第07章 时变电磁场(2)

7 3时变电磁场边界条件 适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场 第一 在任何边界上电场强度的切向分量是连续的 即 因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的 那么由电磁感应定律的积分形式 或写成矢量形式 即可获得上面结果 对于各向同性的线性媒质 上式又可写为 第二 在任何边界上 磁感应强度的法向分量是连续的 由磁通连续性原理 即可证明 或写成矢量形式 第三 电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关 在一般情况下 由高斯定律求得 或写成矢量形式 式中 s为边界表面上自由电荷的面密度 对于各向同性的线性媒质 上式又可表示为 对于两种理想介质形成的边界 由于不可能存在表面自由电荷 因此 可见 两种理想介质形成的边界上 电通密度的法向分量是连续的 第四 磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关 在一般情况下 由于边界上不可能存在表面电流 根据全电流定律 只要电通密度的时间变化率是有限的 可得 或写成矢量形式 在理想导电体表面上可以形成表面电流 此时磁场强度的切向分量是不连续的 对于各向同性的线性介质 上式又可写为 在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流 它们只可能分布在理想导电体的表面 在任何边界上 电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的 因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量 即时变电场必须垂直于理想导电体的表面 而时变磁场必须与其表面相切 因 或 或 由于理想导电体表面存在表面电流 设表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系 因 求得 例已知内截面为a b的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图示 试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布 波导内部为真空 解 位移电流为 在y 0的内壁上 在y b的内壁上 在x 0的侧壁上 在x a的侧壁上 在x 0及x a的侧壁上 因 所以 7 4标量位与矢量位 线性均匀且各向同性媒质中 由Maxwell方程可推得 利用矢量恒等式 同时考到及 那么上述两式变为 由此可见 时变电磁场的场强与场源存在较复杂的关系 为了简化求解过程 引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之有效的 已知 因此可以表示为矢量场的旋度 即可令 式中称为矢量位 将上式代入式中 得 上式又可改写为 由此可见 矢量场为无旋场 因此它可以用一个标量场 的梯度来表示 即可令 式中 称为标量位 由此得 当它们与时间无关时 矢量位及标量位 与场量的关系和静态场完全相同 因此矢量位又称为矢量磁位 标量位 又称为标量电位 注意 矢量位及标量位 均是时间及空间函数 据位函数定义式及麦克斯韦方程 利用矢量恒等式 上两式又可写为 求得 则前两式可以简化为 罗伦兹条件 原则上 其散度值可以任意给定 但是为了简化计算 若令 已经规定了矢量场的旋度 必须再规定其散度 按照罗伦兹条件规定的散度后 原来两个相互关联的方程变为两个独立方程 矢量位仅与电流有关 标量位 仅与电荷 有关 由上可见 已知电流及电荷分布 即可求出矢量位A和标量位 求出A及 以后 即可求出电场与磁场 原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程 在三维空间中需要求解6个坐标分量 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 这样 麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解 而且求解过程显然得到了简化 在三维空间中仅需求解4个坐标分量 在直角坐标系中 实际上等于求解1个标量方程 根据静态场的结果 采用类比的方法 推出其解 7 5位函数方程求解 当时变点电荷位于坐标原点时 其场分布一定具有球对称特点 即场量仅为变量r的函数 与球坐标变量 及 无关 那么 在除坐标原点以外整个无源 0 空间 位函数满足的方程式为 首先求解位于坐标原点的时变点电荷产生的矢量位 然后利用叠加原理导出任意分布的时变体电荷的解 式中 上式为函数 r 的齐次波动方程 其通解为 由后面分析可以获知 式中第二项不符合实际的物理条件 应该舍去 因此 求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为 已知位于原点的静止点电荷产生的电位为 将此式同上式比较 可见函数f1为 因此 求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为 式中r为体元dV至场点的距离 对于位于V 中的任意体分布电荷 如图示 在r处产生的电位由上式积分求得 为了求出矢量位函数A 可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开 则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式 即 显然 对于每一个分量均可求得结构如同前式的解 三个分量合成后 矢量位A的解为 式中V 为电流J的分布区域 上两式表明 空间某点在时刻t产生的位必须根据时刻的场源分布函数进行求积 换言之 位于r处t时刻的场强不是由同一时刻t的源的分布决定的 而是取决于比t时刻导前的时刻的源分布 这就意味着 位于r 处的源产生的场传到r处需要一段时间 这段时差就是 已知 r r 为源点至场点的距离 因此v代表电磁波的传播速度 由式可见 电磁波的传播速度与媒质特性有关 在真空中 最新测得的数据为 这就是光波在真空中的传播速度 或简称为光速 光速通常以c表示 值得注意的是 即使在某一时刻源已消失 只要前一时刻源还存在 它们原来产生的空间场仍然存在 这就表明源已将电磁能量释放到空间 而空间电磁能量可以脱离源单独存在 这种现象称为电磁辐射 当静止电荷或恒定电流一旦消失 它们所产生的静电场或恒定磁场也随之失去 因而静态场又称为束缚场 没有辐射作用 若源随时间变化很快 空间场强的滞后现象更加显著 即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象 所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离 也与源的变化快慢有关 位于时变源附近的时变电磁场 时差很小 场强随时间的变化基本上与源的变化同步 所以近处的时变场称为似稳场 离开时变源很远的地方 由于时差很大 辐射效应显著 所以远处的时变场称为辐射场 为了向空间辐射电磁能量 必须使用变化很快的高频电流激励发射天线 而通常50Hz交流电不可能有效地辐射电磁能量 由于标量电位 和矢量磁位A随着时间的变化总是落后于源 因此 位函数 及A通常称为滞后位 前式中的第二项不符合实际的物理条件 因为意味着场比源导前 这就不符合先有源后有场的因果关系 那么 它又可理解为向负r方向传播的波 也就是来自无限远处的反射波 当然 因子又可写为 对于点电荷所在的无限大的自由空间 这种反射波是不可能存在的 对于面分布及线分布的电荷及电流 可以类似推出它们产生的标量位和矢量位 其结果分别如下 应注意上述公式仅可用于均匀 线性 各向同性的媒质 7 6能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 因此 时变电磁场的能量密度为 对于各向同性的线性媒质 可见 时变场的能量密度是空间及时间的函数 而且时变电磁场的能量还会流动 为了衡量这种能量流动的方向及强度 引入能量流动密度矢量 其方向表示能量流动方向 其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量 或者说 垂直穿过单位面积的功率 所以能量流动密度矢量又称为功率流动密度矢量 能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量 在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量 能流密度矢量与电场强度及磁场强度的关系如何 能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量以表示 单位为W m2 设无外源 J 0 0 的区域V中 媒质是线性且各向同性的 则此区域中麦克斯韦方程为 利用矢量恒等式 将上式代入 整理后求得 将上式两边对区域V求积 得 考虑到 那么 根据能量密度的定义 上式又可表示为 上式称为时变电磁场的能量定理 任何满足上述麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理 等式左端为体积内能量在单位时间内的减少 矢量 代表垂直穿过单位面积的功率 因此 就是前述的能流密度矢量 即 能流密度矢量的瞬时值为 可见 能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积 只有当两者同时达到最大值时 能流密度才达到最大 若某一时刻电场强度或磁场强度为零 则在该时刻能流密度矢量为零 此式表明 与及垂直 又知 因此 及三者在空间是相互垂直的 且由至与构成右旋关系 如图示 7 7时变电磁场惟一性定理