湖南城市学院-随机过程讲稿(7)

3 1线性变换的概念及基本定理 3 2随机过程的微分和积分 3 3随机微分方程 3 4随机过程通过线性系统的分析 第三章随机过程的线性变换 3 5随机序列的线性变换 3 5 随机序列的线性变换 3 5 1随机过程采样定理 确知信号采样 为了避免恢复信号时发生频率混叠 对连续信号的采样频率必须大于或等于两倍信号的最高频率 即对一个确定性的连续信号s t 其频率范围限定在 C C 之间 按照采样定理 则采样频率为 S 2 C 得到采样序列 s nT n 0 1 2 其中T为采样间隔 则信号s t 完全可以由 s nT 恢复出来 即 定理3 7 设连续性随机过程X t 是频带有限的 即它的功率谱密度满足以下关系 选择采样频率 S 2 C 对随机过程X t 进行等间隔采样 得到采样序列 X nT n 0 1 2 其中T为采样间隔 则随机过程X t 可以由序列 X nT 得到估计 即 并且满足 证明 略 1 2 3 5 2随机序列的示性函数 1 设有随机序列X n 它的数学期望定义为 可见随机序列的数学期望是n的函数 2 随机序列X n 它的方差定义为 3 随机序列X n 的自相关函数定义为 4 随机序列X n 的自协方差函数定义为 当i j时 协方差函数为方差 即 5 随机序列X n 的均值 方差和均方值之间的关系 6 类似于连续随机过程 两个随机序列X n 和Y n 的互相关函数定义为 7 随机序列X n 与Y n 的互协方差函数定义为 平稳随机序列的Z变换定义 由于平稳随机序列的相关函数为偶函数 则其Z变换满足 同样平稳随机序列的自相关函数可用通过逆Z变换得到 其中C是收敛域内包含z平面原点逆时针的闭合曲线 平稳随机序列的离散时间傅里叶变换 功率谱密度 定义 根据离散傅里叶变换的性质可知 功率谱密度函数是以2 为周期的函数 当m 0时 有 即功率谱密度在一个周期内的平均值等于随机序列的平均功率 同样平稳随机序列的自相关函数可用通过对功率谱密度函数进行逆DTFT变换 平稳随机序列X n 的功率谱密度具有以下性质 1 功率谱密度为实 偶函数 2 功率谱密度为非负函数 两个联合平稳随机序列X n 和Y n 它们的互相关函数与互功率谱密度之间的关系 3 5 3随机序列各态历经性 1 设随机序列X n 其时间均值定义 对于平稳随机序列X n 如果时间均值以概率1等于集合平均 即 则称X n 均值具有遍历性 2 设随机序列X n 其时间相关函数定义 对于平稳随机序列X n 如果时间相关函数以概率1等于集合相关函数 即 则称X n 相关函数具有遍历性 如果随机序列X n 的均值和相关函数都具有遍历性 则称随机序列X n 为具有遍历性的随机序列 3 5 4随机序列的线性变换 设离散线性系统的冲击响应为h n 输入的随机序列为X n 系统的输出Y n 为 h n X n Y n 离散线性系统示意图 1 系统的输出Y n 均值为 2 系统的输出Y n 与输入X n 的互相关函数为 3 系统的输出Y n 自相关函数为 2 系统的输出Y n 与