数字逻辑(第2章)

第二章逻辑代数基础 第一节逻辑代数的基本运算 逻辑代数的基本运算 逻辑代数的复合运算 电子计算机归根到底是对 0 和 1 进行处理 它们是通过电子开关线路 如门电路 触发器等 来实现的 这些开关电路具有以下特点 1 从线路内部看 或是管子导通 或是管子截止 2 从线路的输入输出看 或是低电平 或是高电平 这种开关电路的工作状态可以用布尔代数 描述客观事物逻辑关系的数学方法 来描述 通常又称为开关代数 或是逻辑代数 逻辑代数是研究数字系统逻辑设计的基础理论 研究的是逻辑函数与逻辑变量之间的关系 逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数 与普通代数一样也是用字母表示变量 但二者变量的含义完全不同 有本质的区别 逻辑代数中的变量 逻辑变量 只有两个值 二元常量 即0 逻辑零 和1 逻辑壹 没有中间值 0和1并不表示数量的大小 而是表示两种对立的逻辑状态 在逻辑代数中 有与 或 非三种基本逻辑运算 还有与或 与非 与或非 异或几种导出逻辑运算 1 逻辑与 定义 仅当决定事件 Y 发生的所有条件 A B C 均满足时 事件 Y 才能发生 表达式为 开关A B串联控制灯泡Y 两个开关必须同时接通 灯才亮 逻辑表达式为 A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯不亮 A接通 B断开 灯不亮 A B都接通 灯亮 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表 将开关接通记作1 断开记作0 灯亮记作1 灯灭记作0 可以作出如下表格来描述与逻辑关系 功能表 实现与逻辑的电路称为与门 与门的逻辑符号 真值表 图形符号 2 逻辑或 定义 在决定事件 Y 发生的各种条件 A B C 中 只要有一个或几个条件具备 事件 Y 就发生 表达式为 开关A B并联控制灯泡Y 两个开关只要有一个接通 灯就会亮 逻辑表达式为 A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯亮 A接通 B断开 灯亮 A B都接通 灯亮 实现或逻辑的电路称为或门 或门的逻辑符号 Y A B 真值表 功能表 图形符号 3 逻辑非 定义 当决定事件 Y 发生的条件 A 满足时 事件不发生 条件不满足 事件反而发生 表达式为 开关A控制灯泡Y 实现非逻辑的电路称为非门 非门的逻辑符号 A断开 灯亮 A接通 灯灭 真值表 功能表 图形符号 1 与非逻辑逻辑表达式为 2 或非逻辑逻辑表达式为 逻辑代数的复合运算 与非逻辑的图形符号 或非逻辑的图形符号 3 与或非逻辑逻辑表达式为 或 4 异或逻辑逻辑表达式为 异或逻辑的图形符号 同或逻辑逻辑表达式为 同或逻辑的图形符号 基本公式 常用公式 需记忆 在任何一个包含变量A的逻辑等式中 若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置 则等式仍然成立 一 代入定理 推广 逻辑代数的基本定理 Y BC 二 反演定理 对任一逻辑式Y 0 1 1 0 原变量 反变量 反变量 原变量 保持原运算顺序不变 得到的结果就是Y 若 则 Y的反函数 不属于单个变量上的非号的处理方法非号保留 而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉 而非号下的函数式保留不变 若 则 或 注意 运用反演定理时 遵守 括号 乘 加 的运算优先次序 必要时可增或减括号 三 对偶定理 对任一逻辑式Y 0 1 1 0 变量保持不变 保持原运算顺序不变 得到的结果就是YD 若 则 Y的对偶式 练习 直接写出下列各函数的Y和YD的表达式 定义 各种逻辑关系中 输入与输出之间的函数关系Y F A B C D A B C D为有限个输入逻辑变量 F为有限次逻辑运算 与 或 非 的组合 变量和输出 函数 的取值只有0和1两种状态 表示方法 真值表 逻辑函数式 逻辑图 波形图 逻辑函数 一 逻辑函数 二 逻辑函数相等 相等的条件 变量相同 它们的变量都是A B C 如果对应于任何一组变量取值 Y1和Y2的值都相同 即 真值表相同 则称Y1和Y2是相等的 记为Y1 Y2 证明等式 三 任何一个具体的因果关系都可以用一个逻辑函数描述 举重比赛 比赛规定 在一个主裁判和两个副裁判中 必须有两个或两个以上裁判 必须包括主裁判 认为动作合格 试举结果为成功 否则试举结果为失败 确定变量 主裁判 A副裁判 B和C逻辑条件 有两个或两个以上裁判必须包括主裁判认为动作合格 试举结果成功 否则试举结果失败 逻辑函数试举结果Y 成功与失败 是三个裁判 A B C 状态 认为动作合格与不合格 的函数 逻辑函数的表示方法 一 逻辑真值表 真值表 例 举重裁判电路 真值表 二 逻辑函数式 把输入与输出之间的逻辑关系写成与 或 非等运算的组合式 就得到了逻辑函数式 根据电路功能的要求和与 或的逻辑定义 逻辑函数式为 三 逻辑图 将逻辑函数中各变量之间的与 或 非等逻辑关系用图形符号表示出来 就可画出表示函数关系的逻辑图 逻辑图 四 波形图 由输入变量的所有可能取值组合的高 低电平及其对应的输出函数值的高 低电平所构成的图形 真值表中的0和1用电平表示 1 高电平0 低电平 各种表现形式的相互转换 从真值表写出逻辑函数式找出真值表中使Y 1的输入变量取值组合 每组输入变量取值对应一个乘积项 把取值为1的用原变量表示 取值为0的用反变量表示 将这些乘积项相加 得到逻辑函数式Y 逻辑函数值为1 例 奇偶判别函数的真值表A 0 B 1 C 1A 1 B 0 C 1A 1 B 1 C 0这三种取值的任何一种都使Y 1 所以Y A BC AB C ABC Y A BC AB C ABC 用反变量表示 用原变量表示 从逻辑函数式列出真值表把输入变量所有的取值组合逐个代入逻辑函数式求Y的值 将变量的取值组合和对应的函数值列成表 例如 已知逻辑函数表达式 求它对应的真值表 11110011 00000010 00010001 从逻辑函数式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的与 或 非运算符按运算优先顺序连接逻辑符号 例 已知逻辑函数为 画出对应的逻辑图 从逻辑图写出逻辑函数式用与 或 非运算符代替逻辑图中的图形符号从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式 真值表 逻辑表达式 1 1 最简与或表达式 化简 2 2 根据真值表画出逻辑图 画逻辑图 3 最简与或表达式 若用与非门实现 将最简与或表达式变换成与非 与非表达式 3 逻辑图 逻辑表达式 1 1 最简与或表达式 化简 2 2 从输入到输出逐级写出 根据逻辑图列出真值表 最简与或表达式 3 真值表 3 逻辑函数的标准形式 n个变量有2n个最小项 记作mi 3个变量有23 8 个最小项 n个变量的逻辑函数中 包括全部n个变量的乘积项 每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次 一 最小项 乘积项 和最大项 和项 三变量的最小项 最小项的性质 同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0 即mi mj 0 i j 全部最小项之和为1 即 最大项 二进制数 十进制数 编号 最大项的性质 三变量的最大项 001 ABC 000 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 四 逻辑函数的最小项之和形式 逻辑函数化为最小项之和的标准形式配项法互补律A A 1补全缺少的变量分配律A B C AB AC 例如 将逻辑函数 展开为最小项之和的形式 按顺序 111 110 011 001 五 逻辑函数的最大项之积形式 逻辑函数化为最大项之积的标准形式配项法互补律A A 0补全缺少的变量分配律A BC A B A C 100 101 000 010 按顺序 逻辑函数化为最大项之积的标准形式最小项法如果利用得到 项号i和k是错开的 例 将逻辑函数 展开成最大项之积的形式 解 逻辑函数化为最大项之积的标准形式真值表法找出令Y 0的变量取值组合用最大项表示出来将相应的Mi进行相乘 例如 最小项与最大项之间的关系 最小项表达式 原函数的最大项表达式 反函数的最小项表达式 反函数的最大项表达式 原函数 展开 项号相同 项号错开 项号错开 对偶函数的最大项表达式 项号是2n 1的补数 对偶函数的最大项表达式 项号错开 练习 写出下列各式Y和它们的反函数 对偶函数的最小项表达式 逻辑函数形式的变换 与 或 与非 与非 表达式对Y两次求反利用摩根定理将函数进行变换 例 用与非门实现 与 或 与或非 表达式对Y一次求反 例 用与或非门实现 与 或 或非 或非 表达式对Y两次求对偶对Y的 或 与 表达式两次求反 例 用或非门实现 2 吸收法 如果乘积项是另外一个乘积项的因子 则这另外一个乘积项是多余的 运用摩根定律 利用公式 消去多余的项 利用公式 消去多余的变量 如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子 则这个因子是多余的 配项法 利用公式 为某项配上其所能合并的项 消去冗余项法 综合法 例 化简函数 解 先求出Y的对偶函数YD 并对其进行化简 求YD的对偶函数 得到Y的最简或与表达式 1 卡诺图的构成 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示 利用卡诺图来化简逻辑函数 将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式 并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列 这样构成的图形就是卡诺图 卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的 相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量 其余因子均相同 又称为逻辑相邻项 每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻 每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻 2 4 3逻辑函数的卡诺图化简法 每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻 最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的 最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的 两个相邻最小项可以合并消去一个变量 逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并 2 逻辑函数在卡诺图中的表示 1 逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出 在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 m4 m12 m1 m13 m9 m14 m15 m11 2 逻辑函数以一般的逻辑表达式给出 先将函数变换为与或表达式 再变换为最小项之和的形式 然后在卡诺图上与每一个最小项相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 变换为最小项之和的形式 一般做法 先将函数变换为与或表达式 不必变换为最小项之和的形式 然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项 该乘积项就是这些最小项的公因子 相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 变换为与或表达式 四 用卡诺图化简逻辑函数 两个最小项相邻 可合并为一项消去一个变量 合并最小项的原则 四个最小项相邻 可合并为一项消去两个变量 八个最小项相邻 可合并为一项消去三个变量 利用卡诺图化简的规则 每个卡诺圈包含小方格的个数必须为2m 在覆盖函数中所有最小项 1方格 的前提下 卡诺圈的个数应达到最少 在满足合并规律的前提下 卡诺圈应尽可能大 每个最小项至少被一个卡诺圈包围 每个卡诺圈中必须有新的1方格 按取同去异原则 每个卡诺圈用 n m 个相同变量的乘积项表示 将各个卡诺圈表示的乘积项相加 可得化简后的函数表达式 例 用卡诺图将下式化简为最简与 或函数式 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 不是最简 最简 两点说明 在有些情况下 最小项的圈法不只一种 得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同 哪个是最简的 要经过比较 检查才能确定 在有些情况下 不同圈法得到的与或表达式都是最简形式 即一个函数的最简与或表达式不是唯一的 求逻辑函数最简 或 与 表达式 给定函数为 与 或 表达式 采取的方法 两次取反 作出F的卡诺图 求出反函数F 的最简 与 或 表达式 合并卡诺图中0方格 对F 的最简与或表达式取反 得到F的最简 或 与 表达式 例 用卡诺图求逻辑函数 的最简 或 与 表达式 给定函数为 或 与 表达式 采取的方法 两次求对偶 作出F对偶函数FD的卡诺图 并求出FD最简 与 或 表达式 对FD的最简 与 或 表达式求对偶 得到F的最简 或 与 表达式 例 用卡诺图求逻辑函数 的最简 或 与 表达式 2 4 4具有无关项的逻辑函数及其化简 约束项任意项无关项 可以写入函数式 也可从函数式中删掉 不影响函数值 在真值表和卡诺图中用 或 表示 由于逻辑函数对输入变量取值的限制 使得某些输入变量的取值不会 也不允许 出现 这些输入