5 1 0 b1 2 1 b4 0 2 b 2 用级联型结构实现以下系统函数 8 09 0 5 0 14 1 1 4 2 2 zzz zzz zH 试问一共能构成几种级联型网络 分析 分析 用二阶基本节的级联来表达 某些节可能是一阶的 解 k kk kk zz zz AzH 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 8 09 01 5 01 4 11 1 4 211 211 zzz zzz 4 A 8 0 9 0 0 5 0 1 4 1 0 1 22122111 22122111 精品文档 24欢迎下载 由此可得 采用二阶节实现 还考虑分子分母组合成二阶 一阶 基本节的方 式 则有四种实现形式 4 用横截型结构实现以下系统函数 11111 1 6 1 12161 2 1 1 zzzzzzH 分析 分析 FIR 滤波器的横截型又称横向型 也就是直接型 精品文档 25欢迎下载 11111 1121121 12121 12345 11 1 16 12 1 1 26 11 12 16 1 26 537 1 1 1 26 82052058 1 312123 H zzzzzz zzzzzzz zzzzz zzzzz 解 7 设某 FIR 数字滤波器的系统函数为 3531 5 1 4321 zzzzzH 试画出此滤波器的线性相位结构 分析 分析 FIR 线性相位滤波器满足 即对呈现偶对 1 nNhnh 2 1 Nn 称或奇对称 因而可简化结构 解 由题中所给条件可知 由题中所给条件可知 4 5 1 3 5 3 2 1 5 3 5 1 nn nnnnh 精品文档 26欢迎下载 为奇数 处 偶对称 对称中心在即 则 5 2 2 1 1 2 6 0 5 3 3 1 2 0 5 1 4 0 NN N nnh h hh hh 第六章