电磁场电磁波教案-4

第四章恒定电流场 主要内容电流 电动势 电流连续性原理 能量损耗 1 电流及电流强度2 电动势3 电流连续性原理4 恒定电流场的边界条件5 恒定电流场的能量损耗6 恒定电流场与静电场的比拟 2020 4 6 1 1 电流及电流强度 电流强度 简称电流 电荷定向移动形成电流 电流是单位时间通过导体中任一截面的电荷量 以I表示 即 电流的单位为A 安培 直流电流和时变电流 如图所示 图中电流1是直流电流即稳恒电流 其大小及符号均不随时间而变 电流2是脉动直流 其大小随时间变化 而其符号不随时间而变 如整流器整流出的电流 电流3是一般随时间变化的交变电流 其大小和符号均随时间而变 如交变的三角形电流 电流4是常用的随时间按正弦规律变化的交变电流即时谐电流或正弦电流 如发电机和振荡器产生的电流等 2020 4 6 2 根据电流形成的机理分类 传导电流与运流电流 传导电流是导体中的自由电子 或空穴 或者是电解液中的离子运动形成的电流 运流电流是电子 离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流 例如电子管 离子管或离子加速器中的电流 在导电媒质内部各点电流的分布一般是不同的 电流的分布可以用一个矢量场 即电流场 来描述 该矢量场在空间各点不仅规定了流动的强度 而且规定了它的方向 设想有许多电流线 它们在各处都与流动的方向相切 假定某一面积与电流线正交 则对于面上某一点可以定义一矢量J J描述了电流分布的不均匀性 2020 4 6 3 电流密度 是一个矢量 以J表示 电流密度的方向为正电荷的运动方向 其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量 因此 穿过任一有向面元dS的电流dI与电流密度J的关系为 那么 穿过任一截面S的电流I为 此式表明 穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量 2020 4 6 4 在外源的作用下 大多数导电媒质中某点的传导电流密度J与该点的电场强度E成正比 即 式中 称为电导率 其单位为S m 当温度一定时 对于一定的材料 它是一个与电场强度无关的常数 值愈大表明导电能力愈强 即使在微弱的电场作用下 也可形成很强的电流 电导率为无限大的导体称为理想导电体 显然 在理想导电体中 无需电场推动即可形成电流 由上式可见 在理想导电体中是不可能存在恒定电场的 否则 将会产生无限大的电流 从而产生无限大的能量 但是 任何能量总是有限的 电导率为零的媒质 不具有导电能力 这种媒质称为理想介质 欧姆定律的微分形式 2020 4 6 5 可见 银的电导率最高 但易氧化 金略低 但性能非常稳定 2020 4 6 6 欧姆定律的积分形式 其中 称为导体的电阻 2020 4 6 7 在恒定电流场中 沿电流方向取一个微小圆柱 如图所示 式中 为电荷密度 在运流电流中取一个体积元dV dSdl 电荷密度为 自由电荷的运动速度为v 设在dt时间内体积元内的电荷dq dV全部从截面dS穿出 因而形成的运流电流元为 其中 因此 运流电流的电流密度为 2020 4 6 8 运流电流的电流密度并不与电场强度成正比 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同 2020 4 6 9 与介质的极化特性一样 媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点 这些特性的含义与前相同 仅适用于各向同性的线性媒质 2 电动势 如图所示 首先将外接的导电媒质移去 讨论开路情况下外源内部的作用过程 在外源中非静电力作用下 正电荷不断地移向正极板P 负电荷不断地移向负极板N 极板上的电荷在外源中形成库仑电场E 其方向由正极板指向负极板 而且随着极板上电荷的增加不断增强 稳恒电流是电流的大小及其正负都不随时间而变化的电流 即直流电流 导体中要维持一个稳恒电流就必须与直流电源相接 2020 4 6 10 显然 由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动 同时也阻止负电荷继续向负极板移动 一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时 外源的电荷运动方才停止 极板上的电荷也就保持恒定 既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力 因此 通常认为这种非静电力是由外源中存在的局外电场产生的 其电场强度仍然定义为对于单位正电荷的作用力 以表示 由于外电场使正电荷移向正极板 负电荷移向负极板 因此 外电场的方向由负极板指向正极板 可见 在外源中外电场的方向与极板电荷形成的电场E的方向恰好相反 当外源中的局外电场与极板电荷的库仑电场等值反向时 外源中合成电场为零 电荷运动停止 2020 4 6 11 若外源的极板之间接上导电媒质 正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板 负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板 因而导致极板上电荷减少 使得外源中由极板电荷形成的电场E小于外电场 外电场又使外源中的正负电荷再次移动 外源不断地向正极板补充新的正电荷 向负极板补充新的负电荷 为了维持电路中源源不断的稳恒电流 电源内部局外场强应大于实际导体中的库仑场强 仅当电源开路时 二者相等 2020 4 6 12 由上可见 极板上的电荷通过导电媒质不断流失 外源又不断地向极板补充新电荷 从而维持了连续不断的电流 因此 为了在导电媒质中产生连续不断的电流 必须依靠外源 当达到动态平衡时 极板上的电荷分布保持不变 这样 极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场 且在外源内部保持 在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流 注意 极板上的电荷分布虽然不变 但是极板上的电荷并不是静止的 它们是在不断地更替中保持分布特性不变 因此 这种电荷称为驻立电荷 驻立电荷是在外源作用下形成的 一旦外源消失 驻立电荷也将随之逐渐消失 2020 4 6 13 考虑到导电媒质中 那么 上式可写成 驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样 也是一种保守场 因此 它沿任一闭合回路的线积分应为零 即 对于均匀导电媒质 上式变为 根据斯托克斯定理 求得上两式的微分形式如下 可见 均匀导电媒质中 恒定电流场是无旋的 同样可在稳恒电场中引入标量电势 即 2020 4 6 14 外电场由负极板N到正极板P的线积分称为外源的电动势 以e表示 即 达到动态平衡时 在外源内部 所以上式又可写为 但是电源的局外场强并非由电荷产生 是外源中存在的外电场产生的 故它是非库仑场即非保守场 2020 4 6 15 为外源极板间的电压降 也是外电路的电压降 此式表明 外源的电动势等于外电路中的电压降 或者从能量的观点来看 外源中的外电场对单位正电荷作的功等于导电介质内恒定电场对单位正电荷作的功 3 电流连续性原理 实验证明 电荷既不能产生 也不能消灭 即电荷总是守恒的 在导电媒质中 考虑一个由闭合面S所包围的体积V中驻立电荷的体密度为 则 则在时间 t内穿出闭合面的净自由电荷量必等于在同一时间里体积内净电荷的减少量 即 其中 J是包括传导电流与运流电流在内的自由电流密度 上式为电荷守恒定律 即电流连续性方程 的积分形式 应用高斯定理 可得其微分形式为 2020 4 6 16 已知恒定电流场中导电媒质中的电场及电荷分布与时间无关 即 由此得 此式表明 在恒定电流场中 电流密度通过任一闭合面的通量为零 如果以一系列的曲线描述电流场 令曲线上各点的切线方向表示该点电流密度的方向 这些曲线称为电流线 那么 电流线是连续闭合的 它和电场线不同 电流线没有起点和终点 这一结论称为电流连续性原理 此式表明 恒定电流场是无散的 对于恒定电流场 根据高斯定理 求得其微分形式 2020 4 6 17 4 恒定电流场的边界条件 导电媒质中恒定电流场的基本性质是恒定电流场的无旋性和电流的连续性 再加上欧姆定律的方程 则构成恒定电流场的基本方程 微分形式 本构方程为 可见 恒定电流场是无散无旋场 这里稳恒电场是有限区域内的场 若场是无限区域内的场 则无散必有旋 无旋必有散 即无限区域内不存在无散无旋场 积分形式 2020 4 6 18 根据积分形式的恒定电流场方程 可以推导出恒定电流场边界条件 由第一式可以导出边界两侧电流密度的切向分量关系为 由第二式可以导出边界两侧电流密度的法向分量关系为 由此可见 在两种导电介质的边界两侧 电流密度矢量的切向分量不连续 但其法向分量连续 已知理想导电体内部不可能存在电场 那么 理想导电体表面不可能存在切向电场 因而也不可能存在切向恒定电流 当电流由理想导电体流出 进入一般导电媒质时 电流线总是垂直于理想导电体表面 2020 4 6 20 已知导电媒质中电流密度J与恒定电场E的关系为 由此可以导出媒质中恒定电场的边界条件为 圆柱体的端面分别为两个等位面 若在电场力作用下 dt时间内有dq电荷自圆柱的左端面移至右端面 那么电场力作的功为 设在恒定电流场中 沿电流方向取一个长度为dl 端面为dS的小圆柱体 如图所示 2020 4 6 21 5 恒定电流场的能量损耗 在导电媒质中 自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞 结果产生热能 这是一种不可逆的能量转换 这种能量损失将由外源不断补给 以维持恒定的电流 电场损失的功率P为 那么 单位体积中的功率损失为 2020 4 6 22 当J和E的方向不同时 上式可以表示为下面一般形式 此式称为焦耳定律的微分形式 它表示某点的功率损耗密度等于该点的电场强度与电流密度的标积 功率损耗密度 设圆柱体两端的电位差为U 则 又知 那么单位体积中的功率损失可表示为 可见 圆柱体中的总功率损失为 这就是电路中的焦耳定律 2020 4 6 23 例1已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成 如图示 其介电常数分别为 1和 2 电导率分别为 1和 2 厚度分别为d1和d2 当外加恒定电压为U时 试求两层介质中的电场强度 单位体积中的电场储能及功率损耗 解由于电容器外不存在电流 可以认为电容器中的电流线与边界垂直 求得 又 由此求出两种介质中的电场强度分别为 2020 4 6 24 两种介质中电场储能密度分别为 两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意 当时 当时 2020 4 6 25 电位微分方程 已知 电位 与电场强度E的关系为 对上式两边取散度 得 对于线性均匀的各向同性介质 电场强度E的散度为 2020 4 6 26 那么 线性均匀的各向同性介质中 电位满足的微分方程式为 该方程称为泊松方程 对于无源区 上式变为 上式称为拉普拉斯方程 泊松方程的求解 已知分布在V 中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为 因此 上式就是电位微分方程在自由空间的特解 2020 4 6 27 应用格林函数 即可求出泊松方程的通解为 2020 4 6 28 已知电荷分布时 可以用上式求解 但是实际中的静电场问题 通常电荷分布正是待求的未知量 给定的是边界上的电位 或电荷 分布 因此 静电场的求解问题归结为给定电位边值时 泊松方程或者拉普拉斯方程的求解 式中格林函数为 例2设一段环形导电媒质 其形状及尺寸如图示 计算两个端面之间的电阻 解显然 必须选用圆柱坐标系 设两个端面之间的电位差为U 且令 当角度时 电位 当角度时 电位 那么 由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关 因此电位满足的方程式为 此式的通解为 2020 4 6 29 圆柱坐标系下 利用给定的边界条件 求得 导电媒质中的电流密度J为 那么由的端面流进该导电媒质的电流I为 因此该导电块的两个端面之间的电阻R为 2020 4 6 30 圆柱坐标系下 6 恒定电流场与静电场的比拟 均匀导电媒质中的恒定电场 电源外部 和均匀电介质中的静电场 电荷密度的区域 有很多相似之处 如表所示 2020 4 6 31 可见 两者非常相似 恒定电流场的电流密度J相当于静电场的电场强度E 电流线相当于电场线 因为两种场的电位都是拉普拉斯方程的解 因此 当恒定电流场与静电场的边界条件相同时 电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同 两种场的解的形式必定是相同的 根据这种类似性 可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场 或者由于在某些情况下 恒定电流场容易实现且便于测量时 可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性 这种方法称为静电比拟 两种场的物理量之间有一一对应的关系 2020 4 6 32 例如 两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示 那么 利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场 其中q为导体1上的电量 U是两导体之间的电压 在静电场中 两导体间充满介电常数为的均匀电介质时的电容为 2020 4 6 33 在恒定电场中两个电极间充满电导率为 的均导电媒质时的电导为 其中I为导体1 电极1 表面流出的电流 注 电极由良导体构成