2016届江苏省南通市高考数学一模试卷(解析版).doc

.2016年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1已知集合A=x|1x2，B=1，0，1，AB=2若复数z=a+2i（i为虚数单位，aR）满足|z|=3，则a的值为3从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为5为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间0，4500上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下6设等比数列an的前n项和为Sn若S2=3，S4=15，则S6=7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1ADE的体积为9若函数f（x）=（a，bR）为奇函数，则f（a+b）的值为10已知，则的值是11在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）若直线xy+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是12已知边长为6的正三角形ABC，AD与BE交点P，则的值为13在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x0）和y=x3（x0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为14已知函数f（x）=2ax2+3b（a，bR），若对于任意x1，1，都有|f（x）|1成立，则ab的最大值是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+bc）（a+b+c）=ab（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求ABC的面积16如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点求证：（1）BEAC；（2）BE平面ACD117如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程18如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点（1）按下列要求建立函数关系：设OPQ=（rad），将OPQ的面积S表示为的函数；设OQ=t（km），将OPQ的面积S表示为t的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值19已知函数f（x）=a+lnx（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论20若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”（1）已知数列an中，a1=2，an+1=2an1求an的通项公式；试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论（2）已知数列an为等差数列，且a10，anZ（nN*），求证：an为“等比源数列”【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4­1：几何证明选讲21如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6过C作圆O的切线l，ADl于点D，且交圆O于点E，求DE长选修4­2：矩阵与变换22已知矩阵，求逆矩阵M1的特征值选修4­4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程选修4­5：不等式选讲24已知a0，b0，求证：a6+b6ab（a4+b4）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角APCD的余弦值26已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设fn（x）是fn1（x）的导数，nN*（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出fn（x）的表达式，并用数学归纳法证明2016年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1已知集合A=x|1x2，B=1，0，1，AB=0，1【考点】交集及其运算【分析】直接根据交集的定义即可求出【解答】解：集合A=x|1x2，B=1，0，1，则AB=0，1，故答案为：0，12若复数z=a+2i（i为虚数单位，aR）满足|z|=3，则a的值为【考点】复数求模【分析】根据复数的运算性质得到a2+4=9，解出即可【解答】解：若复数z=a+2i（i为虚数单位，aR）满足|z|=3，即a2+4=9，解得：a=，故答案为：3从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有5种情形，由概率公式可得【解答】解：从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5种情形，所求概率，故答案为：4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为14【考点】伪代码【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，I=1，满足条件S10，执行循环，S=1，I=2，满足条件S10，执行循环，S=1+22=5，I=3，满足条件S10，执行循环，S=1+22+32=14，I=4，不满足条件S10，退出循环，输出S的值为14故答案为：145为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间0，4500上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有750户月消费额在1000元以下【考点】频率分布直方图【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案【解答】解：由直方图可得1000元以下共有10000（0.00005+0.0001）500=750户，故答案为：7506设等比数列an的前n项和为Sn若S2=3，S4=15，则S6=63【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn若S2=3，S4=15，所以S2，S4S2，S6S4，也是等比数列，（S4S2）2=S2（S6S4），即122=3（S615），解得S6=63故答案为：637在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为2x2y2=1【考点】双曲线的标准方程【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a2和b2的值，即可求出双曲线的方程【解答】解：由题意可得，解得，b2=1，所以双曲线的方程为2x2y2=1，故答案为：2x2y2=18已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1ADE的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意，三棱锥B1ADE的体积=三棱锥DB1AE的体积，即可得出结论【解答】解：由题意，三棱锥B1ADE的体积=三棱锥DB1AE的体积=故答案为：9若函数f（x）=（a，bR）为奇函数，则f（a+b）的值为1【考点】函数的值；分段函数的应用【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，f（x）=f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值【解答】解：函数f（x）=为奇函数，故f（x）=f（x）恒成立，故即，f（x）=，f（a+b）=f（1）=12=1，故答案为：110已知，则的值是【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果【解答】解：已知，则=sin（x+）+=sin（x+）+1=+1=，故答案为：11在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）若直线xy+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是【考点】两点间距离公式的应用【分析】设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4x2，可得：m=x，x2，2通过三角函数代换即可得出【解答】解：设P（x，x+m），PA=PB，4|PA|2=|PB|2，4（x1）2+4（x+m）2=（x4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4x2，4x20，解得x2，2，m=x，令x=2cos，0，m=2cos2sin=，实数m的取值范围是，故答案为：12已知边长为6的正三角形ABC，AD与BE交点P，则的值为3【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积【解答】解：由题意作图如右图，D，E分别为线段BC，AC的中点，点P是正三角形ABC的中心，|=|BE|=|AB|=2，|=|BP|=，且BPD=，故=|cos=6=3，故答案为：313在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x0）和y=x3（x0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为【考点】抛物线的简单性质【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论【解答】解：由y=x2，得y=2x，切线方程为yx12=2x1（xx1），即y=2x1xx12，由y=x3，得y=3x2，切线方程为yx23=3x22（xx2），即y=3x22x2x23，2x1=3x22，x12=2x23，两式相除，可得=故答案为：14已知函数f（x）=2ax2+3b（a，bR），若对于任意x1，1，都有|f（x）|1成立，则ab的最大值是【考点】函数的值；二次函数的性质【分析】由对于任意x1，1，都有|f（x）|1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b），若若对于任意x1，1，都有|f（x）|1成立，则，其对应的平面区域如下图所示：令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，由2a+3b=1，a0，b0得：ab=，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+bc）（a+b+c）=ab（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求ABC的面积【考点】余弦定理【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（AB）=0，根据AB，可求AB=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）在ABC中，（a+bc）（a+b+c）=ab，（a+b）2c2=ab，即a2+b2c2=ab，cosC=，C为三角形内角，C=（2）c=2acosB，由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，sin（AB）=0，又AB，AB=0，可得：a=b=2，SABC=absinC=16如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点求证：（1）BEAC；（2）BE平面ACD1【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（1）推导出BA1=BC1，点E是A1C1的中点，从而BEA1C1，由此能证明BEAC（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，推导出四边形BED1O是平行四边形，由此能证明BE平面ACD1【解答】证明：（1）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BA1=BC1，点E是A1C1的中点，BEA1C1，ACA1C1，BEAC（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，D1EBO，四边形BED1O是平行四边形，BEOD1，OD1平面ACD1，BE平面ACD1，BE平面ACD117如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由椭圆的离心率公式及b2=a2c2，及点A（2，1），联立即可求得a，b及c的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得xB+xC=，根据线段BC被y轴平分，即xB+xC=0，即可求得m的值，根据向量的坐标表示求得=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当k=，不满足，故求得k的值【解答】解：（1）由条件知椭圆离线率e=，b2=a2c2=a2，将点A（2，1），代入椭圆方程得解得，故椭圆方程为：；（2）将直线l：y=kx+m（k0）代入椭圆方程，x2+4（kx+m）28=0，整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m28=0，线段BC被y平分得：xB+xC=0，k0，m=0，B，C关于原点对称，设B（x，kx），C（x，kx），x2=，又ABAC，A（2，1），=（x2）（x2）+（kx1）（kx1）=5（1+k2）x2=5=0，解得k=，由k=，直线y=x过点A（2，1）故k=不符合题意，所以，此时直线l的直线方程y=x18如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点（1）按下列要求建立函数关系：设OPQ=（rad），将OPQ的面积S表示为的函数；设OQ=t（km），将OPQ的面积S表示为t的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解及常用方法；三角函数的最值【分析】（1）结合图形，用sin求出PO1、OP以及OQ的值，计算OPQ的面积S即可；设OQ=t（km），OQP=2，用tan表示出OP，再计算OPQ的面积S；（2）用（1）中函数关系S=，设x=，函数f（x）=xx3，求出f（x）的最大值即可求出S的最小值【解答】解：（1）如图所示，设OPQ=（rad），则sin=，PO1=，OP=1+，OQ=OPtan=（1+）tan；OPQ的面积S=OPOQ=（1+）（1+）tan=tan；设OQ=t（km），OQP=2，则tan=，tan2=，OP=OQtan2=，OPQ的面积S=OPOQ=t=；（2）用（1）中函数关系，S=，设x=0，函数f（x）=xx3，（x0）；则f（x）=13x2，令f（x）=0，解得x=；x（0，）时，f（x）0，f（x）是增函数，x（，+）时，f（x）0，f（x）是减函数；当x=时，f（x）取得最大值是f（）=；OPQ的面积S的最小值是=19已知函数f（x）=a+lnx（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=（）lnx+=，令f（x）0，解得：xe2，令f（x）0，解得：0xe2，f（x）在（0，e2）递减，在（e2，+）递增；（2）由（1）得：f（x）min=f（e2）=a，显然a时，f（x）0，无零点，a=时，f（x）=0，有1个零点，a时，f（x）0，有2个零点20若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”（1）已知数列an中，a1=2，an+1=2an1求an的通项公式；试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论（2）已知数列an为等差数列，且a10，anZ（nN*），求证：an为“等比源数列”【考点】数列的应用【分析】（1）由an+1=2an1，可得an+11=2（an1），利用等比数列的通项公式即可得出假设an为“等比源数列”，则此数列中存在三项：akaman，kmn满足=akan，代入化为：2mk+1（2m2+1）=2n1+2nk+1，利用数的奇偶性即可得出（2）设等差数列an的公差为d，假设存在三项使得，（knm）展开：2a1（n1）+（n1）2d=a1（k1）+（m1）+（k1）（m1）d，当n1既是（k1）与m1的等比中项，又是（k1）与m1的等差中项时，原命题成立【解答】解：（1）an+1=2an1，an+11=2（an1），数列an1是等比数列，首项为1，公比为2an1=2n1，an=2n1+1假设an为“等比源数列”，则此数列中存在三项：akaman，kmn满足=akan，（2m1+1）2=（2k1+1）（2n1+1），化为：22m2+2m=2k+n2+2n1+2k1，2mk+1（2m2+1）=2n1+2nk+1，可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立故an不是“等比源数列”（2）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d，a10，anZ（nN*），假设存在三项使得，（knm）=a1+（k1）da1+（m1）d，展开：2a1（n1）+（n1）2d=a1（k1）+（m1）+（k1）（m1）d，当n1既是（k1）与m1的等比中项，又是（k1）与m1的等差中项时，原命题成立【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4­1：几何证明选讲21如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6过C作圆O的切线l，ADl于点D，且交圆O于点E，求DE长【考点】与圆有关的比例线段【分析】由题意ACBC，AC=8，由已知得RtACDRtABC，从而AD=6.4，利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长【解答】解：由题意ACBCAC=8，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，AD交圆与E，ACD=ABC，RtACDRtABC，=，AD=6.4又DC2=DE6.4，DC2+6.42=64，解得DE=3.6选修4­2：矩阵与变换22已知矩阵，求逆矩阵M1的特征值【考点】逆变换与逆矩阵【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，令矩阵M1的特征多项式等于0，即可求得矩阵M1的特征值【解答】解：矩阵M的行列式为=1220=2，矩阵M的逆矩阵M1=，矩阵M1的特征多项式为f（）=（）（1）=0令f（）=0可得=或=1即矩阵M1的特征值为或1选修4­4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】先求出直线AC的直角坐标方程，再转化为极坐标方程【解答】解：点A的直角坐标为A（，）圆C的普通方程为x2+y24y=0，即x2+（y2）2=8圆C的圆心为C（0，2）直线AC的方程为，即x+y2=0直线AC的极坐标方程为cos+sin2选修4­5：不等式选讲24已知a0，b0，求证：a6+b6ab（a4+b4）【考点】不等式的证明【分析】利用作差法，通过分类讨论判断即可【解答】证明：a6+b6ab（a4+b4）=（ab）（a5b5），当ab0时，a5b5，ab0，a5b50，可得（ab）（a5b5）0所以a6+b6ab（a4+b4）当0ab时，a5b5，ab0，a5b50，可得（ab）（a5b5）0所以a6+b6ab（a4+b4）综上a0，b0，a6+b6ab（a4+b4）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角APCD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角APCD的余弦值【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），（a，b，c2）=（a